习题第四章弯曲内力与强度问题

3）求3-3截面上Q3、M 3 方法同上，由图（d）有
qa
2qa 2 q
A a C Y qa q -Q 0 a/2 3 Q a 3 3 2 (d ) Q3 qa 3a a a mO ( F ) M 3 qa q 2qa 2 0 2 2 4 3 2 M 3 qa 8 对Q3、M 3的说明同2）。
2
1Q1
A
YA mO ( F ) M 1 qa a 0
a
(b )
O1
M1
Q1为负值，说明它实际方向向上。同时，按剪力 +、-号规定也应为负值，说明它实际转向为逆时针， 按弯距+、-号规定也应为负值。
2)求2-2截面上Q2、M 2 取截面，设正后研究对象受力如图（c）
2h
h 2
答案： A
h 2
h
h 2
h h
h
2b
（a）
2b
（b）
2b
（c）
三、判断题
1.在集中力作用处，梁的剪力图要发生突变，弯距图的斜率 要发生突变。
答案：
2.在Q=0处，弯距必取 M max 。
（ ）
（ ）
答案： 3.钢梁与铝合金梁具有相同的横截面形状和尺寸，在相同 的弯距作用下将产生同样大在最大正应力。 （ ） 答案：
3
M3
4）取右段平衡求Q3、M 3 为此应先由整梁平衡（见图（a））求出固定端约束力 1 YB 2qa，mB qa 2。取右段，设正后（注意此时Q3、 2 q M 3的正值方向）如图（e） Q3 a Y Q q 2qa 0 3 M3 B 2 a/2 Y B Q3 qa (e) a a a 1 mO ( F ) M 3 q 2qa qa 2 0 2 4 2 2 3 M 3 qa 2 8 结果与取左段相同，符合同一截面上两侧的内力为 作用反作用关系。因此4）也可作为步骤3）所得结果 正确性的校核。
a
解：现用设正法 1）求1-1截面上Q1、M 1 用截面1 1截取梁左段为研究对象。如图（b）所示，设 截面上作用有正向Q1、M 1，O为截面形心。由静力平衡条件 Y qa Q 0 q

1
Q1 qa M 1 qa
）列Q x 、M x 方程 本题载荷为x的一次函数，Q x 、M x 分别为二次、三次 曲线方程，利用方程辅以微分关系作图较为方便。 q0 取x面左段为研究对象，x面上载荷集度为q x x。 l 1 1 1 1 q0 2 Q x q0l q x x q0l x x l 6 2 6 2 l 1 1 1 1 1 q0 3 M x q0l x q x x x q0lx x x l 6 2 3 6 6 l
3 P 2
(d )
5.图a所示为一T字形铸铁梁，已知受弯时抗拉许用应力
t 30MPa，抗压 c 60MPa。试校核此梁是否安全。
图示截面尺寸长度单位为mm。
9kN 4kN
y
A
C
1m 1m
B
1m
D
z0
80 20
yc z
20
C
120
（a）
解：1）作弯距图 M图如图(b)、可能危险面为C、B。M C 2.5kN m， M B 4.0kN m。 2）计算抗弯截面系数 设参考坐标轴z。形心坐标yC，则 mm 8 2 I z 23 2 8 4.22 123 12 2 2.82 763cm 4 12 12 Iz 763 上 2.5 Wz 上 147cm3 ymax 5.2 yC W
作Q、M图 1 1 Q图（图（b）） Q A右 q0l，Q B左 q0l，Q x 为二次 3 6 曲线。它区别于直线，应取三个控制面。可由Q x 0 得x l / （ 3 QC =0），由dQ/dx q x (), 知Q x 的斜率由A 面的0开始一直取负值至B面的 q0，Q图为“上凸”的二 次曲线。
Q
P
M
x
Pa 2 Pa 3Pa
x
（b）
（c）
3.简支梁受线性分布载荷作用如图（a)所示，试作 Q、M图，并写出 Q max 、 M
max
。
R 1 q0l 6
q x
q0
A
x
YA 1 q0l 6
B
x
l /3
l
1 YB q0l 3
a
解：1）求支承约束力 1 此时可视为分布载荷的合力R= q0 （三角形分布载荷为矩 l 2 2 形分布之半）作用与x l处，设A、B处有约束力YA、YB。 3 2 1 m A F R l YB l 0， YB q0l 3 3 1 1 m B F R l YA l 0， YB q0l 3 6 1 1 1 校核 Y q0l q0l q0l 0 3 6 2
1 q0 l 6

C
l/ 3

1 q0 l 3
Q
b
M图（图（c））M A 0，M B 0，M x 为三曲线， 由dQ/dx Q x 可知，M x 的斜率开始为正值，越来越 小，经0（C面）变成负的，绝对值越来越大，它使M曲 线形成“上凸”（在规定M 坐标下）的三次曲线。在C 面（x l / 3）弯矩取极值 1 l 1 q0 l 1 2 M 极 q0l q l 0 6 3 6 l 3 9 3 1 1 ） Q max = q0l，（x l）； M max q0l 2 （x l / 3）。 6 9 3
4.平面弯曲是指梁的横截面变形前是平面， 受力变弯后仍为平面的弯曲。 （ ）

答案：

四、计算题
1.梁受力如图（a）所示，求1-1，2-2，3-3面上的剪力 与弯距。其中1-1面与2-2面分别在紧靠外力偶m作用面C 的左则与右则。
qa
m 2qa2
A
1 2 3 1 2 a 3
q
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mB
C
2
B
YB
a
（a）
（a）
m Pa
2P
A
C
B
a
2P
a
P
B
YB P
A
（b）
() ()
Pa
()
C
YA P
m Pa
P
B
（c）
A
P YA 2
Pa
P 2
()
1 Pa 2
YB
P 2
梁（c）在A端作用有力偶m。切忌将AB整梁的剪力看成 零，弯距为M=m。这是忽略了约束力（步骤上忘了求约 P P 束力）的错误结果，求约束力YA （向下）。 YB 2 2 （向上）后的结果如图示。
答案： B
A
0.89kN
1kN m
C
D
E F
2kN
B
1.11kN
1.5m
1.5m
1.5m
3. 梁受力如图，剪力图和 弯距图正确的是（ ）。
P
P P
a
Pa
2a
a
（A）
P
Q Q Q
Pa Pa Pa Pa
M M M M
（B）
P
P
（C）
P
P P
Pa Pa
P
P
（D）
3 3
mB
2.列方程作图（a）所示梁的剪力图与弯距图
P
m Pa
A x
x
2a
mB 3Pa
C
B
2a
x
YB P
（a）
解：如图（a）建x轴，列方程作Q、M图的步骤如下： 1）求支承约束力 用整梁平衡条件求得YB P、mB 3Pa（图（ a））。 2）列Q x 、M x 方程 AC段Q x P （0<x 2a） M x Px （0 x<2a） CB段Q x P （2a x<4a） M x PxPa （2a<x<4a）
第四章:弯曲内力与强度问题
一、填空
1.弯距图上 M
max
可能是（ ），出项在（ ）面上；
可能是（ ），出现在（ ）情况下。
答案： 边界值，分段面上；极值，分布载荷作用下Q=0。
2. 图示矩形截面纯弯梁受弯距M 作用，梁发生弹性变形， 横截面上图示阴影面积上承担的弯距为（ ）。
h/4
h
答案：
7 M 8
qa
2qa 2
Y qa Q
Q2 qa M 2 qa 2
2
0
2
A
a
(c )
2 O 2
M2
Q2
mO ( F ) M 2 qa a 2qa 0
对Q2的说明同1 ）；M 2为正值，说明它实际转向与所设 相同，即逆时针，按弯距+、-号规定也应为正值。
m Pa
（c）
A
YA P 2
B
YB P 2
Pa
P 2
()
1 Pa 2
叠加
将分段面上的Q、M相应值相加，然后按相应
图上线型（现均为直线），连线即可得总Q、M图（d）， 3 3 并有 Q max = P、 M max Pa。 2 2 3 Pa 2 Pa 1 P () 2
()
()
1
3

9 3
q0l 2
M
c
C
4.用叠加法求图（a）所示梁的Q、M图， 并写出 Q max 、 M
m Pa
max
。
2P
A
C
B
a
（a）
a
解：在熟练掌握作Q、M图方法的基础上，有时可将多个 载荷共同作用下的梁，按载荷分成几个简单基本的梁， 分别作Q、M图后加以叠加而得出总Q、M图。现将图示 梁（a）分成梁（b）与梁（c）。 梁（b）的外力是对称的，画出的Q图是反对称的，M图 是对称的。
Q
Pa
答案： D
4.纯弯梁的横截面形状、尺寸如图（a）、（b）、（c）所示。 h 它们都是在2b 2h的矩形内对称于y轴挖空一个面积为b 的 2 小矩形。在相同弯距作用下，它们最大弯曲正应力大小的排 序是（ ）。 （A）（a）>（b）>（c） （C）（a）<（b）<（c） y b （B）（b）>（a）>（c） （D）（b）<（a）<（c） y y b b
）给定分段面（控制面）上Q、M 值并连线作图 根据AC、CB段Q x P，知Q图为一水平线（图（b））。 AC段M x Px，M A M O 0，M C左 M 2a 2 Pa 弯距图为一斜直线（斜率为 P）。CB段M x PxPa， M C右 M 2a Pa，M B左 3Pa，弯距图为一斜直线（斜 率也为-P），得M图如图（c）。
（A）（a x 2a），（a x 2a） （C）（a x 2a），（a x 2a）
A
（B）（a x 2a），（a x 2a） （D）（a x 2a），（a x 2a）
m
C
B
2m
D
x
a
a
YB = 3m 2a
a
答案： C
YA =
3m 2a
2.梁受力如图所示，指定截面C、D、E、F上正确的 Q、M 值应为（ ）。 （A）QC 0.89kN,M C 0.89 1.5 1 2.335kN m （B）QD 0.89kN,M D 0.89 1.5 1 0.335kN m （C）QE 1.11kN,M E 1.111.5 1.665kN m （D）QF 1.11kN,M F 1.111.5 1.665kN m
M
h/4
b
3.图示横截面为等腰梯形的纯弯梁受弯距M 作用，已知 B 3b、h 2b则最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力之比 （ max）（ ）。 t / max） c为（
5 答案： 7
M
b h
B
二、选择题
1.图示梁CB段的剪力、弯距方程为Q （x）=-3m / 2a， 3mx M （x）= m，其相应的适用区间分别为（ ）。 2a