关于曲线拐点定义的比较分析

关于曲线拐点定义的比较分析

作者：朱芹

来源：《数学大世界·中旬刊》2017年第01期

[摘要]对拐点的几种定义进行了比较分析。

[关键词]拐点；定义；导数；凹凸性

曲线的拐点是微积分中的一个重要概念，但许多教材中关于拐点的定义并不一致，有些文献对此观点不一，分歧还较大，本文对拐点的几种定义逐一进行辨析。

一、拐点的定义

1.教材中关于拐点的第一种定义

同济大学应用数学系主编《高等数学》（第五版）：“一般地，设y=f（x）在区间I上连续，‰是I的内点，如果曲线y=f（x）在经过点（Xo，f（Xo）时，曲线的凹凸性改变了，那么就称（Xof（Xo）是这曲线的拐点。”

r.M.菲赫金哥尔茨著《微积分学教程》（第一卷，第八版）：曲线上一点（Xo，f，（Xo））叫做曲线的拐点，如果它把使函数f（x）为凸的那部分曲线（向下凸）和使这函数为凹的那部分（向上凸）分开的话。

上述两个定义是一致的，都着重于拐点的几何特性，即在拐点左右近旁一侧为凹，另一侧为凸，而对拐点处本身只要求连续，对其可导性、是否存在切线并不作要求。例1判断点（1，1）是否是曲线的拐点？

解：可以判断该曲线在点（1，1）是连续的，左侧为凹弧，右侧为凸弧，按照第一种定义，点（1，1）是该曲线的拐点。

2.教材中关于拐点的第二种定义

华东师范大学《数学分析》中的定义“设曲线y=f（x）在点（Xo，f，（Xo））处有切线，且穿过曲线在切点某近旁内，曲线在切线的两侧分别为严格凸的和严格凹的，这时称点（Xo，f，（Xo））为曲线的拐点”。

按照第二种定义，要求拐点处的切线必须存在。例1中f-'（1）=2，f+'（1）=0，左右导数存在但不相等，该点切线不存在，点（1，1）就不是曲线的拐点。

在第三种定义中，一个点是拐点的必要条件是函数在该点处必须可导（切线存在，但不是垂直切线）。

焦曙光所著《拐点的定义及拐点与极端点的不重合性》一文中沿用了《辞海》（1989年版）中拐点的定义：“拐点，亦称扭转点。当光滑曲线在其上一点P的附近落在曲线在该点的切线两旁时，称点P为曲线的拐点。曲线在拐点的一旁为凹，在另一旁为凸。”在这个定义中“光滑曲线”成为曲线拐点存在的必要条件，由此本文认定拐点的第一种定义不严密，并修改为“光滑曲线y=f（n上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点”。

4.拐点三种定义的比较分析

以上拐点的三种定义，对拐点都有共性认识：（1）曲线在拐点处连续；（2）拐点是曲线凹凸区间的分界点；（3）函数在拐点的某个去心邻域内可导。分歧之处在于对拐点这一点的条件限制各不相1司：①不要求拐点处存在切线；②在拐点处必须存在切线，即拐点处导数有限或为无穷大；③函数在拐点处必须可导。自①至③对拐点处的限制条件逐步增强。

这三种定义见诸于众多的数学教材教参中，呈混乱之态，让学生在对有关命题进行判断时感到无所适从，如“函数的极值点一定不是该函数曲线的拐点，拐点也一定不是函数的极值点”，不同定义背景下该命题的真值是不一样的。即便在同一本教参中，也有对拐点定义认识不到位而造成结论的矛盾，赵振海所著《关于拐点的定义》中列举了《新编高等数学题解》（上册）中的一个例子：“判断：①拐点与极值点不能在同一点取到（√）；②若（Xo，f，（Xo））为拐点，则在（Xo，f，（Xo））处曲线必有切线（x）。”既然认定②为假命题，应该依据的是拐点的第一种定义，在此定义下①也应该是假命题。

拐点定义的混乱之态由此可见一斑，对拐点建立统一的定义显得十分必要。当然，以上三种定义并不一定要如作者焦曙光所述去做孰对孰错之分，概念的不同主要源于产生的背景和原因各异。本文以为第一种定义很好地刻画了拐点的几何特性，至于拐点处是否存在有限导数或导数为无穷大，只是描述了拐点横坐标的数值分析特性，而拐点在曲线描绘中所起的关键作用还在于其是“凹凸区间分界点”这一几何特性，从这个角度看采用第一种定义为宜，并可简述为“连续曲线y=f（z）上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点”。

依据这个定义，可以得到关于拐点的几个结论：

1.曲线在拐点处可能没有切线，曲线的拐点和极值点可能是同一点；

2.若曲线在某点存在切线，则该点不可能同为拐点和极值点。