四李雅普诺夫稳定性理论PPT课件
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巧来构造李氏函数
6
4.1 稳定性基本概念
1.自治系统：输入为0的系统 x =Ax+Bu(u=0) 2.初态 x =f(x,t)的解为 x(t; x0,t0 )
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
3.平衡状态：
xe f (xe , t) 0 xe 系统的平衡状态 a.线性系统 x Ax x Rn
开了S(），这说明平衡状态是不稳定的。然而
却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为轨
迹还可能趋于在S(）外的某个极限环,若存在
极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下的稳定。
15
图4.1 （a）稳定平衡状态及一条典型轨迹 （b）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹 （c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹
16
4.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。
欧几里得范数。
1
x0 xe [(x10 x1e )2 (xn0 xne )2 ]2 11
2.渐近稳定
1）是李雅普诺夫意义下的稳定
2） lim t
x(t; x0,t0 ) xe
0
与t0无关 一致渐近稳定
3.大范围内渐近稳定性
对 x0 s( )
非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非线 性系统)
4
1892年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳 定性定理采用了状态向量来描述，适用 于单变量，线性，非线性，定常，时变， 多变量等系统。
应用：自适应控制，最优控制，非线性 控制等。
5
主要内容： 李氏第一法（间接法）：求解特征方程
的特征值 李氏第二法（直接法）：利用经验和技
f1
f xT
x1
fn
f1
x2 fn
f1
xn
fn
x1 x2
xn
19
上式为向量函数的雅可比矩阵。
f f1 f2 fn T
x x1 x2 xn T
令 x x f (xe )
1. 线性定常系统稳定性的特征值判据
x Ax x(0) x0 t 0
1）李雅普诺夫意义下的稳定的充要条件：
Re(i ) 0 i 1,2,n
2）渐近稳定的充要条件：
Re( i ) 0 i 1,2,n
3）不稳定的充要条件：Re( i ) 0
17
2. 非线性系统的稳定性分析 假定非线性系统在平衡状态附近可展
A非奇异： Axe 0 xe 0
A奇异：
Axe 0 有无穷多个 xe 7
b.非线性系统
x f (xe ,t) 0
例4-1: x1 x1 x2 x1 x2 x23
令 x1 0 x2 0
可能有多个 xe
xe 1
0
0
第四章 李雅普诺夫稳定性理论 4.1 稳定性基本概念 4.2 李雅普诺夫稳定性的定义 4.3 李雅普诺夫第一法 4.4 李雅普诺夫第二法 4.5 线性定常系统渐近稳定性判别法 4.6构造李雅普诺夫函数的一些方法
1
教学要求： 1.正确理解稳定性基本概念和李雅普诺夫意义稳 定性概念。 2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法。 3.掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近 稳定性分析方法。 重点内容： •李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理， 李雅普诺夫函数的构造。 •线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别 •李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别。
x0 xe (,t0)
的任意初始态 x0 出发的运动轨迹
x(t; x0,t0 )，在t 都满足：
10
x(t; x0,t0) xe , t t0
则称 xe是李雅普诺夫意义下稳定的。
时变： 与t0 有关 定常系统： 与t0无关，xe 是一致稳定的。
注意： －向量范数(表示空间距离)
0 xe2 1
0 xe3 1
8
4. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分 小的邻域内不存在别的平衡状态。 对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的 坐标变换，把它变换到状态空间的原点。
9
4.2 李雅普诺夫稳定性的定义
1.李雅普诺夫意义下的稳定
如果对每个实数 0 都对应存在另一 个实数 ( ,t0 ) 0 满足
开成台劳级数，可用线性化系统的特征值 判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定 性。
设非线性系统状态方程：
x f (x) f (x) --非线性函数
在平衡状态 xe 附近存在各阶偏导数，
于是：
18
f
x
f (xe ) xT
(x xe ) g(x)
x xe
其中：
g(x) --级数展开式中二阶以上各项之和
都有 lim t
x(t; x0,t0 ) xe
0
12
初始条件扩展到整个空间，且是渐近稳定性。
s( ) , x xe大范围稳定
线性系统(严格)：如果它是渐近稳定的，必 是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初 始条件的大小无关)。
非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状 态空间出发的轨迹都收敛 xe 或其附近。
2
研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统 正常工作的必要条件，是一个重要特征。
要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡 状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢 复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡 状态继续工作。
稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系 统状态方程解的收敛性，而与输入作用无 关。
3
经典控制理论稳定性判别方法：代数判据， 奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据
x x xe
f A xT xxe
则线性化系统方程为： x Ax
20
Fra Baidu bibliotek13
当 与t0 无关 大范围一致渐近稳定。
必要条件：在整个状态空间中只有一个平 衡状态 xe
4. 不稳定性：不管 ， 有多小，只要s( )
内由 x0 出发的轨迹超出 s( )以外，则称此
平衡状态是不稳定的。
14
线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定。 非线性系统的平衡状态不稳定 只说明轨迹离
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4.1 稳定性基本概念
1.自治系统：输入为0的系统 x =Ax+Bu(u=0) 2.初态 x =f(x,t)的解为 x(t; x0,t0 )
x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态
3.平衡状态：
xe f (xe , t) 0 xe 系统的平衡状态 a.线性系统 x Ax x Rn
开了S(），这说明平衡状态是不稳定的。然而
却不能说明轨迹将趋于无穷远处，这是因为轨
迹还可能趋于在S(）外的某个极限环,若存在
极限环，则系统仍是李雅普诺夫意义下的稳定。
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图4.1 （a）稳定平衡状态及一条典型轨迹 （b）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹 （c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹
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4.3 李雅普诺夫第一法（间接法） 利用状态方程解的特性来判断系统稳定性。
欧几里得范数。
1
x0 xe [(x10 x1e )2 (xn0 xne )2 ]2 11
2.渐近稳定
1）是李雅普诺夫意义下的稳定
2） lim t
x(t; x0,t0 ) xe
0
与t0无关 一致渐近稳定
3.大范围内渐近稳定性
对 x0 s( )
非线性系统：相平面法(适用于一，二阶非线 性系统)
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1892年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳 定性定理采用了状态向量来描述，适用 于单变量，线性，非线性，定常，时变， 多变量等系统。
应用：自适应控制，最优控制，非线性 控制等。
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主要内容： 李氏第一法（间接法）：求解特征方程
的特征值 李氏第二法（直接法）：利用经验和技
f1
f xT
x1
fn
f1
x2 fn
f1
xn
fn
x1 x2
xn
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上式为向量函数的雅可比矩阵。
f f1 f2 fn T
x x1 x2 xn T
令 x x f (xe )
1. 线性定常系统稳定性的特征值判据
x Ax x(0) x0 t 0
1）李雅普诺夫意义下的稳定的充要条件：
Re(i ) 0 i 1,2,n
2）渐近稳定的充要条件：
Re( i ) 0 i 1,2,n
3）不稳定的充要条件：Re( i ) 0
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2. 非线性系统的稳定性分析 假定非线性系统在平衡状态附近可展
A非奇异： Axe 0 xe 0
A奇异：
Axe 0 有无穷多个 xe 7
b.非线性系统
x f (xe ,t) 0
例4-1: x1 x1 x2 x1 x2 x23
令 x1 0 x2 0
可能有多个 xe
xe 1
0
0
第四章 李雅普诺夫稳定性理论 4.1 稳定性基本概念 4.2 李雅普诺夫稳定性的定义 4.3 李雅普诺夫第一法 4.4 李雅普诺夫第二法 4.5 线性定常系统渐近稳定性判别法 4.6构造李雅普诺夫函数的一些方法
1
教学要求： 1.正确理解稳定性基本概念和李雅普诺夫意义稳 定性概念。 2.熟练掌握李氏第一法,李氏第二法。 3.掌握线性系统渐近稳定性分析和离散系统渐近 稳定性分析方法。 重点内容： •李雅普诺夫第一、第二法的主要定义与定理， 李雅普诺夫函数的构造。 •线性定常系统与非线性系统稳定性定理与判别 •李雅普诺夫方程，渐近稳定性的分析与判别。
x0 xe (,t0)
的任意初始态 x0 出发的运动轨迹
x(t; x0,t0 )，在t 都满足：
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x(t; x0,t0) xe , t t0
则称 xe是李雅普诺夫意义下稳定的。
时变： 与t0 有关 定常系统： 与t0无关，xe 是一致稳定的。
注意： －向量范数(表示空间距离)
0 xe2 1
0 xe3 1
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4. 孤立的平衡状态：在某一平衡状态的充分 小的邻域内不存在别的平衡状态。 对于孤立的平衡状态，总可以经过适当的 坐标变换，把它变换到状态空间的原点。
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4.2 李雅普诺夫稳定性的定义
1.李雅普诺夫意义下的稳定
如果对每个实数 0 都对应存在另一 个实数 ( ,t0 ) 0 满足
开成台劳级数，可用线性化系统的特征值 判据判断非线性系统的平衡状态处的稳定 性。
设非线性系统状态方程：
x f (x) f (x) --非线性函数
在平衡状态 xe 附近存在各阶偏导数，
于是：
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f
x
f (xe ) xT
(x xe ) g(x)
x xe
其中：
g(x) --级数展开式中二阶以上各项之和
都有 lim t
x(t; x0,t0 ) xe
0
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初始条件扩展到整个空间，且是渐近稳定性。
s( ) , x xe大范围稳定
线性系统(严格)：如果它是渐近稳定的，必 是有大范围渐近稳定性(线性系统稳定性与初 始条件的大小无关)。
非线性系统：只能在小范围一致稳定，由状 态空间出发的轨迹都收敛 xe 或其附近。
2
研究的目的和意义:稳定性是自动控制系统 正常工作的必要条件，是一个重要特征。
要求：在受到外界扰动后，虽然其原平衡 状态被打破，但在扰动消失后，仍然能恢 复到原来的平衡状态，或者趋于另一平衡 状态继续工作。
稳定性：系统在受到小的外界扰动后，系 统状态方程解的收敛性，而与输入作用无 关。
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经典控制理论稳定性判别方法：代数判据， 奈魁斯特判据，对数判据，根轨迹判据
x x xe
f A xT xxe
则线性化系统方程为： x Ax
20
Fra Baidu bibliotek13
当 与t0 无关 大范围一致渐近稳定。
必要条件：在整个状态空间中只有一个平 衡状态 xe
4. 不稳定性：不管 ， 有多小，只要s( )
内由 x0 出发的轨迹超出 s( )以外，则称此
平衡状态是不稳定的。
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线性系统的平衡状态不稳定 表征系统不稳定。 非线性系统的平衡状态不稳定 只说明轨迹离