人教版第24章圆的知识点及典型例题

圆知识点总结

一．圆的定义

1．在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．这个固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．

2．圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．

3．确定圆的条件：⑴圆心；⑵半径，其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小．

二．同圆、同心圆、等圆

1．圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；

2．圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；

3．半径相等的圆叫做等圆．

三．弦和弧

1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍．

2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A B

、为端点的弧记作AB，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．

3．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．

4．从圆心到弦的距离叫做弦心距．

5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．

四．与圆有关的角及相关定理

1．顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1︒的圆心角，我们也称这样的弧为1︒的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数相等．

2．顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．

圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

推论1：在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等．

推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90︒的圆周角所对的弦是直径．

（在同圆中，半弧所对的圆心角等于全弧所对的圆周角）

3．顶点在圆内，两边与圆相交的角叫圆内角．

圆内角定理：圆内角的度数等于圆内角所对的两条弧的度数和的一半．

4．顶点在圆外，两边与圆相交的角叫圆外角．

圆外角定理：圆外角的度数等于圆外角所对的长弧的度数与短弧的度数的差的一半． 5．圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．

6．如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

7．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等．

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等．

五．垂径定理

1．垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2．其它正确结论：

⑴ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

⑵ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧． ⑶ 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 3．知二推三：

⑴直径或半径；⑵垂直弦；⑶平分弦；⑷平分劣弧；⑸平分优弧．

以上五个条件知二推三．注意：在由⑴⑶推⑵⑷⑸时，要注意平分的弦非直径． 4．常见辅助线做法：

⑴过圆心，作垂线，连半径，造RT △，用勾股，求长度； ⑵有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分． 相关题目：

1．平面内有一点到圆上的最大距离是6，最小距离是2，求该圆的半径 2．（08郴州）已知在O ⊙中，半径5r =，AB CD ，是两条平行弦，且86AB CD ==，，则弦AC 的长为__________．

． 六．点与圆的位置关系 1．点与圆的位置有三种：

⑴点在圆外⇔d r >；⑵点在圆上⇔d r =；⑶点在圆内⇔d r <. 如下表所示：

2．过已知点作圆

⑴经过点A 的圆：以点A 以外的任意一点O 为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A 的圆，这样的圆有无数个． ⑵经过两点A B 、的圆：以线段AB 中垂线上任意一点O 作为圆心，以OA 的长为半径，即可作出过点A B 、的圆，这样的圆也有无数个．

⑶过三点的圆：若这三点A B C 、、共线时，过三点的圆不存在；若A B C 、、三点不共线时，圆心是线段AB 与BC 的中垂线的交点，而这个交点O 是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．

⑷过n ()4n ≥个点的圆：只可以作0个或1个，当只可作一个时，其圆心是其中不共

线三点确定的圆的圆心．

3．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．

注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点

不能作圆；

⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．

4．三角形的外接圆

⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质：

①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；

②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.

⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中

点

处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在

它的外部（如图3）.

图3

图2图1

C

B

C

C

五．直线和圆的位置关系的定义、性质及判定

设O ⊙的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则直线和圆的位置关系如下表：

从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：