常用概率分布可靠性

(2—21)为F(t)=1-e-1=0.632
零件的失效概率为63.2％时之工作时间称 为特征寿命。
上述三个参数可通过试验获得随机变量的 取值，用威布尔概率纸来确定，具体方法见 文献。
三参数威布尔分布的数学期望和方差为
E (x)()Γ (1 1 )
(2-22)
V(x)2()2[Γ
(1
2
和
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对正态分布曲线位置和形状的影响
• 则有： 不可靠度
F(t)0t
1
(t)2
e 22 dt
2
•
可靠度
t
R(t)1
1
(t)2
e 22 dt
0 2
•
•
故障率
(t) f (t)
R(t)
正态分布计算可用数学代换把上式 变换成标准正态分布，查表简单计 算,得出各参数值。
当 =0， =1时，称随机变量X服从标准正
线下面的面积F(Z)或 （Z）。由于正态
分布的对称性，查表时请注意：
• 1)附表1是与图a相应的标准正态分布面 积表， F(—Z)=1—F(Z)。
• 2)标准正态分布面积表还有如图b、c、d所示 的表示方法，显然图b中的面积等于图a中的1 一F(Z)， 图c中的F(Z)+0.5等于图a的F(Z)， 图d中的面积除2加0.5等于图a中的F(Z) (图中 的积分面积均以阴影表示)。
R(t)和失效率(t)的影响情况。如果应用威布尔概率纸，
把随机变量x和相应的F(x)在威布尔概率纸上描点时， 可得出以不同卢为斜率的直线，所以形状参数 f(t) 也称威布尔斜率。它是三个参数中最重要的具有 实质意义的参数。
β =3 β =2
β =1 β =1/2
t
不同β 值的威布尔分布 （ =1，γ=0）
图2—13给出了 不变而 取不同值 时的威布尔分布曲线，可见 当改变时，
仅曲线起点的位置改变，曲线的形状不 变。当随机变量为零件寿命时， 表示 开
始发生失效的时间t,
即t= 之前发生失效的概率为零，因此
也称为最小保证寿命。
f(t) γ = - 0.5 γ =0 γ =0.5
γ =1
t
式(2-5)表示事件发生r次的概率，
其中 为事件发生次数的均
值， 它不随时间的变化而改变。
当试验次数n很大而每次试验事件发生的概率P很小 时，泊松分布是二项分布很好的近似，一般当n≥20，
P≤0.05，二者的近似性就已很好，即有近似公式
CnrPr(1P)nr
re
r!
式中 =np
不难证明，泊松分布的
例如一部仪器上各种类型的 缺陷数，铸件上的砂眼数， 一段时间内设备发生的故障 次数等。这些事件的共同特 点是，知道发生的次数或个 数，但是不知道它不发生的 次数或个数。而对于二项分 布，不但知道事件发生的次 数，也知道不发生的次数。
泊松分布的表达式为
P（X=r）= r e e r!
（2-5）
三、正态分布
• 正态分布是一个基本的概率分布，也是最常用 的一种概率分布。
• 正态分布在机械可靠性设计中大量应用，如材 料强度、磨损寿命、齿轮轮齿弯曲、疲劳强度 以及难以判断其分布的场合。
若产品寿命或某特征值有故障(失效）密度
f (t)
1
(t)2
e 22
2
(t≥0，μ≥0，σ≥0)
则称t服从正态分布。
别为
x
E(X
)
e(
y
2 y
2
)
（2-15）
1
x
D(X
)
x
(
e
2 y
1) 2
（2-16）
xm e y
（2-17）
由于y=1nx呈正态分 布，所以有关正态分 布的一切性质和计算 方法都可在此应用。 只要令 Z 1nx y y ，便可应用标准 正态分布表，查出累 积概率F（Z），反之 由F（Z）变可查出
由于产品千变万化，寿命分布的类型很多，许多情况下要确定 产品的失效服从何种分布是很困难的，一般有两种方法：一是根 据其物理背景来定，即产品的寿命分布与内在结构以及物理、化 学、力学性能有关，与产品发生失效时的物理过程有关。通过失 效分析，证实该产品的失效模式或失效机理与某种分布类型的物 理背景相接近时，可由此确定它的寿命分布类型。二是通过进行 可靠性寿命实验或者分析产品在使用过程中数据资料来获得产品 的失效数据，利用统计推断的方法来判断它属于何种分布。在可 靠性工程中，常用的分布有二项分布、泊松分布、指数分布、正 态2分020/布3/27、威布尔分布等。
r0
k
Cnr
r0
prqnr
1 （2-2）
二项分布是离散型随机事件的一种分布 ，
其均值和标准差分别为
np
npq
（2-3）
由于工程问题中随机 事件包含两种可能性情 况(合格和不合格、成功 和失败，可靠与不可靠) 者甚多，因此二项分布 不仅用于产品的可靠性 抽样检验，还用于可靠 性试验和可靠性设计等 各个方面。
如果某随机事件的不可靠度为: F（t）=p，
可靠度 R（t）=1－F(t)=q ， 则式（2-2） 变为
k
P（r≤k）= Cnr[F(t)]r[R(t)]nr r0
（2-4）
二、泊松分布
泊松分布也是离散型随机 变量的一种分布 ，它描述 在给定时间内发生的平均 次数为常数时事件发生次 数的概率分布。
四、对数正态分布
如果随机变量X的自然对数y=1nx服从正态分布， 则称X服从对数正态分布。由于随机变量的取值x 总是大于零，以及概率密度函数(x)的向右倾斜不 对称，见图
因此对数正态分布是描述不对称随机变量的一种 常用的分布。材料的疲劳强度和寿命，系统的修 复时间等都可用对数正态分布拟合，其概率密度 函数和累积分布函数分别为
f (x)
1
1(yy )
e 2 y
xy 2
（2-13）
x
F(x)
1
1(yy)
e 2 y dx x>0 (2-14)
0 xy 2
式中 y 和 y 为y=1nx的均值和标准差。
实际上常用到随机变量的中位值xm，它表示 随机变量的中心值，
其定义为 P(X≤xm)=P(X>xm)=0.50
对数正态分布的均值、标准差和中位值分
解: （1）由附表1查得失效概率F（Z）=0.5 • 存活率 R（x=500）=1-F(Z)=1－0.5=0.5 • 试件失效数 n=100×0.5件=50件 （2）失效概率 P（450＜X＜550）
=
(550600)(450600)
50
50
= （－2）－（－3）=0.022750－0.0013499
产品可靠性的所有数量特征，都与该产品的寿命分布函数有密 切关系。如果已知寿命分布函数，则失效密度函数、失效率函数 以及可靠寿命等许多特征量都可以求出。即使不知道具体的寿命 分布函数，但如果已知寿命分布的类型，也可以通过对分布的参 数估计，求得某些可靠性特征量的估计量。因此，研究产品的寿 命分布十分重要。
由二项分布Pn（X－r）= Cnr prqnr
=C
2 2
5
×0.022×0.9823=0.0754
由泊松分布P（X－r）= r e
= 0 .5 2 e 0.5 =0.0758
r!
2!
可见两种分布计算的结果非常近似，而二项分布计算 较烦，泊松分布计算则简单些。 但是应该指出，泊松分布不仅是二项分布的一种近似式， 就其本身而言也是可靠性学科中一个重要的分布。
或者P（ x1＜X＜x2） 1 x2
（2-11）
(x)2
e 22 dx
•
2 x
=
1
2
x2 Z2
e
x1
2 dZ
(x2)(x1)
（2-12）
• 可见，经变量置换后，式(2-7)和式(2-8) 都成了标准正态分布形式，这样，非标 准正态分布的累积概率值都可以看成是 标准正态分布的累积概率值，即 f (Z)曲
• 例2-2 有100个某种材料的试件进行抗拉
强度试验，今测得试件材料的强度均值 =600MPa，标准差=50MPa求：(1)试件的 强度均值=600MPa时的存活率、失效概 率和失效试件数， (2)强度落在(550— 450)MPa区间内的失效概率和失效试件 数； (3)失效概率为0.05(存活率为0.95) 时材料的强度值。
=0.0214
试件失效数 n=100×0.0214件≈2件
（3）失效概率F（Z）=0.05，存活率1－F（Z）
=0.95。由附表1查得Z=－1.64，由式Z= x
可得－1.64= x 6 0 0
5 0 材料的强度值为 x=518MPa。
在可靠性分析中，材料的强度、零件的寿命和 尺寸等都可以用正态分布来拟合。由概率论的 中心极限定理可知，当研究对象的随机性是由 许多互相独立的随机因素之和所引起，而其中 每一个随机因素对于总和影响极小时，这类问 题都可认为服从正态分布，因此，正态分布应 用较广。但是，正态·分布是对称的，并且随 机变量的取值是从—∞到+∞。然而，有许多 试验数据并不是对称的，而是倾斜的，或观察 数据只能取正值而不能取负值，因此，正态分 布和其它分布一样，也有局限性，在使用中应 根据具体情况选择合适的分布。
式中 为形状参数；
为尺度参数；
为位置参数。
当 =0，则称为两参数威布尔分布。其
概率密度函数和累积分布函数分别为
f (x) (x)1e(x)
（2-20）
x
( )
F(x) 1e
（2-21）
讨论三个参数对威布尔分布的影响：
形状参数 ，它影响分布曲线的形状，图2—10～图
2—12示出了形状参数对概率密度函数f(x)，可靠度
正态分布的概率密度函数和累积分布函数分 别为：
f (x) 1 e(x22)2
2
－∞＜x＜∞
（2-7）
F(x) 1
x (x)dx
e 22
2
（2-8）
正态分布可记为N( ， )，它是—种对称的分布，其参数
均值决定正态分布曲线的位置，表征随机变量分布的集中趋 势，而标准差决定正态分布的形状，表征随机变量分布的离 散程度 。
均值和方差都是 ，
其累积分布函数为
P（ r≤k）= k r e （2-6）
r0
r!
例2—1 今有25个零件进行可靠性试验，已知在给定 的试验时间内每个零件的失效概率为0.02，试分别用 二项分布和泊松分布求25次试验中恰有两个零件失效 的概率。
解 已知n=25， =np=0.5，P=0.02
一、 伯努利试验和二项分布
伯努利试验 :在相同的条件下，某一随机事件独立地重复n 次试验只有两种不同的结果，且试验中事件发生的概率不 变，这种重复的系列试验称为伯努利试验 。
在n次伯努利试验中，随机事件出现的次数是一随机变量 X，它每次发生的概率为P，而不出现的概率为q=1-p。
设在 n次试验中出现的次数为r，则这样的组合数将有
)
Γ2
(1 1 )]（2-23）
式中Γ(x)为伽玛函数，可查伽玛函数表 得到Γ(x)值
两参数威布尔分布的数学期望及方差为
态分布，记作N（0， 1），其概率密度函数和 累积分布函数为
f (z)
F（Z）=
1
z2
e2
2
1
z2 z dZ
e2
2
（2-9） （2-10）
上式F(z)值可查标 准正态分布面积表
为了便于计算，经过变量置换，可将非标准正态分布
化为标准正态分布。
令z
x
，
代入式（2-8）得
F(x) 2 1x eZ 22d z(x )
第二章 可靠性理论中常用的几种概率分布
§2-1 常用概率分布 §2-2 概率分布的应用
1
§2-1 常用概率分布
下面介绍几种常用的概率分布，包括离散 型随机变量的分布和连续型随机变量的分布。
它们在可靠性工程中有着广泛的应用。
二项分布 泊松分布 正态分布
对数正态分布 威布尔分布 指数分布
※概述
不同 γ值的威布尔分布 （ =1， β =2）
尔图分2—布1曲4给线出。了由图 可不见变，而起始取点不相同同值（时的不威变布)，
分布曲线形状相似( 不变)，只是在横坐标轴
方向上离散程度不同。
f(t)
=2
=1/3 =1/2
=1
t
不同值的威布尔分布 （β=2，γ=0）
当随机变量为零件的工作时间t，若t=则式
C概nr 率,而为每个组合的概率是P r q n r ，所以事件发生r次的
Pn(X=r)= Cnr prqnr
式中
C
r n
正好是二项式系数，故称该随机事件发生的
概率服从二项分布
二项分布的累积分布函数为
k
P（r ≤k）
Cnr pr qnr 1
r0
（2-1）
由累积分布函数的性质可知
n pn ( X r)
Z 1nx y y
五、威布尔分布
• 威布尔分布是一种含有三参数 或两参数的分布，常用来描述 材料疲劳失效、轴承失效等寿 命分布的，由于适应性强而获 得广泛的应用。
三参数威布尔分布的概率密度函数为
f(x)(xy)1e(xy) （2-18）
累积概率分布为
x
( )
F(x) 1e （2-19）