坐标系中的平行四边形

坐标系中的平行四边形20140424

1．如图①，在平面直角坐标系中，平行四边

形ABCD在第一象限，直线y=﹣x从原点出

发沿x轴正方向平移，被平行四边形ABCD

截得的线段EF的长度l与平移的距离m的函

数图象如图②所示，那么平行四边形的面积

为（）

A．B．4 C．6 D．8

2．在如图所示的平面直角坐标系中，以A,B,C,D为顶点，构造平行四边形，则该平行四边形的顶点D的坐标为_________．

3．如图：在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（1，5）、（3，3），一次函数y=kx+b 的图象与x轴、y轴分别交于点M、N，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则一次函数y=kx+b的关系式为_________．

4．如图，已知在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD顶点A（0，0），C（10，4），直线y=ax﹣2a﹣1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，求a的值．

5．如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（0，3），P是x轴上一动点，在直线y=x上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的P、Q的坐标；若不存在，请说明理由．

x y C

Q D

B A O M N

6．如图所示，已知点A （3，0），点B 坐标为（0，1），动点M 是y 轴正半轴上B 点上方的点，动点N 在直线x=3上且位于点A 的上方，过点B 作AB 的垂线，交直线x=3于点D ，交直线MN 于点Q 连接AQ ，取AQ 的中点为C ．当点Q 在射线BD 上时，若以点B ，C ，N ，Q 为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长．

7．如图，平行四边形ABCD 在平面直角坐标系中，AD=6，若OA 、OB 的长是关于x 的一元二次方程x 2﹣7x+12=0的两个根，且OA ＞OB ．

（1）则点C 的坐标是 _________ ，点D 的坐标是 _________ ；

（2）若将此平行四边形ABCD 沿x 轴正方向向右平移3个单位，沿y 轴正方向向上平移2个单位，则点C 的坐标是 _________ ，点D 的坐标是 _________ ；

（3）若将平行四边形ABCD 平移到第一象限后，点B 的坐标是（a ，b ），则点C 的坐标是 _________ ，点D 的坐标是 _________ ；

（4）若点M 在平面直角坐标系内，则在上图的直线AB 上，并且在第一、第二象限内是否存在点F ，使以A 、C 、F 、M 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出F 点的坐标；若不存在，请说明理由．

2014年4月窗户的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．选择题（共1小题）

1．如图①，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD在第一象限，直线y=﹣x从原点出发沿x轴正方向平移，被平行四边形ABCD截得的线段EF的长度l与平移的距离m的函数图象如图②所示，那么平行四边形的面积为（）

A．B．4C．6D．8

考点：动点问题的函数图象．

专题：压轴题．

分析：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A，当移动距离是7时，直线经过D，在移动距离是8时经过B，则AB=8﹣4=4，当直线经过D点，设交AB与N，则DN=2，作DM⊥AB于点M．利用三角函数即可求得DM即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．

解答：解：根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点A，当移动距离是7时，直线经过D，在移动距离是8时经过B，

则AB=8﹣4=4，

当直线经过D点，设交AB与N，则DN=2，作DM⊥AB于点M．

∵y=﹣x与x轴形成的角是45°，

又∵AB∥x轴，

∴∠DNM=45°，

∴DM=DN•sin45°=2×=2，

则平行四边形的面积是：AB•DM=4×2=8．

故选D．

点评：本题考查了函数的图象，根据图象理解AB的长度，正确求得平行四边形的高是关键．

二．填空题（共2小题）

考点：平行四边形的性质；坐标与图形性质．

分析：由图可求得点A，B，C的坐标，又由平行四边形的性质，即可求得该平行四边形另一个顶点D的坐标．

解答：解：∵点A（0，2），B（﹣1，﹣1），C（3，﹣1），

∴BC=4，

∴AD=4，

∴该平行四边形另一个顶点D的坐标为（4，2）或（﹣4，2）．

故答案为：（4，2），（﹣4，2）．

点评：此题考查了平行四边形的性质以及坐标与图形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用是解此题的关键．

3．（2013•江宁区二模）如图：在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（1，5）、（3，3），一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别交于点M、N，如果以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形，则一次函数y=kx+b的关系式为y=﹣x+2或y=﹣x﹣2或y=﹣

2x+8．

考点：一次函数综合题．

专题：综合题．

分析：如图所示，分三种情况考虑：（i）当直线MN与x轴、y轴交于N（2，0）、M（0，2），此时MN=AB=2，且直线MN与直线AB斜率相同，即两直线平行，可得出此时AMNB 为平行四边形，满足题意，求出此时直线MN的方程；（ii）当直线与x轴，y轴分别交于N′、M′，此时M′N′=AB=2，且直线M′N′与直线AB斜率相同，即两直线平行，可

求出此时直线方程即可．

解答：解：如图所示：分三种情况考虑：

（i）当直线MN与x轴、y轴交于N（2，0）、M（0，2），此时MN=AB=2，

且直线MN与直线AB斜率相同，都为﹣1，即两直线平行，

∴AMNB为平行四边形，

将M、N两点代入y=kx+b中得：，

解得：k=﹣1，b=2，此时直线MN的方程为y=﹣x+2；

（ii）当直线与x轴，y轴分别交于N′（﹣2，0）、M′（0，﹣2），此时M′N′=AB=2，且直线M′N′与直线AB斜率相同，都为﹣1，即两直线平行，

∴AN′M′B为平行四边形，

将M′、N′两点坐标代入y=kx+b中得：，

解得：k=﹣1，b=﹣2，此时直线的方程为y=﹣x﹣2；

（iii）直线与x轴，y轴分别交于N′′、M′′，直线M′′N′′与直线AB交于C点，

若C为M′′N′′与AB中点，四边形为平行四边形，此时C坐标为（2，4），M′′（0，8），N′′（4，0），

将M′′、N′′两点坐标代入y=kx+b得：，

解得：k=﹣2，b=8，

此时直线方程为y=﹣2x+8，

综上，一次函数y=kx+b解析式为y=﹣x+2或y=﹣x﹣2或y=﹣2x+8．

故答案为：y=﹣x+2或y=﹣x﹣2或y=﹣2x+8

点评：此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：平行四边形的判定与性质，两点间的距离公式，直线的斜率，平行四边形的判定，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形性质，利用了数形结合与分类讨论的思想，做题时注意考虑问题要全面，不用漏解．

三．解答题（共4小题）

4．如图，已知在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD顶点A（0，0），C（10，4），直线

y=ax﹣2a﹣1将平行四边形ABCD分成面积相等的两部分，求a的值．