离散数学(命题逻辑)

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§ 2 命题公式及分类
一、命题（合式）公式 二、公式的赋值 三、真值表 四、命题的分类：重言式 矛盾式 可满足式
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一、 命题（合式）公式
1.定义 命题（合式）公式：由命题常项、命题变项、联结词、 括号等组成的符号串.
递归定义：
（1）单个命题常项或变项p,q,r,...,pi,qi,ri,...,0,1是合 式公式； （2）如果Ａ是合式公式，则┐Ａ是合式公式； （3）如果Ａ,B是合式公式，则(A ∧ B), (A ∨ B), (A → B), (A ↔ B)是合式公式； （4）只有有限次地应用(1)-(3)组成的符号串才 是合式公式.
说明: (1) pq 的逻辑关系 :p 与 q 互为充分必要条 件
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例 将下列复合命题符号化并求其真值 （1） 2+2=4当且仅当3是奇数:p↔q 1
（2）2+2≠4当且仅当3是奇数: ┐p↔ q
（3）2+2=4当且仅当3不是奇数:p↔ ┐q （4）2+2≠4当且仅当3不是奇数: ┐p↔ ┐ q
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真值表法（1）
┐(pVq)与 ┐pV ┐q 不等值
p 0 0 1 1 q 0 1 0 1 ┐p 1 1 0 0 ┐q 1 0 1 0 pVq 0 1 1 1 ┐(pVq) 1 0 0 0 ┐pV ┐q 1 1 1 0
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真值表法（2）
┐(pVq)与┐p∧┐q 等值
p 0 0 q 0 1 ┐p 1 1 ┐p 1 0 pVq 0 1 ┐(pVq) ┐p∧┐ q 1 0 1 0
4
.（1）2是素数.
（2）雪是黑色的. 真命题 （3）2+3=5. （4）现在是六点钟. （5）3能被2整除. 假命题 （6）这朵花多好看呀! 感叹句 （7）明天下午有会吗? 疑问句 （8）请关上门! 祈使句 （9）x+y>5. 不是命题 （10）地球外的星球上也有人.
在数理逻辑中，不需要纠结在各种具体命题的真假问题，而是将命题当成 数学概念来处理，看成一个抽象的形式化的概念，把命题定义成非真必假的 陈述句。 5
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第一章 命题逻辑
1.1 命题符号化及联结词 1.2 命题公式及分类
1.3 等值演算
1.4 对偶与范式 1.5 推理理论
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§ 3 等值演算
一、等值式
二、基本等值式
三、等值演算与置换规则 四、应用举例
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一、等值式
定义 若等价式AB是重言式，则称A与B等值， 记作AB，并称AB是等值式 注: 不是逻辑联结词，表示对任意的赋值，A 与B的值相同。 ↔是等价联结词，它与不能混为一谈。 ┐(pVq)与 ┐pV ┐q ┐(pVq)与 ┐p∧┐q
p∧ q T F F
p
q
p∨q
F
p T T F F
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T T F F
q T F T F
T F T F
p T F F T
T T T F
q
p T T F F
q T F T F
pq T F T T
第一章 命题逻辑
1.1 命题符号化及联结词 1.2 命题公式及分类
1.3 等值演算
1.4 对偶与范式 1.5 推理理论
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定律 德.摩根律 吸收律
零律 同一律
基本等值式（3）
序号 20 21 22 23 24 等值式 A→B ┐AVB 定律 蕴涵等值式(真值表)
A ↔ B (A→B) ∧(B→A) 等价等值式 A→B ┐B→ ┐A 假言易位(逆否命题) A ↔ B ┐A ↔ ┐B 等价否定等值式 (A→B)∧(A→┐B) ┐A 归缪论
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命题逻辑
第一章 命题逻辑
1.1 命题符号化及联结词 1.2 命题公式及分类
1.3 等值演算
1.4 对偶与范式 1.5 推理理论
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§ 1 命题符号化及联结词
一、命题与真值 二、命题分类：原子命题，复合命题 三、命题常项与命题变项及其符号化 四、联结词
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一、命题与真值wk.baidu.com
命题: 具有唯一确定真假意义的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真或假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题 陈述句中判断结果不惟一确定的也不是命题
p q p q p q q p q p q p
注意： pq 与 qp 等值（真值相同）
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四、联结词与复合命题(续)
5.等价式与等价联结词“”
定义5 设p，q为二命题，复合命题 “p当且仅当q”称作p与q的等 价式，记作pq. 称作等价联结词. pq为真当且仅当p与q同时为真或同时为假.
0
0 1
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习题
小王是游泳冠军或百米赛跑冠军: p ∨ q 小王现在在宿舍或在图书馆: (┐ p ∧ q) ∨ (p ∧ ┐q) 或 p ∨ q 选小王或小李中的一人当班长: (┐ p ∧ q) ∨ (p ∧ ┐q) 如果我上街，我就去书店看看，除非我很累: ┐r →( p → q) 王一乐是计算机系的学生，他生于1968年或 1969年，他是三好学生: p ∧( q ∨r) ∧s
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( p ∧q ) ↔ r ┐p ∨
→r
√
(┐p ∧q) ↔ r p ∧ ┐ q ↔r
×
√ √
× p ┐ ∧ q ↔r ×
(┐p q) ↔ r
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二、公式的赋值
定义 给公式A中的命题变项 p1, p2, … , pn指定一组真值称为对A的一个赋值或解 释 成真赋值: 使公式为真的赋值 成假赋值 :q) 使公式为假的赋值 A=( p∧ →r 1 1 0 ：A = 0 成假赋值 1 1 1，0 1 1，0 1 0 ：A = 1 成真赋值
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三、真值表
真值表: 公式A在所有赋值下的取值情况列成的表 例 给出公式的真值表 A= (qp) qp 的真值表 p q 0 0 1 1 0 1 0 1 qp 1 0 1 1 (qp) q 0 0 0 1 (qp) qp 1 1 1 1
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实例
例
p q 0 0 1 1 0 1 0 1
9
A∧(BVC) (A∧B)V(A∧C)
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基本等值式（2）
序号 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 等值式 ┐(AVB) ┐A∧┐B ┐(A∧B) ┐AV ┐B AV(A∧B) A A ∧(AVB) A A V1 1
A∧0 0 AV 0 A A∧1 A AV ┐A 1 A∧┐A 0 排中律 矛盾律
B = (pq) q 的真值表
p
1 1 0 0
pq
1 1 0 1
(pq)
0 0 1 0
(pq) q
0 0 0 0
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例
C= (pq) r 的真值表
r 0 1 0 1 0 1 0 1 pq 0 0 1 1 1 1 1 1 r 1 0 1 0 1 0 1 0 (pq)r 1 1 1 0 1 0 1 0
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3.简单命题、命题变项的符号化

简单命题符号化：
2是素数; q: 雪是白的;
p:
--命题常项 --命题常项

命题变项符号化：
p:
x+y>5;
--命题变项（不是命题）

命题的真值表示：
1(T)表示真; 0(F)表示假.
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四、联结词与复合命题
1. 否定式与否定联结词“” 定义 1 设 p 为命题，复合命题 “非 p” （或 “p的否定”）称 为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词

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联结词运算规则
我们所学的5种基本联结词也称为逻辑
运算符，其运算顺序为： ┐，∧，∨，→，↔ 如果出现的基本联结词相同，又无括号 时，则按从左到右的运算顺序； 如果遇有括号时，不管出现的基本联结 词如何，都先进行括号中的运算。
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真值表
p p T F q
p
F T
T T F F
T F T F
而 (4)为排斥或. (4) 令 t :小元元拿一个苹果，u:小元元拿 一个梨， 则 (4) 符号化为 (t∧u) ∨(t∧u).
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四、联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“”
定义4 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称作p与q
的蕴涵式，记作 pq ，并称 p是蕴涵式的前件， q为蕴涵
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.
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解 令 p:2是素数, q:3是素数, r:4是素数, s:6 是素数, 则 (1), (2), (3) 均为相容或. 分别符号化为: p∨r , p∨q, r∨s, 它们的真值分别为 1, 1, 0.
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
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0
0
0
0
二、基本等值式
序号 1 等值式 A ┐┐A 定律 双重否定
2
3
A AVA
A A∧A
等幂律 交换律
结合律 分配律
4
5 6 7 8
AVB BVA
A∧BB∧A (AVB)VC AV(BVC) (A∧B)∧C A∧(B∧C) AV(B∧C) (AVB)∧(AVC)
合取联结词是逻辑“与”的意思。
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例 将下列命题符号化. （1）李平既聪明又用功 （2）李平虽然聪明,但不用功 （3）李平不但聪明，而且用功 （4）李平不是不聪明，而是不用功 （5）李文和李武是兄弟 解：令 p：李平用功，q：李平聪明，则 （1）p ∧ q （2）p ∧ ┐ q （3） p ∧ q （4）（ ┐ (┐ p) ∧ ┐ q） （5）r:李文和李武是兄弟
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三、等值演算与置换规则
等值演算: 由已知的等值式推演出新的等值式的过程 置换规则：若AB, 则(A)(B)
p q 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1
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四、公式的类型
定义 设A为一个命题公式 (1) 若A无成假赋值，则称A为重言式(也称永真式) (2) 若A无成真赋值，则称A为矛盾式(也称永假式) (3) 若A不是矛盾式，则称A为可满足式 注意：重言式是可满足式，但反之不真. 上例中A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式 A= (qp)qp，B =(pq)q，C= (pq)r
真命题 假命题
二、命题分类：简单命题与复合命题

简单命题（原子命题）：命题不能分成更简单的句子的命 题，又称为命题常项（命题常元）。
2是素数.
雪是黑色的.
2+3=5. 明年十月一日是晴天. 3能被2整除.
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二、命题分类：简单命题与复合命题

复合命题：由简单命题用联结词联结而成 的命题。
式的后件. 称作蕴涵联结词， pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
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四、联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多： 若 p，就 q 只要 p，就 q 只有 q , 才 p 除非 q，才 p 除非 q，否则非 p
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自然语言中p与q具有联系，而数理逻辑中p与 q可以没有联系。 例

分清简单命题与复合命题不能见到“和”、“与”就用 “∧” 描述合取式的灵活性与多样性
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四、联结词与复合命题 (续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义3 设 p,q为命题，复合命题“p或q”称作 p 与 q 的析取式，记作 p∨q. ∨称作析取联 结词
p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
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四、联结词与复合命题 (续)
3不是偶数; 2是素数和偶数; 林芳学过英语或日语;
如果角A和角B是对顶角，则角A等于角B．
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三、命题常项与命题变项及其符号化
1.命题变项（命题变元、命题函数）：真值可 以变化的陈述句。 如：x+y>5. 命题变项不是命题。
2.命题常项（命题常元）：真值唯一确定的陈 述句。 如：2是偶数. 命题常项是命题。
p 为真当且仅当p为假.
例 p ：3是偶数。 ┐p ：3不是偶数
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四、联结词与复合命题 (续)
2.合取式与合取联结词“∧” 定义 2 设 p,q 为二命题 , 复合命题“ p 并且 q”( 或“ p 与 q”) 称为 p 与 q 的合取式，记作 p∧q. ∧称作合取联结词
p∧q为真当且仅当p与q同时为真

如果3＋3＝6，则雪是黑的。 如果3+36，则雪是黑的。
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例 设 p:天冷，q:小王穿羽绒服， 将下列命题符号化 (1) 只要天冷，小王就穿羽绒服. (2) 因为天冷，所以小王穿羽绒服. (3) 若小王不穿羽绒服，则天不冷. (4) 只有天冷，小王才穿羽绒服. (5) 除非天冷，小王才穿羽绒服. (7) 如果天不冷，则小王不穿羽绒服.