(教师版较详细)椭圆的讲义与练习

椭圆讲义与练习

题型一：椭圆的第一定义与标准方程

例1 、椭圆的一个顶点为()02，

A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．

解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：1142

2=+y x ；

（2）当()02，

A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116

42

2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况．

变式练习：求适合条件的椭圆的标准方程．

（1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-，

； （2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联线互相垂直，且焦距为6．

分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482

=a ，

372

=b ，在得方程

13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程137

1482

2=+x y ． 解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或122

22=+b

x a y ．

由已知b a 2=． ①

又过点()62-，

，因此有 ()16222

22=-+b a 或()12622

22

=+-b

a ． ② 由①、②，得1482=a ，372=

b 或522=a ，132

=b ．故所求的方程为

13714822=+y x 或113

522

2=+x y ． （2）设方程为12222=+b

y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182

=a ．故所求方程

为

19

182

2=+y x ．

说明：根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准，定参数”．关键在于焦点的位置

是否确定，若不能确定，应设方程12222=+b y a x 或122

22=+b

x a y ．

例2、已知动圆P 过定点()03，

-A ，且在定圆()64322

=+-y x B ：的内部与其相内切，求动圆圆心P 的轨迹方程．

解：如图所示，设动圆P 和定圆B 内切于点M ．动点P 到两定点，

即定点()03，

-A 和定圆圆心()03，B 距离之和恰好等于定圆半径， 即8==+=+BM PB PM PB PA ．∴点P 的轨迹是以A ，B 为两焦点，半长轴为4，半短轴长为73422=-=b 的椭圆的方程：

17

1622=+y x ． 变式练习：已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为

3

5

4和3

5

2，过P 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为1F 、2F ，且3541=

PF ，3

5

22=PF ．从椭圆定义知52221=+=PF PF a ．即5=

a ． 从21PF PF >知2PF 垂直焦点所在的对称轴，所以在12F

PF Rt ∆中，21sin 1

221=

=

∠PF PF F PF ，可求出621π=∠F PF ，3

5

26cos 21

=⋅=πPF c ，从而3

10

2

2

2

=-=c a b ．∴所求椭圆方程为1103522=+

y x 或1510322=+y x ． 例3、已知方程

1352

2-=-+-k

y k x 表示椭圆，求k 的取值范围． 解：由⎪⎩

⎪

⎨⎧-≠-<-<-,35,03,05k k k k 得53<

∴满足条件的k 的取值范围是53<

说明：本题易出现如下错解：由⎩⎨

⎧<-<-,

03,

05k k 得53<

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中0>>b a 这个条件，当b a =时，并不表示椭圆．

变式练习： 已知椭圆

19822=++y k x 的离心率2

1

=e ，求k 的值． 分析：分两种情况进行讨论．

解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12

-=k c ．由2

1

=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92

=a ，82

+=k b ，得k c -=12

．

由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ．∴满足条件的4=k 或4

5-=k ． 说明：本题易出现漏解．排除错误的办法是：因为8+k 与9的大小关系不定，所以椭圆的焦点可能在x 轴上，也可能在y 轴上．故必须进行讨论．

总结区：求椭圆方程的总结：

题型二：第二定义的应用及焦半径，焦点弦和焦点三角形问题

例4、 椭圆112

162

2=+y x 的右焦点为F ，过点()

31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．

分析：本题的关键是求出离心率2

1

=e ，把MF 2转化为M 到右准线的距离，从而得最小值．一般地，求MF e

AM 1

+

均可用此法． 解：由已知：4=a ，2=c ．所以2

1

=e ，右准线

8=x l ：．

过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．

显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所

以()

332，M ．

说明：本题关键在于未知式MF AM 2+中的“2”的处理．事实上，如图，2

1

=

e ，即MF 是M 到右准线的距离的一半，即图中的MQ ，问题转化为求椭圆上一点M ，使M 到A 的距离与到右准线距离之和取最小值．