初等数论复习题题库及答案

《初等数论》本科

一 填空题（每空2分）

1.写出30以内的所有素数 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29 .

2.,(

,)(,)(,)

a b a b a b a b =设是任意两个不为零的整数,则 1 . 3.若,a b 是非零整数,则a 与b 互素的充要条件是存在整数,x y ,适1ax by +=

4.写出180的标准分解式是 22235⋅⋅ ,其正约数个数有 (2+1)(2+1)(1+1)=18个.

5.,1,2,,a b a b L 设与是正整数则在中能被整除的整数恰有 []a

b

个.

6.设,a b 是非零整数,c 是整数,方程ax by c +=有整数解(,x y )的充要条件是 (,)|a b c

7. 若整数集合A 是模m 的完全剩余系,则A 中含有 m 个整数.

8.ϕ(3)= 2 ;ϕ(4)= 2 .

9.当p 素数时,(1)()p ϕ= 1p - ;(2)()k p ϕ= 1k k p p -- . 10.(),(,)1,1m m a m a ϕ=-≡设是正整数则 0 (mod ).m 11.,,p p a a a -≡设是素数则对于任意的整数有 0 (mod ).p 12.已知235(mod7)x +≡,则x ≡ 1 (mod7).

13.同余方程22(mod 7)x ≡的解是 4(mod7) . 14.同余方程2310120(mod 9)x x ++≡的解是 .X=6. . 15.(,)1n p =若,n p 是模的二次剩余的充要条件是 -121(mod ).p n p ≡ . 16.(,)1n p =若,n p 是模的二次非剩余的充要条件是 -12

1(mod ).p n

p ≡- .

17.3()=5 -1 ; 4

()=5 1 .

18.,p 设是奇素数则2

()p

=

218(1).p --

.

19.,p 设是奇素数则1()p = 1 ;-1

()p

= -1

2(-1).p .

20. 5()=9 1 ; 2

()=45

-1 .

二 判断题(判断下列结论是否成立，每题2分). 1. ||,|a b a c x y Z a bx cy ⇒∈+且对任意的有.成立 2. (,)(,),[,][,]a b a c a b a c ==若则.不成立

3. 23

|,|a b a b 若则.不成立

4.(mod ),0,(mod ).a b m k k N ak bk mk ≡>∈⇒≡ 成立

5.(mod )(mod ).ac bc m a b m ≡⇒≡ 不成立

6. 22

(mod ),(mod )(mod )a b m a b m a b m ≡≡≡-若则或至少有一个成立. 不成立 7. 222

(mod ),(mod )a b m a b m ≡≡若则.不成立

8. 若x 通过模m 的完全剩余系,则x b +(b 是整数)通过模m 的完全剩余系. 成立 9. 1212{,,,}{,,,}.m m a a a b b b L L 若与都是模m 的完全剩余系不成立

1122{,,,}.m m a b a b a b m +++L 则也是模的完全剩余系不成立

10.若(,)1a m =,x 通过模m 的简化剩余系,则ax b +也通过模m 的简化剩余系. 不成立 11.12121212,,(,)1,()()().m m N m m m m m m ϕϕϕ∈==若则 成立

12. 同余方程24330(mod15)x x -+≡和同余方程2

412120(mod15)x x +-≡是同解的. 成立

13. (mod ).ax b m ax my b ≡+=同余方程等价于不定方程成立

14. 2,(mod ),() 1.a

m x a m m

≡=当是奇素数时若有解则成立

15. 2

,()1,(mod ).a m x a m m

=≡当不是奇素数时若则方程一定有解不成立

三 计算题

1. (1859,1573)-求.（6分）

解：

1.(1859,1573)(1859,1573)(286,1573)

(286,15732865)(286,143)(0,143)143

-===-⨯===

2.求 [-36,108,204].（8分）

解：22232232.[36,108,204][36,108,204],

3623,10823,2042317,[36,108,204]23171836.

-==⨯=⨯=⨯⨯∴=⨯⨯=Q

3. 求(125,17),以及x ,y ,使得125x +17y =(125,17).（10分）

解：

3.651,16-56-(17-26)36-173(125-177)-17

3125-2217.

1253-17221,3,-22.

x y =+==⨯=⨯=⨯⨯=⨯⨯∴⨯⨯===由等式起逐步回代得

4. 求整数x ,y ,使得1387x -162y =(1387,162).（10分）

解：

4.9421,19-429-4(11-9)59-4115(20-11)-411520-911520-9(71320)3220971

32(91-71)97132914171329141(16291)73914116273(13878162)41162

731387625162.1=⨯+=⨯=⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯-⨯=⨯-⨯=⨯-⨯=⨯-⨯=⨯-⨯-=⨯-⨯=⨯-⨯-⨯=⨯-⨯∴由等式起逐步回代得

38773162625 1.

⨯-⨯=

5. 12!.分解为质因数乘积（8分）

6. ,10|199!k k 求最大的正整数使.（8分）

7. [1+L 求(10分) 8. 81743.x y +=求方程的整数解(6分)

9. 19201909.x y +=求方程的正整数解(10分)

10. 求方程111x -321y =75的整数解.(10分) 11. 12310661.x x x ++=求方程15的整数解(8分) 12. 361215.x y z ++=求不定方程的整数解(8分)

13. 237.x y z ++=求不定方程的所有正整数解(8分)

14. 19

,2,3 5.30

将

写成三个分数之和它们的分母分别是和(10分) 15. 222370.x y x y +--=求方程的整数解(6分) 16. 331072.x y +=求方程的整数解(8分)

17. 5()4.xy yz zx xyz ++=求方程的正整数解(10分)

18. 406

3().求的个位数字与最后两位数字十进制(10分) 19. 67(mod 23).x ≡解同余方程(8分) 20. 12150(mod 45).x +≡解同余方程(8分)

21. 2(mod 3)3(mod 5).2(mod 7)x x x ≡⎧⎪

≡⎨⎪≡⎩

解同余式组(6分)

22. 4

3

()0(mod35),()289.f x f x x x x ≡=+++解同余式(10分)