信号与系统习题问题详解(7-10)
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7.22 信号()y t 由两个均为带限的信号1()x t 和2()x t 卷积而成,即
12()()()y t x t x t =* 其中
12()0,1000()0,2000X j X j ωωπωωπ
=>=>
现对()y t 作冲激串采样,以得到
()()()p y t y nT t nT δ+∞
-∞=-∑
请给出()y t 保证能从()p y t 中恢复出来的采样周期T 的围。
解:根据傅立叶变换性质,可得
12()()()Y j X j X j ωωω= 因此,有
当1000ωπ>时,()0Y j ω=
即()y t 的最高频率为1000π,所以()y t 的奈奎施特率为210002000ππ⨯=,因此最大采样周期3210()2000T s π
π
-=
=,所以当310()T s -<时能保证()y t 从()p y t 中恢复出来。
7.27如图7.27(a )一采样系统,)(t x 是实信号,且其频谱函数为)(ωj X ,如图7.27(b )。频率0ω选为()2102
1
ωωω+=
,低通滤波器()ωj H 的截至频率为()122
1
ωωω-=
c 。 1. 画出输出()t x 2的频谱()ωj X 2;
2. 确定最大采样周期T ,以使得()t x 可以从()t x p
恢复;
1
()
X j ωω
1
021
2
ωω-122ωω-2()
X j ωω
1
021
2
ωω-122ωω-
图7.27(a )
图7.27(b) 解:
1、)(t x 经复指数调制后的01()()j t
x t x t e
ω-=,其傅立叶变换为
10()(())X j X j ωωω=+ 如图(a )所示。
图(a ) 图(b ) 经低通滤波器()H j ω的输出2()x t 的频谱2()X j ω如图(b )所示。 2、由图(b )可见,2()X j ω的带宽为21ωω- ,所以最大采样周期为
max 21
2T π
ωω=
-
8.3设()x t 是一实值信号,并有()0X j ω=,2000ωπ>,现进行幅度调制以产生信号()()()sin 2000g t x t t π=,图4-1给出一种解调方法,其中()g t 是输入,()y t 是输出,理想低通滤波器截止频率为2000π,通带增益为2,试确定()y t 。
图4-1
解:()()()()()1
()cos(2000)sin 2000cos(2000)sin 40002
w t g t x t t x t t ππππ===
对 ()w t 进行傅立叶变换 ()()11
()(4000)(4000)44W j X j X j j j ωωπωπ=
--+ 因为()02000, X j ωωπ=>
很明显,()02000, W j ωωπ=≤,所以()w t 通过截止频率为2000π的理想低通滤波器后的输出()0y t =。 9.17
解:系统可以看作是由()1H s 和()2H s 的并联构成
()122
14(2)8
s H s s s =
=++
()cos 2000t π(g t ()
y t
Im
()211
12(1)2
s H s s s =
=++
()()()122
312
1016
s H s H s H s s s +=+=
++ ()2()312
()1016
Y s s H s X s s s +=
=++ 2()(1016)()(312)Y s s s X s s ++=+
求上式反变换,有
2()()()
1016()12()3d y t dy t dx t y t x t dt dt dt
++=+ 9.28考虑一LTI 系统,其系统函数()H s 的零极点图如图9.28所示。 1.指出与该零极点图有关的所有可能的收敛域ROC 。
2.对于1中所标定的每个ROC ,给出有关的系统是否是稳定和/或因果的。
图9.28
解:1. 可能的收敛域ROC 为: (1)Re{}2s <-
(2)2Re{}1s -<<-
)
s (3)1Re{}1s -<< (4)Re{}1s >
2. (1)Re{}2s <-,不稳定和反因果的。 (2)2Re{}1s -<<-,不稳定和非因果的。
(3)1Re{}1s -<<,稳定和非因果的。 (4)Re{}1s >,不稳定和因果的。
9.31有一连续时间LTI 系统,其输入()t x 和输出()y t 由下列微分方程所关联:
22
()()
2()()d y t dy t y t x t dt dt
--= 设()X s 和()Y s 分别是()t x 和()y t 的拉普拉斯变换,()H s 是系统单位冲激响应()h t 的拉普拉斯变换。
1. 求()H s ,画出()H s 的零极点图。
2. 对下列每一种情况求()h t :
(1)系统是稳定的。(2)系统是因果的。(3)系统既不稳定又不是因果的。 解:
1、对给出的微分方程两边作拉普拉斯变换,得
()()()()22s Y s sY s Y s X s --=
所以得
()2()11()2(2)(1)
Y s H s X s s s s s ===---+ 其零—极点图如图(a )所示。 图(a ) 2、()2()111111
()2(2)(1)3231
Y s H s X s s s s s s s =
===----+-+