第15讲 函数与方程(原卷版)

第15讲：函数与方程

一、课程标准

1．结合二次函数的图象，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．2．根据具体函数的图象，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常用方法．

二、基础知识回顾

1、函数的零点

(1)函数零点的定义：对于函数y＝f(x)，把使方程f(x)＝0的实数x称为函数y＝f(x)的零点．

(2)方程的根与函数零点的关系：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．所以函数y＝f(x)有零点等价于函数y＝f(x)的图像与x轴有交点，也等价于方程f(x)＝0有实根．

(3)零点存在性定理：

如果函数y＝f(x)在区间(a，b)上的图像是一条连续的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，

b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时c就是方程f(x)＝0的根．但反之，不成立．

2、二分法

对于在区间上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程f(x)＝0的近似解就是求函数f(x)零点的近似值．

3、二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与零点的关系

4、有关函数零点的结论

(1)若连续不断的函数f (x )在定义域上是单调函数，则f (x )至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

三、自主热身、归纳总结

1、函数f(x)＝12

x

－⎝⎛⎭⎫12x

的零点个数为( )

A . 0

B . 1

C . 2

D . 3 2、已知函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下对应值表：

在下列区间中，函数f (x )必有零点的区间为( ) A ．(1，2) B ．(2，3) C ．(3，4)

D ．(4，5)

3、设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3)

D ．(3，4)

4、(多选)给出以下四个方程，其中有唯一解的是( ) A ．ln x ＝1－x B ．e x

＝1

x

C ．2－x 2＝lg|x |

D ．cos x ＝|x |＋1

5、若函数f (x )＝log 2x ＋x －k (k ∈Z )在区间(2，3)内有零点，则k ＝________．

6、 已知函数f(x)＝x 2－2ax ＋2在区间[0，4]上至少有一个零点，则实数a 的取值范围是______．

7、(一题两空)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，

x 3，x ＜1，若f (x 0)＝－1，则x 0＝________；若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不

同零点，则实数k 的取值范围是________．

四、例题选讲

考点一 判断零点所在的区间

例1、（1）若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )

A ．(a ，b )和(b ，c )内

B ．(－∞，a )和(a ，b )内

C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内

D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)

（2）已知函数f(x)＝ln x －2

12x -⎛⎫ ⎪⎝⎭

的零点为x 0，则x 0所在的区间是(C )

A . (0，1)

B . (1，2)

C . (2，3)

D . (3，4)

（3）若x 0是方程⎝⎛⎭⎫12x ＝x 1

3

的解，则x 0属于区间( ) A.⎝⎛⎭⎫23，1 B.⎝⎛⎭⎫12，23 C.⎝⎛⎭⎫13，12

D.⎝⎛⎭⎫0，13

变式： (1)已知函数f (x )＝1

x －a 为奇函数，g (x )＝ln x －2f (x )，则函数g (x )的零点所在区间为( ) A.(0，1)

B.(1，2)

C.(2，3)

D.(3，4)

（2）已知方程2x ＋3x ＝k 的解在[1，2)内，则k 的取值范围为________．

（3）设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛

⎭⎫12x －

2的图象的交点为(x 0，y 0)，若x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N ，则x 0所在的区间是________.

方法总结：确定函数f (x )的零点所在区间的常用方法：

(1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点.

(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断.

2.函数的零点存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，不满足条件时，一定要综合函数性质进行分析判断.

考点二 判断零点的个数

1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上

⎩

⎨⎧<≤-<≤-=43,43

2,2)(x x x x x f 则函数x x f y log 5)(-=的零点的个数为

变式1、（1）(2019·十堰调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧ln （x －1），x >1，2x －1

－1，x ≤1，

则f (x )的零点个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2

D ．3