数学选修2-1第二章单元检测(A卷)

第二章 圆锥曲线与方程(A)

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

1．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值是( ) A.14 B.1

2

C ．2

D ．4 2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1 (m >0，n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12

，则

此椭圆的方程为( )

A.x 212＋y 216＝1

B.x 216＋y 2

12＝1

C.x 248＋y 264＝1

D.x 264＋y 2

48

＝1 3．已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一个焦点在抛物

线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 2

27

＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 2

9

＝1 4．P 是长轴在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1上的点，F 1、F 2分别为椭圆的两个焦点，椭圆的

半焦距为c ，则|PF 1|·|PF 2|的最大值与最小值之差一定是( ) A ．1 B ．a 2 C ．b 2 D ．c 2

5．双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为( )

A.x 24－y 24＝1

B.y 24－x 2

4＝1 C.y 24－x 28＝1 D.x 28－y 2

4

＝1 6．设a >1，则双曲线x 2a 2－

y 2a ＋1

2

＝1的离心率e 的取值范围是( )

A ．(2，2)

B ．(2，5)

C ．(2,5)

D ．(2，5)

7.

如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P是侧面BB1C1C内一动点，若P到直线BC 与到直线C1D1的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是( )

A ．直线

B ．圆

C ．双曲线

D ．抛物线

8．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若FA ＋FB ＋FC ＝

0，则|FA |＋|FB |＋|FC |等于( )

A ．9

B ．6

C ．4

D ．3

9．已知双曲线x 2a 2－y 2

b

2＝1 (a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与

双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( ) A ．(1,2] B ．(1,2)

C ．[2，＋∞)

D ．(2，＋∞) 10．若动圆圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过定点( ) A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2) D ．(0，－2)

11．抛物线y ＝x 2上到直线2x －y ＝4距离最近的点的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭

⎪⎫

32，54 B ．(1,1) C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫

32，94 D ．(2,4) 12．已知椭圆x 2sin α－y 2cos α＝1 (0≤α<2π)的焦点在y 轴上，则α的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，π B.⎝ ⎛⎭

⎪⎫π4，34π C. ⎛⎪⎫π2，π D. ⎛⎪⎫π2，34π

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13．椭圆的两个焦点为F 1、F 2，短轴的一个端点为A ，且三角形F 1AF 2是顶角为120°的等腰三角形，则此椭圆的离心率为________．

14．点P (8,1)平分双曲线x 2－4y 2＝4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是______________．

15．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)的左、右焦点分别是F 1、F 2，线段F 1F 2被点⎝ ⎛⎭

⎪⎫

b 2，0分成3∶

1的两段，则此椭圆的离心率为________．

16．对于曲线C ：x 24－k ＋y 2

k －1＝1，给出下面四个命题：

①曲线C 不可能表示椭圆；

②当1

③若曲线C 表示双曲线，则k <1或k >4； ④若曲线C 表示焦点在x 轴上的椭圆，则1

2.

其中所有正确命题的序号为________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分)

17．(10分)已知点M 在椭圆x 236＋y 2

9＝1上，MP ′垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P ′，

并且M 为线段PP ′的中点，求P 点的轨迹方程．

18．(12分)双曲线C 与椭圆x 28＋y 2

4＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线．求

双曲线C 的方程．

19.(12分)直线y ＝kx －2交抛物线y 2＝8x 于A 、B 两点，若线段AB 中点的横坐标等于2，求弦AB 的长．

20．(12分)已知点P (3,4)是椭圆x 2a 2＋y 2

b

2＝1 (a >b >0)上的一点，F 1、F 2为椭圆的两焦点，若

PF 1⊥PF 2，试求：

(1)椭圆的方程； (2)△PF 1F 2的面积．

21.(12分)已知过抛物线y 2

＝2px (p >0)的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，且|AB |＝5

2

p ，

求AB 所在的直线方程．