高考理科数学《概率与统计》题型归纳与训练(有答案)
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2020年高考理科数学《概率与统计》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一 古典概型与几何概型
例1、某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 .
【答案】
【解析】因为红灯持续时间为40秒.所以这名行人至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为. 例2、市政府为调查市民对本市某项调控措施的态度,随机抽取了100名市民,统计了他们的月收入频率分布和对该项措施的赞成人数,统计结果如下表所示:
(1)用样本估计总体的思想比较该市月收入低于20(百元)和不低于30(百元)的两类人群在该项措施的态度上有何不同;
(2)现从样本中月收入在)20,10[和)70,60[的市民中各随机抽取一个人进行跟踪调查,求抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率.
【答案】(1)详见解析;(2)20
11. 【解析】(1)由表知,样本中月收入低于20(百元)的共有5人,其中持赞成态度的共有2人,故赞成人数的频率为52,月收入不低于30(百元)的共有75人,其中持赞成态度的共有64人,故赞成人数的频率为7564, ∵5
27564>,∴根据样本估计总体的思想可知月收入不低于30(百元)的人群对该措施持赞成态度的比月收入低于20(百元)的人群持赞成态度的比例要高.
(2) 将月收入在)20,10[内,不赞成的3人记为321,,a a a ,赞成的2人记为54,a a ,将月收入在)70,60[内,不赞成的1人记为1b ,赞成的3人记为,,,432b b b 从月收入在)20,10[和)70,60[内的人中各随机抽取1人,基本事件总数20=n ,其中事件“抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成”包含的基本事件有
5
840155408-=
2 ),(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(1514433323423222413121b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a 共11个,∴抽取的两个人恰好对该措施一个赞成一个不赞成的概率20
11=P . 【易错点】求解古典概型问题的关键:先求出基本事件的总数,再确定所求目标事件包含基本事件的个数,结合古典概型概率公式求解.一般涉及“至多”“至少”等事件的概率计算问题时,可以考虑其对立事件的概率,从而简化运算.
【思维点拨】
1. 求复杂互斥事件概率的方法
一是直接法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥事件概率的和,运用互斥事件的求和公式计算;二是间接法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式()()
1P A P A =-,即运用逆向思维的方法(正难则反)求解,应用此公式时,一定要分清事件的对立事件到底是什么事件,不能重复或遗漏.特别是对于含“至多”“至少”等字眼的题目,用第二种方法往往显得比较简便.
2.求古典概型的概率的基本步骤:算出所有基本事件的个数;求出事件A 包含的基本事件个数;代入公式,求出()P A ;几何概型的概率是几何度量之比,主要使用面积、体积之比与长度之比.
题型二 统计与统计案例
例1、某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:],90,80[,),40,30[),30,20[ 并整理得到如下频率分布直方图:
(Ⅰ)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;
(Ⅱ)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间)50,40[内的人数;
(Ⅲ)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70
的男女生人数相等.试估计总体