数值分析教程

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数值分析第一讲

实际上由于x*不知道，用上式无法确定εr ，常用x代x*作分母，此时：
r

| x|
13
结束
2 量级，当 ε 较小时，可以忽略可见此时产生的影响是 r r
不计，以后我们就用

|x|
表示相对误差限.
例 5 在刚才测量的例子中，若测得跑道长为 100±0.1m ，课桌长为120±1cm ，则 1 0.1 ( 2) (1) 0.83% r 0.1% r 120 100 显然后者比前者相对误差大. 1.2.3 有效数字定义 1.3 如果近似值 x 的误差限 ε 是它某一数位的半个单位，我们就说 x 准确到该位，从这一位起直到前面第一个非零数字为止的所有数字称x的有效数字. 如： x=±0.a1a2an×10m ，其中 a1 ， a2 ，， an 是 0 ～ 9 之中的整数，且a1≠0，如e=|x-x*|≤ε=0.5×10m-l，1≤ l≤n，则称 x有 l 位有效数字. 14 结束
可见此法收敛速度很快，只算三次得到8位精确数字. 迭代法应用时要考虑是否收敛、收敛条件及收敛速度等问题，今后课程将进一步讨论. 9 结束
§1.2
1.2.1
差.
误差
误差的来源
在运用数学方法解决实际问题的过程中，每一步都可能带来误
1 、模型误差在建立数学模型时，往往要忽视很多次要因素，把模型“简单化”，”理想化”，这时模型就与真实背景有了差距，即带入了误差. 2、测量误差数学模型中的已知参数，多数是通过测量得到.而测量过程受工具、方法、观察者的主观因素、不可预料的随机干扰等影响必然带入误差. 3、截断误差数学模型常难于直接求解，往往要近似替代，简化为易于求解的问题，这种简化带入误差称为方法误差或截断误差. 4、舍入误差计算机只能处理有限数位的小数运算，初始参数或中间结果都必须进行四舍五入运算，这必然产生舍入误差.

数值分析学习课件

对任意 u ≠ 0 ∈ R n +1 ，必有 Φ u ≠ 0 。则 u T B u = u T Φ T Φ u =|| Φ u || 2 > 0 2 若不然，若不然，则存在唯一解 ⇒ B为正定阵，则非奇异，所以法方程组存在唯一解。为正定阵，则非奇异，所以法方程组存在唯一 n +1 存在一个 u ≠ 0 ∈ R 使得 Φ u = 0 … 即
则 (ϕ i , ϕ j ) =
∫
1 0
x i x j dx =
1 i + j+1
Hilbert阵！阵
若能取函数族Φ={ ϕ0(x), ϕ1(x), … , ϕn(x), … }，，两两（使得任意一对ϕi(x)和ϕj(x)两两（带权）正交，和两两带权）正交，改进：改进：对角阵！就化为对角阵则 B 就化为对角阵！ (ϕ k , y ) 这时直接可算出a 这时直接可算出 k = (ϕ k , ϕ k ) 正交多项式的构造：正交多项式的构造：多项式的构造取为k 多项式，为简单起见，将正交函数族中的ϕk 取为阶多项式，为简单起见，可取 ϕk 的首项系数为 1 。
①
总体上尽可能小尽可能小。这时没必要取 P(xi) = yi , 而要使 P(xi) − yi 总体上尽可能小。常见做法：常见做法：
m
不可导，不可导，求解困难
太复杂
使 max | P ( x i ) − y i | 最小 /* minimax problem */ 1≤ i ≤ m 使 ∑ | P ( x i ) − y i | 最小使 ∑ | P ( x ) − y | 最小 /* Least-Squares method */ 定义最佳平方逼近：即连续型逼近，在 || f ||2 = 最佳平方逼近：即连续型L-S逼近平方逼近逼近，

《数值分析》课程教案

《数值分析》课程教案数值分析课程教案一、课程介绍本课程旨在介绍数值分析的基本概念、方法和技巧，以及其在科学计算和工程应用中的实际应用。

通过本课程的研究，学生将了解和掌握数值分析的基本原理和技术，以及解决实际问题的实用方法。

二、教学目标- 了解数值分析的基本概念和发展历程- 掌握数值计算的基本方法和技巧- 理解数值算法的稳定性和收敛性- 能够利用数值分析方法解决实际问题三、教学内容1. 数值计算的基本概念和方法- 数值计算的历史和发展- 数值计算的误差与精度- 数值计算的舍入误差与截断误差- 数值计算的有效数字和有效位数2. 插值与逼近- 插值多项式和插值方法- 最小二乘逼近和曲线拟合3. 数值微积分- 数值积分的基本原理和方法- 数值求解常微分方程的方法4. 线性方程组的数值解法- 直接解法和迭代解法- 线性方程组的稳定性和收敛性5. 非线性方程的数值解法- 迭代法和牛顿法- 非线性方程的稳定性和收敛性6. 数值特征值问题- 特征值和特征向量的基本概念- 幂迭代法和QR方法7. 数值积分与数值微分- 数值积分的基本原理和方法- 数值微分的基本原理和方法四、教学方法1. 理论讲授：通过课堂授课，讲解数值分析的基本概念、原理和方法。

2. 上机实践：通过实际的数值计算和编程实践，巩固和应用所学的数值分析知识。

3. 课堂讨论：组织学生进行课堂讨论，加深对数值分析问题的理解和思考能力。

五、考核方式1. 平时表现：包括课堂参与和作业完成情况。

2. 期中考试：对学生对于数值分析概念、原理和方法的理解程度进行考查。

3. 期末项目：要求学生通过上机实验和编程实践，解决一个实际问题，并进行分析和报告。

六、参考教材1. 《数值分析》（第三版），贾岩. 高等教育出版社，2020年。

2. 《数值计算方法》，李刚. 清华大学出版社，2018年。

以上是《数值分析》课程教案的概要内容。

通过本课程的研究，学生将能够掌握数值分析的基本原理和技术，并应用于实际问题的解决中。

数值分析简明教程0-1 (14)

10
• 对于欧拉格式，对于欧拉格式，假设 y n = y ( xn ) ，则有：则有：
' y n +1 = y ( x n ) + hf ( xn , y ( x n )) = y ( x n ) + h y ( xn )
• 按泰勒展开有：按泰勒展开有：
y ( x n +1) = y ( xn ) + h y ( xn ) +
第三章常微分方程的差分法
第三章常微分方程数值解
3.1 欧拉方法 § 3.2 龙格-库塔方法 § 3.3 亚当姆斯方法 § 3.4 收敛性与稳定性 § 3.5 方程组和高阶方程 §
2
本章要点：本章要点本章主要研究常微分方程的定解问题。本章主要研究常微分方程的定解问题。这类问#39; h2 2
y
''
(ξ )
x n < ξ < x n +1
• 从而有：从而有：
y ( x n +1) − y n +1 =
h2 2
y
''
(ξ )
• 这说明欧拉格式是一阶方法。这说明欧拉格式是一阶方法。
11
二、隐式欧拉格式
y ( x n +1 ) − y ( x n ) 若用向后差商 h
' y 代替方程 ( xn +1) = f ( xn +1 , y ( x n +1))
-----------(3)
(1),(2)式称为初值问题,(3)式称为边值问题另外,在实际应用中还经常需要求解常微分方程组:
′ = f 1 ( x , y1 , y2 ) y1 ′ = f 2 ( x , y1 , y 2 ) y2 y1 ( x0 ) = y10 y2 ( x0 ) = y20

数值分析教案

xy
数值分析
数值分析
一、病态问题与条件数
考虑计算函数值问题,
f ( x*) f ( x) f (x)
x x
xf ( x) f (x)
Cp,
C p称为计算函数值问题的条件数.
例如f (x) x10,C p 10, f (1) 1, f (1.02) 1.24,自变量相对
误差为2%,函数值相对误差为24%.
定义2 若近似值x *的误差限是某一位数字的半个单位,该位
到x *的第一位非零数字共有n位，就说x *有n位有效数字.
即 x* 10m (a1 a2 101 an 10(n1) ) (2.1)
其中a1 0 . 并且
x x * 1 10mn1
(2.2)
2
例1 42.195, 0.0375551, 8.00033, 2.71828,按四舍五
数值分析
数值分析
四、如何学好数值分析 1、注意掌握基本原理、处理技巧，误差分析 2、注重实际问题，练习、作业 3、积极动手上机实践
数值分析
数值分析
§2 数值计算的误差
一、误差来源、分类
模型误差
观测误差
截断误差或方法误差
f
(x)
Pn (x)
f
(0)
f
(0) x 1!
f
(0) 2!
x2
f
(n) (0) n!
f
(x)
f
( x*)
f
(x*)(x x*)
f
(
2
)
(
x
x*)
2
,
在x, x *之间,
得f (x*)的误差限
( f (x*)) | f (x*) | (x*).

数值分析简明教程修订版教学设计

数值分析简明教程修订版教学设计一、教学目标本教学设计旨在让学生学会使用数值分析方法处理实际问题，掌握数值解法的基本原理、基本思想和方法，具备数值分析和计算机辅助设计能力，并能够对不同数值分析方法进行综合分析，选择最佳的解法。

二、教学内容和教学方法2.1 教学内容1.方程求解与根的寻找2.一次线性方程组求解3.常微分方程数值解法4.插值与逼近5.数值积分与微积分方程求解2.2 教学方法本课程采用讲授与实例演示相结合的教学方法。

针对不同内容，采用不同的教学方法：1.方程求解与根的寻找：讲解主要理论知识，然后通过编程演示实例进行深入讲解。

2.一次线性方程组求解：通过算法推导演示求解过程，然后结合实例进行练习。

3.常微分方程数值解法：通过算法推导演示求解过程，然后通过实例让学生独立进行求解。

4.插值与逼近：通过实例演示讲解，然后通过编程让学生进行计算。

5.数值积分与微积分方程求解：通过算法推导演示求解过程，然后通过实例让学生独立进行求解。

三、教学评估与作业3.1 教学评估课程中将采用多种方式来进行教学评估，包括课堂提问、小组讨论、实验报告和期末考试等。

其中，期末考试占总评成绩的50%。

3.2 作业要求本课程将布置多种类型的作业，包括课后习题、课堂练习、编程作业和实验报告等。

作业占总评成绩的50%。

四、教学进度安排1.方程求解与根的寻找（2周）2.一次线性方程组求解（2周）3.常微分方程数值解法（4周）4.插值与逼近（2周）5.数值积分与微积分方程求解（4周）五、教学资源本课程所需的教学资源包括：1.讲义：对数值分析基本知识和方法进行全面讲解。

2.编程软件：如MATLAB、Python等。

3.实例程序：涵盖方程求解、矩阵计算、方程组求解等。

4.教学视频：教师根据课堂教学内容精心录制的视频，便于学生复习。

六、教学心得与体会本教学设计将理论讲解和实践操作相结合，使学生在实践中深入理解数值分析的思想、方法和技术，从而提高他们的计算机科学与数学水平，增强他们的迈向工程技术领域和科学研究领域的实用能力。

《数值分析》李庆杨,第五版第1章课件

取3位
x3 * 3.14,
3 * 0.002,
取5位
x5 * 3.1416, 5 * 0.000008,
它们的误差都不超过末位数字的半个单位，即
1 10 2 , 2 1 π 3.1416 10 4. 2 π 3.14
18
定义2
若近似值 x * 的误差限是某一位的半个单位，
例2说明有效位数与小数点后有多少位数无关.
23
从(2.2)可得到具有 n 位有效数字的近似数 x *，其绝对误差限为
1 * 10 m n 1 , 2
在 m相同的情况下， n 越大则 10 m n 1 越小，故有效位数越多，绝对误差限越小.
x x*
1 10 m n 1. 2
(2.1)

* r
x x* x*
0.5 10 m n 1 1 10 n 1 ; a1 10 m 2a1
反之，由
1 x x * x * (a1 1) 10 10 n 1 2(a1 1)
* r
m
0.5 10mn 1 ,
该位到 x *的第一位非零数字共有 n位，就说 x *有 n位有效
数字. 表示为
x* 10 m (a1 a2 10 1 an 10 ( n 1) ), （2.1）
其中 ai (i 1,, n)是0到9中的一个数字，a1 0, m为整数，且
1 x x * 10 m n 1. 2
* * ( x1 / x2 )
x
* 2 2
* ( x2 0).
29
一般情况下，当自变量有误差时函数值也产生误差，其误差限可利用函数的泰勒展开式进行估计. 设 f (x)是一元函数， x 的近似值为 x *，以 f (x*)近

数值分析讲义

由于除数很小,将导致商很大,有可能出现“溢出”现象另外. ,设x* ,y* 的近似值分别为x,y，则z=x÷y是z*=x*÷y*
的近似值.此时，z的绝对误差满足估计式
e(z) z* z (x* x) y x( y y* ) y e(x) x e( y)
yy*
y2
可见,若除数太小,则可能导致商的绝对误差很大。
n k, k 1,...2,1
类似地可得
Ik
I
* k
(1) nk
k!( n!
I
n
I
* n
)
,
k n, n 1,...,1,0
可见，近似误差Ik-I*k是可控制的，算法是数值稳定的。
例如，由于
e 1 10
01 x9e1dx
I9
01 x9dx
1 10
取近似值 I9
1 (e1 1 ) 0.0684 2 10 10
§3 绝对误差、相对误差和有效数字
设x是精确值x*的一个近似值，记 e=x*-x
称e为近似值x的绝对误差，简称误差。如果满足 |e|≤
则称为近似值x的绝对误差限，简称误差限。精确值x* 、近似值x和误差限之间满足： x-≤x*≤x+
通常记为 x*=x±
绝对误差有时并不能很好地反映近似程度的好坏，如
随着计算机的飞速发展，数值分析方法已深入到计算物理、计算力学、计算化学、计算生物学、计算经济学等各个领域。本课仅限介绍最常用的数学模型的最基本的数值分析方法。
§2 误差的来源和分类
误 1.差模是型描误述差数值数计学算模之型中通近常似是值由的实精际确问程题度抽，象在得数到值的，计一般算带中有十误分差重，要这，种误误差差按称来为源模可型分误为差模。型误差、观测误差、截断误2.差观和测舍误入差误差数四学种模。型中包含的一些物理参数通常是通过观测和实验得到的，难免带有误差，这种误差称为观测误差。

《数值分析教程》课件

总结词
一种适用于大规模计算的数值方法
详细描述
谱方法适用于大规模计算，通过将问题分解为较小的子问题并利用多线程或分布式计算等技术进行并行计算，可以有效地处理大规模的计算任务。
感谢您的观看
THANKS
具有简单、稳定和可靠的优点。
05
数值积分与微分
牛顿-莱布尼兹公式
要点一
总结词
牛顿-莱布尼兹公式是数值积分中的基本公式，用于计算定积分。
要点二
详细描述
牛顿-莱布尼兹公式基于定积分的定义，通过选取一系列小区间上的近似值，将定积分转化为一系列小矩形面积之和，从而实现了数值积分。
复化求积公式
总结词
算机实现各种算法，为各个领域的科学研究和技术开发提供了强有力的支持。
数值分析的应用领域
总结词
数值分析的应用领域非常广泛，包括科学计算、工程、经济、金融、生物医学等。
详细描述
数值分析的应用领域非常广泛，几乎涵盖了所有的科学和工程领域。在科学计算方面，数值分析用于模拟和预测各种自然现象，如气候变化、生态系统和地球科学等。在工程领域，数值分析用于解决各种复杂的工程问题，如航空航天、机械、土木和电子工程等。在经济和金融领域，数值分析用于进行统计分析、预测和优化等。在生物医学领域，数值分析用于图像处理、疾病诊断和治疗等。总之，数值分析已经成为各个领域中不可或缺的重要工具。
03
线性方程组的数值解法
高斯消去法
总结词
高斯消去法是一种直接求解线性方程组的方法，通过一系列行变换将系数矩阵变为上三角矩阵，然后求解上三角方程组得到解。
详细描述
高斯消去法的基本思想是将系数矩阵通过行变换化为上三角矩阵，然后通过回带求解得到方程组的解。该方法具有较高的稳定性和精度，适用于中小规模线性方程组的求解。

数值分析简明教程教学设计 (2)

数值分析简明教程教学设计简介数值分析是一门应用数学学科，涉及数值计算方法、计算机算法和数学模型，并应用于科学工程和金融领域。

本教程旨在为初学者提供数值分析的基础知识和技能，帮助他们理解和应用数值计算方法，加强他们的计算机编程技能，并在科学工程和金融领域中应用他们所学到的内容。

教学目标•理解数值分析的基础知识和技能；•掌握数值计算方法和计算机算法；•熟悉科学工程和金融领域中数值计算方法的应用；•加强计算机编程技能。

教学内容第一部分数值计算方法在第一部分中，学生将学习以下内容：•引言：数值分析的概述和教学目标；•数值误差：截断误差和舍入误差；•插值和逼近：Lagrange插值公式、Newton插值公式、分段线性插值和最小二乘逼近；•数值积分：复合矩形公式、复合梯形公式、复合辛普森公式；•数值微分：前向差分、后向差分、中心差分。

第二部分计算机算法在第二部分中，学生将学习以下内容：•MATLAB编程环境：MATLAB编辑器、命令窗口和脚本文件；•基本语法：变量和常量、操作符、条件语句和循环语句；•数组和矩阵：一维数组、多维数组和矩阵运算；•函数和程序：函数定义和调用、程序设计；•绘图工具：绘制函数图形和数据图形。

第三部分应用在第三部分中，学生将学习以下内容：•常微分方程：欧拉方法、改进欧拉方法、龙格-库塔方法；•偏微分方程：热传导方程、波动方程、抛物线型方程；•金融计算：复利计算、折现计算、利率计算。

教学方法教学方法将结合以下内容：•讲授：直接讲解数值分析的基本理论和方法；•实践：以编写MATLAB程序为主要实践内容，实践环节包括编写代码、调试程序、运行实例和仿真实验；•例题演练：通过讲解、讲解示范，引导学生理解各类数值计算方法，并通过实例数据算例加深理解；•课程论文：完成一篇有关数值分析的论文，包括理论分析、编程实现、成果展示和问题讨论。

评估方法评估方法将包括以下内容：•学生作业：每周布置一份作业，完成情况作为课程考评的重要标准之一；•平时成绩：考虑学生在课堂上的表现、实践成果和参与度，占课程总成绩的20%；•期中考试：对第一部分、第二部分内容进行考核；•期末考试：对整个课程内容进行考核，占课程总成绩的50%；•课程论文：根据课程论文综合评估学生对数值分析方法的理解和应用能力。

数值分析简明教程

ℓi1
=
ai1 u11
(i = 2,3,∙∙∙, n)
ukj = akj − ∑km−=11 ℓkmumj
ℓik
=
1 ukk
�aik
−
∑km−=11
ℓimumk�
(j = k, k + 1,∙∙∙, n) (i = k + 1, k + 2,∙∙∙, n)
平方根法（Cholesky 分解法）（系数矩阵对．称．正．定．）：
则 (1) x = φ(x) 在 [a, b] 上有唯一实根 x∗；
第 1 页共 13 页
周斌
(2) 对任意 x0 ∈ [a, b] , 迭代公式收敛，且
lim
k→+∞
��
=
��∗
(3) 后验误差估计：
|xk
−
x∗|
≤
L 1−L
|xk
−
xk−1|
先验误差估计：
|xk
−
谱半径：
n 阶矩阵 B 在复数范围内的各特征值为 λi (i = 1,2,∙∙∙, n) ，则称 ρ(B) = max1≤i≤n|λi| 为 B 之谱半径。
ρ(B) ≤ ‖B‖ （注： ‖∙‖ 是 Rn×n 上任一矩阵范数）
矩阵条件数： n 阶非奇异矩阵 A 的条件数：Cond(A) = ‖A−1‖‖A‖
② 系数矩阵 A = (aij)n×n 严格对角占优 ③ 系数矩阵 A 对称正定
SOR 迭代法 �x(k+1) = (1 − ω)x(k) + ωD−1(b − Lx(k+1) − Ux(k))� ： ⇓
x(k+1) = Bωx(k) + ω(D + ωL)−1b Bω = (D + ωL)−1[(1 − ω)D − ωU]

数值分析教材

第一章绪论与误差第一节数值分析研究对象及特点一、数值分析课的地位:数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支。

它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。

用计算机解决科学技术和工程问题的步骤:实际问题→建立数学模型→研究计算方法→程序设计→上机计算→求出结果。

例如:⑴ 某一地区的地形图,用空中航测方法,空中连续拍照。

⑵ 为形成三维地形图,建立了一个大型超定线性方程组。

⑶ 采用最小二乘方法求解该方程组的最小二乘解, 然后再整体平滑。

⑷ 编程序,形成一个大型程序,上机进行计算。

二、数值分析课的主要内容:计算机只能进行加减乘除四则运算和一些简单的函数计算(即使是函数也是通过数值分析方法处理,转化为四则运算而形成了的一个小型软件包)。

1.数值代数:求解线性和非线性方程的解法, 分直接方法和间接方法。

2.插值和数值逼近。

3.数值微分和数值积分。

4.常微分方程和偏微分方程数值解法。

三、数值分析具有的特点1. 面向计算机，要根据计算机的特点提供切实可行的有效算法,即算法只能包含加、减、乘、除和逻辑运算,这些运算是计算机能直接处理的运算。

2. 有可靠的理论分析，能任意逼近并达到精度要求，对近似算法要保证收敛性和数值稳定性，还要对误差进行分析。

3. 要有好的计算复杂性。

时间复杂性好是指节省时间，空间复杂性好是指节省存储量，这也是建立算法要研究的问题,它关系到算法能否在计算机上实现。

4. 要有数值试验，即任何一个算法除了从理论上要满足上述三点外还要通过数值试验证明是行之有效的。

四、对算法所要考虑的问题:1. 计算速度1 例如：求解一个20阶线性方程组,用加减消元法需3000次乘法运算,而用克莱姆法则要进行次运算,如用每秒1亿次乘法运算的计算机要30万年。

2. 存储量。

大型问题有必要考虑。

3. 数值稳定性。

在大量计算中,舍入误差是积累还是能控制,这与数值稳定性算法有关。

例一元二次方程其精确解为如用求根公式:以及字长为8位的计算器求解有：则:,那么: 的值与精确解有天壤之别。

（完整版）数值分析教案.doc

（完整版）数值分析教案.doc§1 插值型数值求积公式教学目的 1. 会求插值型数值求积公式及Gauss型数值求积公式并会讨论它们的代数精度；2. 理解复化梯形数值求积公式及复化Simpson数值求积公式和余项的推导的基础上掌握它们；3. 理解数值微分公式推导的基础上掌握一阶、二阶数值微分公式及余项；4.了解外推原理。

教学重点及难点重点是插值型数值求积公式及Gauss 型数值求积公式的求解及它们代数精度的讨论；难点是Gauss 型数值求积公式节点的求解方法的推导及求解方法。

教学时数12 学时教学过程1． 1 一般求积公式及其代数精度设(x) 是 ( a, b) 上的权函数， f ( x) 是 [ a, b] 上具有一定光滑度的函数。

用数值方逑下积分b(x) f ( x) dxa的最一般方法是用 f (x) 在节点 a x0 x1 x n b 上函数值的某种线性组合来近似b n(x) f ( x) dx A i f ( x i )ai 0其中 A i ,i 0, , n 是独立于函数 f ( x) 的常数，称为积分系数，而节点x i , i 0,1, , n 称为求积节点。

我们也可将（ 1． 2）写成带余项的形式b n(x) f ( x) dx A i f ( x i ) R[ f ]ai0（1．2）和（1．3）都称之为数值求积公式或机械求积公式。

更一般些的求积公式还可以包含函数 f ( x) 在某些点的低阶导数值。

在（ 1.3）中余项R[ x] 也称为求积公式的截断误差。

一个很自然的想法是数值求积公式要对低次多项式精确成立这就导出了求积公式数精度的概念。

定义1 若求积公式（1.2）对任意不高于m次的代数多项式都精确成立，而对 x m 1 不能精确成立，则称该求积公式具有m 次代数精度。

一个求积公式的代数精度越高，就会对越多的代数多项式精确成立。

例 1 确定求积公式1 1 4 f (0) f (1)]f (x)dx [ f ( 1)1 3的代数精度。

数值分析第一章电子教案(欧阳洁)

第一章绪论§1 数值分析的任务§2 误差的基础知识§3 误差定性分析及数值运算中的若干原则欧阳洁2§1 数值分析的任务科学与工程领域中运用计算机求解问题的一般过程：1 实际问题的提出2 建立数学模型3 设计可靠、高效的数值方法4 程序设计5 上机实践计算结果6 数据处理及结果分析欧阳洁3算法应用的意义科学计算（数值模拟）已经被公认为与理论分析、实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。

数值分析研究对象以及解决问题方法的广泛适用性，著名流行软件如Maple、Matlab、Mathematica等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。

但由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容至关重要。

欧阳洁4数值分析的任务数学模型可算化（1）用有限维空间代替无限维空间（2）用有限过程代替无限过程（3）用简单问题替代复杂问题研究算法的可靠性收敛性、稳定性、误差估计研究算法的复杂度时间复杂度、空间复杂度、逻辑复杂度欧阳洁5鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几个方面问题的求解算法：¾非线性方程求根¾线性代数方程组求解¾函数插值¾函数逼近与曲线拟合¾数值积分与数值微分¾常微分方程数值解法¾矩阵特征值与特征向量计算欧阳洁6§2 误差的基础知识一误差的来源二误差与有效数字三数值运算的误差估计欧阳洁7一误差的来源模型误差:数学模型与实际问题的误差观测误差：观测结果与实际问题的误差截断误差：数学模型的理论解与数值计算问题的精确解之间的误差舍入误差：对超过某有限位数的数据进行舍入所产生的误差欧阳洁8二误差与有效数字1.绝对误差与绝对误差限2. 相对误差与相对误差限3. 有效数字与有效数4. 有效数字与相对误差的关系欧阳洁10三数值运算的误差估计近似数参加运算后所得之值一般也是近似值，含有误差，将这一现象称为误差传播。

数值分析第一章PPT课件

= f ’( )(x* x)
x* 与 x 非常接近时，可认为 f ’( ) f ’(x*) ，则有：
|e*(y)| | f ’(x*)|·|e*(x)|
即：x*产生的误差经过 f 作用后被放大/缩小了| f ’(x*)| 倍。故称| f ’(x*)|为放大因子 /* amplification factor */ 或绝对条件数 /* absolute condition number */.
r* (x ) ln x * r* (y )
11 0n1lnx*0.1% 2a1
n4
.
10
1.3 避免误差危害的若干原则
算法的数值稳定性
用一个算法进行计算，如果初始数据误差在计算中传播使计算结果的误差增长很快，这个算法就是数值不稳定的.
.
11
1.3 避免误差危害的若干原则
病态问题与条件数
Cp
x f (x) f (x)
x nxn1 xn
n,
它表示相对误差可能放大 n倍.
如 n10，有 f(1 ) 1 ,f(1 .0)2 1 .2，4 若取 x 1, x*1.02, 自变量相对误差为 2% ，函数值相对误差为 24%，这时问题可以认为是病态的.
一般情况下,条件数
Cp
10就认为是病态，
εr*21 a11 0n10.0 0% 1
已知 a1 = 3，则从以上不等式可解得 n > 6 log6，即
n 6，应取 * = 3.14159。
.
8
1.2 数值计算的误差
问题：对于y = f (x)，若用x* 取代x，将对y 产生什么影响？
分析：e*(y) = f (x*) f (x)
e*(x) = x* x