线代习题及答案

1. 设均为三阶矩阵，A

2,

B 3，则2A B

= ______ .

2. 设是4阶矩阵，伴随矩阵的特征值是 1

,2，4,8，则矩阵的全部特征值是 3.

若向量组 1

(

1,3,6,2

), 2 (2,1,2, 1)

,

3

(1,

1,a, 2)

的秩为 2 ,

则 __________ .

t 1 1

A 1 t 1

6设是阶方阵，均为方程组AX

b 的解，且

x

1 x

2

,则____________________

1

a

的一个特征向量，则 ,

1 2 A

8设

a 5

是正定矩阵，则a 的取值为

1写出四阶行列式中含有因子

a 11a 23的项.

3 1

1 2

5 13 4 2 0 11 15

3 3

都是4维列向量，且4阶行列式

4. 若矩阵

为正定的，则t 满足的条件为

.5 若 R(A) 2,B

1 0 2

0 2 0，贝U R(AB)

1 0 3

(1,1)T 是 A

已知x

2求排列1

3

(2n 1) 2 4…(2n)逆序数;

2试计算行列式

,1 , 2, 3 b，求4阶行列式 1 , 2 , 3 ,

O

4 2 3

4•设矩阵A= 1 1 0，求矩阵B使其满足矩阵方程

1 2 3

1、AB=A+2B.

2、BA=A+2B.

1 0 3 1 2

1 1

2 1 1

b 6

1 2 2 3 3 4

a 10 2

5设向量 4 2 14 a 5 10，问：取何值时，向量可由向量组1，2, 3, 4线性表示并在可以线性表示时求出此线性表示式

7求下列矩阵的秩，并指出该矩阵的一个最高阶非零子式

0 1 1 1 2

0 2 2 2 0

0 1 1 1 1

1 1 0 1 1

0 1 1 2

0 2 2 0

2•秩为

0 1 1 1

解 1 1 0 1

2 1

3 0 1

3 0 1 8.给定向量组a 1=

，a 2= ，a 3= ，a 4=

0 2 2 4

. 3

4

1

9

试判断a 4是否为a 1 ，a 2 ，

a

3 的线性组合；若

是，

则求出组合系数。

3 3 3 3 4

求：（1）秩（ A ）；

2）A 的列向量组的一个最大线性无关组。

1 2 3 4

1 1 1 A

1

2

3

4

1 3 0 3 10 知向量组

7 3

1

求向量组 A 的秩；判断向量组的相关性；求其一个极大无关组；将其余向量用极大无 关组线性表示。

1 2 3 4

1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1

A

1 3 0 3 0 0 1

2 0 7

3 1 0 0 0 0

11．求下列齐次线性方程组的基础解系

x

1

8x 2 10x 3 2x 4 0 (1) 2x 1

4x 2 5x 3 x

4

0 3x 1 8x 2

6x 3

2x 4

x 1 2x 2

x

3 1

ax 2

x

3

1

12 5 分）设非齐次线性方程组

x 1 3x 2

(a 1）x 3

问：a 取何值时，此方程

9.设矩阵 A=

26

02

组有唯一解、无解、有无穷多解并在有无穷多解时求其通解．

13．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为

3，已知 1

, 2 , 3 是它

的三个解向量．且

2

1 3

2

1 ,

2 3

1

4 2

3 5

4

求该方程组的通解．

22

3 4的全部特征值为1,和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D,使T 1

AT=D.

43

15 试用配方法化下列二次型为标准形

f(x 1,x 2,x 3)=x 12

并写出所用的满秩线性变换。

T

2

2

2

16 设二次型 f (x 1,x 2,x 3) X AX 2x 2

2bx 1x 3 2x 3,(b 0),其中 A 的特征

值之和为 1 ，特征值之积为 -12. (1)求a,b 的值；

17.设方阵A 满足A 3=0，试证明E-A 可逆，且(E-A ) -1

=E+A+A\

0 14. 设矩阵 A= 2

2 2 X T — X

3

X T — X 2)利用正交变法将二次型

f 化为标准型,并写出正交矩阵