一阶倒立摆控制系统设计讲解

课程设计说明书

课程名称：控制系统课程设计设计题目：一阶倒立摆控制器设计院系：信息与电气工程学院班级：

设计者：

学号：

指导教师：

设计时间：2013年2月25日到2013年3月8号

课程设计（论文）任务书

指导教师签字：系（教研室）主任签字：

2013年3月5日

目录

一、建立一阶倒立摆数学模型 (4)

1. 一阶倒立摆的微分方程模型 (4)

2. 一阶倒立摆的传递函数模型 (6)

3. 一阶倒立摆的状态空间模型 (7)

二、一阶倒立摆matlab仿真 (9)

三、倒立摆系统的PID控制算法设计 (13)

四、倒立摆系统的最优控制算法设计 (23)

五、总结.................................................................................................. 错误!未定义书签。

六、参考文献 (29)

一、建立一阶倒立摆数学模型

首先建立一阶倒立摆的物理模型。在忽略空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。

系统内部各相关参数定义如下：

M 小车质量

m 摆杆质量

b 小车摩擦系数

l 摆杆转动轴心到杆质心的长度

I 摆杆惯量

F 加在小车上的力

x 小车位置

φ摆杆与垂直向上方向的夹角

θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）1.一阶倒立摆的微分方程模型

对一阶倒立摆系统中的小车和摆杆进行受力分析，其中，N和 P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。

图1-2 小车及摆杆受力图

分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：

（1-1）由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：

（1-2）即：

（1-3）把这个等式代入式(1-1)中，就得到系统的第一个运动方程：

（1-4）

为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，可以得到下面方程：

（1-5）即：

（1-6）力矩平衡方程如下：

（1-7）由于所以等式前面有负号。

合并这两个方程，约去 P 和 N ，得到第二个运动方程：

（1-8）

设

，（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ <<1

弧度， 则可以进行近似处理：0)(

,sin ,1cos 2

=-=-=dt

d θφθθ。用u 代表被控对象的输入力F ，利用上述近似进行线性化得直线一阶倒立摆的微分方程为：

2. 一阶倒立摆的传递函数模型

对式(1-9)进行拉普拉斯变换，得：

注意：推导传递函数时假设初始条件为 0。

由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可得：

或

如果令错误!未找到引用源。，则有：

把上式代入方程组（2-1）的第二个方程，得：

（1-9）

（2-5）

（2-1）

（2-2）

（2-3）

（2-4）

整理后得到传递函数：

其中

。

3. 一阶倒立摆的状态空间模型

设系统状态空间方程为：

方程组（2-9）对x ..

解代数方程，得到解如下：

整理后得到系统状态空间方程：

摆杆的惯量为23

1

ml I ，代入（1-9）的第一个方程为：

（2-6）

（3-1）

（3-1）

（3-2）

（3-3）

得：

化简得：

设x u x x x ..

'

[],.

.

==φφ

则有：

4.实际系统的传递函数与状态方程

实际系统的模型参数如下:

M 小车质量 0.5 Kg m 摆杆质量 0.2 Kg

b 小车摩擦系数 0 .1N/m/se

c l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.3m

I 摆杆惯量 0.006 kg*m*m

（3-4）

（3-5）

代入上述参数可得系统的实际模型。 摆杆角度和小车位移的传递函数：

摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：

摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：

以外界作用力作为输入的系统状态方程：

以小车加速度为输入的系统状态方程：

二、一阶倒立摆matlab 仿真

实际系统参数如下，按照上面给出的例子求系统的传递函数、状态空间方程，并进行脉冲响应和阶跃响应的matlab 仿真。

（4-2）

（4-3）

（4-1）

（4-5）

M小车质量 1.096Kg

m摆杆质量 0.109Kg

b小车摩擦系数 0.1 N/m/sec

l摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m

I摆杆惯量 0.0034 kg*m*m T采样时间 0.005秒

1.传递函数法

Matlab程序如下：

M=1.096;

m=0.109;

b=0.1;

I=0.0034;

g=9.8;

L=0.25;

q=(M+m)*(I+m*L^2)-(m*L)^2;

num=[m*L/q 0 0]

den=[1 b*(I+m*L^2)/q -(M+m)*m*g*L/q -b*m*g*L/q 0];

[r,p,k]=residue(num,den);

s=p;

得到传递函数的分子：

num =

2.3566 0 0

以及传递函数分母:

den =

1.0000 0.0883 -27.8285 -

2.3094 0

开环极点：

s =