初中数学专题训练--圆--圆扇形弓形的面积

例 如图，已知半径OA=6cm ，C 为OB 的中点，∠AOB=120°，求阴影部分的面积．解：过A 作AD ⊥BO 交BO 的延长线于D ，则AD 是△ACO 的边OC 上的高，∵∠AOB=120°，∴∠AOD=60°， ∴AD=OAsin60°=33236=⨯．∴S 阴影=S 扇形ABO -S △ACO =)cm (3291233321360612022-π=⨯⨯-⋅π 说明：（1）此题应用解直角三角形，三角形面积公式和扇形面积公式；（2）阴影部分的面积是由扇形和三角形组合而成，熟练拿握扇形面积公式和三角形面积公式是求此阴影部分面积的关键；（3）灵活选用三角形面积公式： ①a ah 21S =∆；②B sin ca 21C sin bc 21C sin ab 21S ===∆． 例 已知：弓形的弧的度数为240°，弧长是π38，求弓形的面积．解：如图，根据弧长公式有π=⋅π38180OA 240． ∴OA=2．∴ S 扇形OAmB =π=⨯π3836022402， S △OAB =360sin 2221=︒⨯⨯，∴S 弓形AmB =338+π． 说明：（1）弓形面积的计算；（2）弓形面积可以看成是扇形面积和三角形面积的分解和组合，实际应用时，要注意公式的选择．例 如图，在边长l 的正方形中，以各顶点为圆心，对角线长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为 ．解：S 阴影=22121S S 4S 41π-=-π-=-⨯-）（）（正方形圆正方形． 说明：求面积问题的常用方法有：直接公式法，和差法，割补法等．例 如图，已知半径为1的三个等圆⊙A 、⊙B 、⊙C 两两外切，切点分别为M 、N 、P ，求夹在三个等圆中间的曲边形MNP 的面积．分析：连结AB 、BC 、CA ，则必分别过点M 、N 、P ．曲边形MNP 如果先借添上三个全等扇形即构成了正△ABC ，算出△ABC 的面积后再还掉三个扇形．这样一借一还，先借后还，剩下的就是曲边形MNP ．解：S 曲边形MNP =三个扇形△三个扇形三个扇形曲边形）（S S S S S A BC M N P -=-+=π-=⨯π⨯-︒⨯⨯213360160360sin 22212．说明：求有关不规则图形的面积问题的关键是将图形分解为可求图形面积的和差问题，本题是作辅助线构造三角形和扇形的面积解决的．典型例题五例 已知扇形的圆心角150°，弧长为π20cm ，则扇形的面积为_______. 解：设扇形的面积为S ，弧长为l ，所在圆的半径为R ，由弧长公式，得18015020Rππ=. ∴24=R （cm ）. 由扇形面积公式，得ππ240360241502=⋅=S .故填π240.说明：本题主要考察弧长公式180R n l π=和扇形面积公式3602R n S π=.典型例题六例 已知弓形的弦长等于半径R ，则此弓形的面积为________.（弓形的弧为劣弧） 解：∵弓形的弦长等于半径R ， ∴弓形的弧所对的圆心角为60°，∴扇形的面积为63606022R R S ππ==. 三角形的面积为224360sin 21R R =︒. ∴弓形的面积为22436R R -π. 即212332R -π.故应填212332R -π.说明：注意弓形面积的计算方法，即弓形的面积等于扇形面积与三角形面积的和或差.本题若没有括号里的条件，则有两种情况.典型例题七例 如图，已知扇形AOB 的中心角为直角，若cm 4=OA ，以AB 为直径作半圆，求圆中阴影部分的面积.分析：欲求图形中阴影部分的面积，必须弄清求这个面积没有直接的公式计算，只有通过可求面积的和差来解决，因为阴影部分的面积等于以AB 为直径的半圆面积减去弓形AmB 的面积，而AO B AO B Am B S S S ∆-=扇.解 cm 4=OA ︒=∠90O ，则cm 4=OB22)cm (4360490ππ=⨯⨯︒=∴AOBS 扇cm 24=AB)cm (82=∴∆AO B S)cm (42)22(22ππ==∴半圆S)cm )(84(2-=∴πAm B S 弓形即阴影部分面积)cm (8)84(42=--=-=ππAm B S S 弓形半圆典型例题八例 如图，A 为⊙O 外一点，AO 交⊙O 于P ，AB 切⊙O 于B ，5=AP 厘米，35=AB 厘米，求图中阴影部分的面积.分析：图中阴影部分面积计算无公式可用，可转化为OBA ∆Rt 与扇形OBP 的面积差. 解 连结OB ，因AB 为⊙O 的切线，故AB OB ⊥ 设⊙O 的半径为r ，在OBA ∆Rt 中，r OB =，35=AB ，r OA +=5. 则有222)5()35(r r +=+，︒=∠∴60OO BP O BA S S S 扇形阴影-=∴∆360560355212⋅-⨯⨯=π 6252325π-=（平方厘米） 说明：本例求半径r 时，还可用切割线定理.典型例题九例 已知：如图，OA 和1OO 是⊙O 中互相垂直的半径，B 在上，弧的圆心是1O ，半径是1OO ，⊙2O 与⊙O 、⊙1O 、OA 都相切，61=OO .求图中阴影部分的面积.解析设⊙2O 与⊙O 、⊙1O 、OA 分别切于点D 、C 、E ，设⊙2O 的半径为r ，连结21O O ，E O 2，过点2O 作O O F O 12⊥于F ，连结B O 1、OB 、2OO .r E O r F O r O O O O =-=+=∴=21211,6,6,6212212F O O O EO F O -==r r r 62)6()6(22=--+=r r F O O O S O OO 6662621212121=⋅⨯⨯=⋅=∴∆又)69)(69)(69(921r r S O OO --+--⨯=∴∆)9(332r -=)9(33662r r -=∴2922r r -=，298r r -=1=∴r 或9-=r （舍去）又OB O 1∆ 是等边三角形︒=∠=∠===∴60,61111BOO O BO O O OB B O∴扇形BO O 1和扇形B OO 1的面积相等且都等于ππ63606021=⋅O O O O 1∴、、所组成的图形面积为扇形BO O 1和扇形B OO 1的面积之和减去三角形OB O 1的面积.即391223662166-=⨯⨯⨯-+πππ 又 扇形1OAO 的面积为：ππ96412=⋅∴阴影部分的面积为：ππππππ-+-=⋅---39129)3912(92r π439-=说明：求组合图形的面积一般要构造出易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，最后通过面积的加、减得出结论.本题较为复杂，考察的知识面较多，要正确作辅助线，找出解题的思路.典型例题十例 （1）已知扇形的半径为10cm ，弧长为π5cm ，则扇形的面积为______cm 2. （2）一个扇形的半径等于一个圆的半径的3倍，且面积相等，则这个扇形的圆心角等于________度.（3）如图，已知半圆的直径︒=∠==35,,cm 10ACD AD AB BC ，则图中阴影部分的面积等于_________.解 （1）设扇形半径为R ，弧长为l ，则).cm (2510521212ππ=⨯⨯=⋅=R l S 扇形 （2）设扇形的半径为R 3，则圆的半径为R ，22)(R R S ππ=⋅=圆.依题意，得扇形的圆心角为：︒=÷120360)3(22R R ππ（3）连结,,,AD AB OA OD = ∴∴.2ACD ∠=∠又.352,35︒=∠∴︒=∠ACD 又.1,3521,ACD OC PA ∠=∠∴︒=∠=∠∴=)cm (925360540.,//22ππ=⨯⨯==∴=∴∴∆∆OCDADC ODC S S S S DC AO 扇形阴影说明：本题考查面积公式的应用，弄清公式中字母的意义，善于进行图形的转换是解题关键.典型例题十一例 如图，已知：⊙O 的长l 是半径R 的π32倍，BC AC ,是方程01)1(22=++---m x m x 的根，1=OC ，求弓形AmB 的面积.解 延长线段OC 交⊙O 于F E ,，作AB OG ⊥于G ，∴.21AB GB =又.120,120,32180︒=∠=∴==AOB n R R n l ππ ∴.60︒=∠GOB在Rt OGB ∆中，.2360sin R R GB =︒⋅= ∴R AB 3=，又.21,cos R OG OB OG GOB =∴=∠ ∴.4321321212R R R OG AB S ABO =⨯⨯=⋅=∆ BC AC , 是方程01)1(22=++---m x m x 的根，∴21+-=⋅m BC AC ，① 21m BC AC -=+ ② 又1))((222-=-=+-=⋅=⋅R OC R OC R OC R CF CE BC AC ③ ∴R AB BC AC 3==+ ④ 由②④得213m R -=，由①，③得.2112+=-m R解方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=--=.211,2132m R m R 得.3=R∴.360)3(120,4334322ππ===∆OAmB ABO S R S 扇形＝∴弓形AmB 的面积.433-=-=∆πOAB OAmB S S 扇形 说明：本题考查方程与面积的综合应用，解题关键是求⊙O 的半径，应用一元二次方程的根与系数关系等求出面积.典型例题十二例 如图，已知：⊙O 的半径为R ，直径⊥AB 直径CD ，以B 为圆心，以BD 为半径作⊙B 交AB 于E ，交AB 的延长线于F ，连结DB 并延长交⊙B 于M ，连结MA 交⊙O 于N ，交CD 于H ，交⊙B 于G .（1）求图中阴影部分的面积S ；（2）求证：.HM HG HN HA ⋅=⋅解 （1）连结BC ，则,,2122R S R S BCD BCED ==∆π扇形 .2121.2122222R R R R S S R S CED =+-=∴-=∴πππ弓形（2）由相交弦定理，得HC HD HM HG HC HD HN HA ⋅=⋅⋅=⋅,，∴.HM HG HN HA ⋅=⋅说明：本题综合考查阴影面积计算与比例线段的证明，解题关键是把组合图形的面积，化归为几个简单图形面积的和或差.典型例题十三例 如图，ABC ∆为某一住宅区的平面示意图，其周长为800米，为了美化环境，计划在住宅区周围5米（虚线以内，ABC ∆之外）作为绿化带，则绿化带的面积为______（米2）.解 分别过C B A ,,作BC C C BC B B AC A A AC C C AB B B AB A A ⊥''⊥''⊥''⊥'⊥'⊥',,,,,，则A A A S A A AC B B BC B B AB S '''+''⋅+''⋅+'⋅=3.2540005800518018022πππ+=⋅+⨯='⋅⋅+⨯'=∆B B l B B ABC 说明：本题考查不规则图形的面积计算，解题关键是通过作辅助线转化为规则几何图形求解.选择题1. 如图，在ABC ∆Rt 中，︒=∠90BAC ，2==AC AB 以AB 为直径的圆交BC 于D ，则图中阴影部分面积为（）A ．1B ．2C ．41π+D ．42π-2. 如果扇形的圆心角为︒150，扇形面积为2cm 240π，那么扇形的弧长为（） A ．cm 5π B ．cm 10π C ．cm 20π D ．cm 40π3. 正方形的内切圆半径为r ，这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形，其中一个弓形的面积为（） A ．222r -πB ．221r -π C ．2)2(r -πD ．2)1(r -π4. 设三个同心圆的半径分别为1r ，2r ，3r ，且321r r r <<，如果大圆的面积被两个小圆分成三等分，那么321::r r r 为（） A ．1：2：3B ．3:2:1C ．9:4:1D ．2:3:15．已知如图，扇形AOB 的半径为12，OB OA ⊥，C 为OB 上一点，以OA 为直径的半圆1O 和以BC 为直径的半圆2O 相切于点D ，则图中阴影部分面积为（ ）（A ）π6 （B ）π10 （C ）π12 （D ）π206．若⊙1O 的60°弧与⊙2O 的45°弧长度相等，则⊙1O 与⊙2O 的面积之比为（ ） A ．16：9 B ．9：16 C ．4：3 D ．3：47．若扇形的面积为π12，它的弧所对的圆心角为25°，则扇形的半径是（ ）A ．212B ．30512C ．12D ．612 8．两圆半径分别为R 和r ，另有一大圆的面积等于这两圆面积之和的4倍，则此大圆半径为（ ）A ．)(21r R + B ．)(2122r R + C ．2221r R + D ．222r R + 9．两同心圆小圆切线被大圆所截部分为6cm ，则这两圆围成的环形面积为（ ）。