平行关系的判定定理

练习
练1: 正方体ABCD-A1B1C1D1中，若M、N、E、F分别是棱A1B1， A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证:平面AMN//平面EFDB. 练2: 正方体ABCD-A1B1C1D1中，若M、N、P、Q分别是棱A1D1， A1B1，BC，CD的中点，求证：平面AMN//平面C1QP.
直线AB、CD各有什么特点呢？ 它们有什么关系呢？
(3)猜一猜 从中你能得出什么结论？ A B
CD是桌面外一条直线， AB是桌面内一条 直线， CD ∥ AB ，则CD ∥桌面
猜想：如果平面外一条直线和这个平面内的一 条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
四、规律总结： 直线和平面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条 直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 a a b a∥ b a∥ b
b
a
a
一、知识回顾：
在空间中直线与平面有几 种位置关系？
文字语言 图形语言 符号语言
a a
1、直线在平面内 2、直线与平面相交 3、直线与平面平行
α
α
a
.P
a P
a
α
a //
二、引入新课
怎样判定直线与平面平行呢？ 根据定义，判定直线与平面是否平行，只需判 定直线与平面有没有公共点．但是，直线无限延长， 平面无限延展，如何保证直线与平面没有公共点呢？ a

A
直线相交才是关键！
2.平面与平面平行的判定定理
若一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面， 则这两个平面平行.
(1)该定理中，“两条”，“相交”都是必要条件，缺一不可：
a b , a // b b , b // b // a b A
b
b
P
a
线不在多， 重在相交！

简记为：线线平行则线面平行 线线平行
（平面化）

线面平行
（空间问题）
（2）实践：（口答）
如图：长方体ABCD—A′B′C′D′六个表面中，
平面A′B′C′D′和平面DCC′D′ ① 与AB平行的平面是 ____________ 平面BCC′ B′和平面DCC′D′ ② 与AA′平行的平面是 _____________ 平面A′B′C′D′和平面BCC′B′ ③ 与AD平行的平面是 ______________
1
1
证明: 取BD中点O，则OE 为△ BDC 的中位线.
A1
B1
C 1 1 ∥ E O ∴ＯＥ = 2 DC,Ｄ1Ｆ∥2 Ｃ1Ｄ1 B = A ∴Ｄ1Ｆ∥ＯＥ = ∴Ｄ1ＯＥＦ为平行四边形 ∴EF ∥Ｄ1Ｏ
D
又∵ EF 平面BB1DD1，Ｄ1Ｏ 平面BB1DD1


∴ EF ∥平面BB1DD1
平面与平面平行的判定
(2)该定理作用：“线线平行线面平行”—— 空间问题“平面化”
(3) 定理告诉我们：要证线面平行，只要在 面内找一条线，与已知 直线a平行。
二.直线与平面平行判定定理的证明：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，
那么这条直线和这个平面平行 。
已知: 求证： l α，m α,l∥m l∥ α
例 正方体ABCD A1B1C1D1中，证明平面C1BD // 平面AB1D1 .
证明：因为ABCD－A1B1C1D1为正方体， 所以D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1 A1 又AB∥A1B1，AB＝A1B1， ∴D1C1∥AB，D1C1＝AB， ∴D1C1BA是平行四边形， ∴D1A∥C1B，
（5）若直线a平行于平面 内的无数条直线， 则 l // ()
七、典例精析：
例1 已知：空间四边形ABCD中，E、F分别 A 是AB、AD的中点。 求证：EF ∥ 平面BCD

B E D C F
分析：EF在面BCD外，要证明EF∥面BCD， 只要证明EF和面BCD内一条直线平行即可。 EF和面BCD哪一条直线平行呢？连结BD立 刻就清楚了。
A
E
D
O
B
C
B
练一 练
两个全等的正方形ABCD、ABEF不在同 一平面内,M、N是对角线AC、BF的中点 求证：MN ∥面BCE A
D
F
M
N B E
C
M、N 是AC，BF上的点且AM=FN， 求证：MN ∥面BCE
A D N B E F
M
C
P
Q
A D N B
F
M
E C
p
十、总结提炼
1．证明直线与平面平行的方法： （1）利用定义；直线与平面没有公共点 （2）利用判定定理． 线面平行 线线平行
例1 已知：空间四边形ABCD中，E，F分别是 A AB，AD的中点． 求证：EF//平面BCD． E F 证明：连接BD. D B C 因为AE=EB,AF=FD, 所以EF//BD（三角形中位线定理） 平面BCD 因为EF 平面BCD ,BD 由直线与平面平行的判断定理得: EF//平面BCD.
五、讨论定理中的条件缺失的情况：
判断下列命题是否正确，若不正确， 请用图形语言或模型加以表达 （1） 若a , a // b, 则a //
若 a , b （2） , 则a //
（3） 若b , a // b, 则a //

注：（1）、定理三个条件缺一不可
如果P b, 则a b P, 这和a // b矛盾; 如果P b, 则a和b异面, 这和a // b矛盾;
a // 平面
试一 试 P是平行四边形ABCD所在平面外一点， 已知：
M为PB的中点. 求证：PD//平面MAC. M
B P
C
O
A
D
2。已知E、F分别为正方体ABCD-A1B1C1D1 棱BC、Ｃ1Ｄ1的中点，求证:EF ∥平面 F D C BB1D1 D.
证明：
∵l∥m ∴ l和m确定一平面，设平面β，
则α∩β=m 如果l和平面α 不平行，则l和α 有公共点
设l ∩α=P，则点P∈m 于是l和m相交，这和l∥m矛盾 ∴ l∥ α
六、理论提升
（1）判定定理的三个条件缺一不可
a b
a b a // a // b
B N C M
D
【变式三】 （3）在这图中，你能找出哪些线面平行关系？ ①直线BD与平面EFMN
②直线AC与平面EFMN ③直线EF与平面BCD ④直线FM与平面ABC ⑤直线MN与平面ABD ⑥直线EN与平面ACD
B N C M D E A
F
九、演练反馈
判断下列命题是否正确：
（ 1 ）一条直线平行于一个平面， 这条直线就 ( ) 与这个平面内的任意直线平行。 （2）直线在平面外是指直线和平面最多有一个 公共点. ( ) （3）过平面外一点有且只有一条直线与已知平 面平行。 ( ) （4）若直线 l 平行于平面 内的无数条直线， 则l // ( ) （5）如果a、b是两条直线，且a // b，那么a平 行于经过b的任何平面. ( )

(2)该定理作用：“线面平行面面平行” (3)应用该定理，关键是在一平面内找到两条相交直线分别与另一 平面内两条直线平行即可.
线线平行线面平行面面平行
判断下列命题是否正确，并说明理由． （1）若平面 内的两条直线分别与平面b 平行，则 与 b 平行； × （2）若平面 内有无数条直线分别与平面b 平行，则 与 b 平行；× （3）平行于同一直线的两个平面平行； × （4）两个平面分别经过两条平行直线，这两个平面平 行； × （5）过已知平面外一条直线，必能作出与已知平面平 行的平面．×
关键：在平面内找(作)一条直线与平面外的直线平行, 在寻找平行直线时可以通过三角形的中位线、梯形的 中位线、平行线的性质等来完成。 2．数学思想方法：转化的思想 空间问题
平面问题
课外阅读
定理:如果不在平面内的一条直线 和平面内的 一条直线平行,那么这条直线 和这个平面平行.
已知: a , b , 且a // b. b a 求证 : a // b P 证明:(用反证法) 假设直线a不平行于平面α，则a ∩ α = P。
情况1.若a // b时，则b 与 平行吗？
b
b
a
b
a
b
l

（两平面平行）
E

D' B' D A
F
（两平面相交）
C'
A'
C B
直线的条数不是关键!
探究 (2)若b内有两条直线a、b分别与 平行, 则b 与 平行吗？
情况2.若a b P时，则b 与 ; B'
b
P
a
D
C B
D1
C1
B1
D
又因为D1A 平面C1BD，CB 平面C1BD. A 由直线与平面平行的判定，可知 D1A∥平面C1BD， 同理 D1B1∥平面C1BD. 又 D1A∩D1B1=D1， 所以，平面AB1D1∥平面C1BD.
C
B
平行四边形对边平行是 常用的找平行线的方法.
拓展：如果一个平面 内有两条相交直线与 另一个平面内的两条 相交直线分别平行， 那么这两个平面平行
小结：在平面内找(作)一条直线与平面外的直线平行时可以通过 三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的性质等来完成。
八、变式强化:如图,在空间四面体中,E、F、
M、N分别为棱AB、AD、DC、BC的中点 A 【变式一】 （1）四边形EFMN , 是什么四边 F E 形？ 平行四边行
【变式二】
（2）直线AC与平面EFMN的 位置关系是什么？为什么？ AC与平面EFMN平行
复习引入