指数函数及其性质课件

1
y=( )x ( x∈N+ )
2
两个关系式的共同特征是什么？
y 2x
y
1
x
2
它们都是函数
ax
形如 y a x 的函数叫做指数函数.其
中x是自变量,函数的定义域是R
形成概念
一般地：形如y = ax(a>0且a≠1)
的函数叫做指数函数.其中x是自变量, 函数的定义域是R.
观察指数函数的特点:
1
x
a3 = π, 解得 a 3 ,于是：f(x)= 3
1
所以: f(0)=1, f(1)= 3 3
1
,f(-3)=
结论：经过一点即可确定指数函数解析式
横向比较：一次函数，二次函数需要几点才能确定？
性质应用
例3：比较大小：
（1）1.72.5和1.73 （2）0.80.1和0.80.2
（3）1.70.3 和0.93.1
> ﹤ (3). 若0.5m > 0.5n则m____n > (4).若am<an (0<a<1),则m____n
思考1：指数函数 f (x) a x
当x=0时，a无论取任 意的值，f(x)值有什么特点？
思考2：指数函数 f ( x) a x1 1呢？
练习：
(1)函数y＝a x－1＋4恒过定点( A )
A．(1，5)
B．(1，4)
C．(0，4)
D．(4，0)
(2)若函数y=ax+b +1(a>0且a≠1,b为实 数)的图象恒过定点(1，2)，则b=___.
-1
讲解范例：
例5求下列函数的定义域、值域：
⑴
1
y 0.4 x1
⑵ y 3 5x1 ⑶ y 2 x 1
分析：此题要利用指数函数的定义域、值域，并结合
指数函数的图象。注意指数函数的定义域就是使函数
表达式有意义的自变量x的取值范围。
作出函数图像：
1。列表 2。描点 3。连线
y
4 3 2 1
-3 -2 -1 0
1 23
y=2x
x
作出函数图像：
1。列表 2。描点 3。连线
y 1 x 2
y
4 3 2 1
-3 -2 -1 0 1 2 3
y=2x
x
画 y=3x 与 y=(1/3)x的图象:
x … -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 … y=3x … 0.19 0.33 0.58 1 1.73 3 5.20 … y=(1/3)x … 5.20 3 1.73 1 0.58 0.33 0.19 …
1.70.3 1.70 1 0.93.1 0.90 1
所以 1.70.3 0.93.1
思考：这里比较大小用到了什么方法？
小结：
1.底数相同，指数不同：指数函数的单调性 2.底数指数都不同：寻找中间变量
课堂练习：
﹥ 1. 比较下列各数的大小：
(1). 30.8_____30.7
(2). 0.5-1.5____3.1-0.5
例1：判断下列函数是否是指数函数？
（1） y 2x2 （2） y (2)x （3） y 2x
（4） y x （5） y x2
（6） y 4x2
（7） y xx （8） y (a 1)x （ a ＞1，且 a 2 ）
(9) y 2x (10) y 22x
例:用描点法作出下列两组函数的 图象，然后写出其一些性质： (1) y=2x 与 y=3x ; (a>1) (2) y=(1/2)x 与 y=(1/3)x . (0<a<1)
y 1• ax
自变量仅有这 一种形式
系数为1 底数为正数且不为1
(2)探究：为什么要规定a>0且a≠1呢？
若a
0,
当x 当x
0时,ax等于0 0时,a x无意义
若
a
＜0，如
y
(2)x
,
先时,对于x=
1 6
,
x
1 8
等等,
在实数范围内的函数值不存在.
若 a =1, y 1x 1, 是一个常量，没有研究的意义。
观察事例1：细胞的分裂过程
y=2x (x∈ N+)
第1次
第2次 第3次
第X次
问题：求一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞 个数y（用解析式表示）
观察事例2 ：一根1米长的绳子，第一次剪掉绳长的
一半，第二次剪掉剩余绳长的一半……剪了x次后剩 余绳子的长度为y米，试写出y和x的函数关系.
第1次 第2次 第3次 第4次 第X次
0<a<1
图
y
百度文库
y=ax
(a>1)
y=ax
y
(0<a<1)
(0,1)
y=1
象 y=1
(0,1)
当 x > 0 时，y > 01.
x
当 x < 0 时0，y > 1； x
定 义 域 : R 当 x < 0 时，. 0< y < 1
当 x > 0 时， 0< y < 1。
性
值 域: ( 0,+ ∞ )
恒 过 点： ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .
质 在 R 上是单调 增函数 在 R 上是单调 减函数
函数图象
函数性质（定，值，点，线，单调，奇偶等）
例 2：已知指数函数 f (x) ax （ a ＞0 且 a ≠1）的
图象过点（3，π），求 f (0), f (1), f (3)的值.
解：因为f(x)=ax的图像经过点(3, π), 所以：f(3)= π
问题 1：某种细胞分裂时，由 1 个分裂成 2 个，2 个分 裂成 4 个，4 个分裂成 8 个，…，依次推，一个这样 的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数 y 与 x 之间的关 系式是什么？
题 2：《庄子 天下篇》中有这样一句话：“一尺之棰， 日取其半，万世不竭。”那么经过 x 天后，所取的 “棰”的长度 y 与 x 之间的关系式是什么？
y y=(1/3)x
y=3x
1
o -3 -2 -1 1 2 3
x
y
y
y 1 x
y2 a x
(a 1)
y 1 x 3
y
y 3x y 2x
y ax
(0 a 1)
1
1
1
y
4x
,
y
0
x
0
10x的图像类似于谁？y=
1
1 5
x
,
y
10
0x
x
x图像又类似谁？
指数函数
的图像及性质
a>1
解: (1)因为f(x)=1.7x在R上是增函数，
且2.5 < 3,
所以1.7 2.5< 1.73。
(2) 因为指数函数f(x)=0.8x 在R上是减函数，
﹤ -0.1>-0.2, 所以: 0.80.1 0.80.2
（3）1.70.3 和0.93.1
由于1.70.3=0.93.1不能直接看成某个函数的两个值， 因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别 与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93.1的大小 . 由指数函数的性质知: