高中数学竞赛讲义-函数方程

§8函数方程

许多函数方程的解决仅以初等数学为工具，解法富于技巧，对人类的智慧具有明显的挑战

意味，因此，函数方程是数学竞赛中一种常见的题型。

1、确定函数的形式

尚无一般解法，需因题而异，其解是多样的：有无限多解的，有有限个解的，有可能无解（如：方程01)()(2

2=+-+x f x f 无解）。

2、确定函数的性质

3、确定函数值

三、求函数的解析式

1、换元法

2、赋值法

四、研究函数的性质 例题讲解

1．设函数)(x f 满足条件x x f x f 2)1(2)1(3=-+-，求)(x f 。

2．设函数)(x f 定义于实数集R ，且)(x f 满足条件x x xf x f +=-+1)1()(，求)(x f 。

3．函数)(x f 在0=x 处没有定义，但对所有非零实数x 有：x x f x f 312)(=⎪⎭

⎫ ⎝⎛+，求)(x f 。

4．求满足条件422)1()(x x x f x f x -=-+的)(x f 。

5．设函数)(x f 定义于实数集R 上，且1)0(=f ，若对于任意实数m 、n ，都有： )12()()(+--=-n m n m f n m f ，求)(x f 。

6．设函数)(x f 定义于自然数集N 上，且1)1(=f ，若对于任意自然数x 、y ，都有：xy y f x f y x f ++=+)()()(，求)(x f 。

7．设函数)(x f 定义于R 上，且函数)(x f 不恒为零，0)2

(=π

f ，若对于任意实数x 、y ，恒有：)2

()2(2)()(y x f y x f y f x f -⋅+=+。 ① 求证：)()2(x f x f =+π

② 求证：)()(x f x f -=

③ 求证：1)(2)2(2-=x f x f

8．对常数m 和任意x ，等式)

(1)(1)(x f x f m x f -+=+都成立，求证：函数)(x f 是周期函数。

9．设函数)(x f 定义于实数集R 上，函数)(x f 不恒为零，且对于任意实数1x 、2x ，都有：)()()2()2(212121x x f x x f x f x f -⋅+=+，求证：)()(x f x f -=。