利用极坐标解圆锥曲线题教学提纲

利用极坐标解圆锥曲

线题

利用极坐标解题

知识点精析： 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一

条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．

以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θ

ρcos 1e ep

-=.

其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；

当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；

当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.

引论（1）若 1+cos ep

e ρθ

=

则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线 （2 ）若1-sin ep

e ρθ

=

当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆

当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin ep

e ρθ

=

当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编

（1）二次曲线基本量之间的互求

例1.（复旦自招）确定方程10

53cos ρθ

=-表示曲线的离心率、焦距、长短轴

长。

解法一：3102

5333

1cos 1cos 55ρθθ⨯

==--

31053

e P ∴==，

2332555851015

103383c a c a a b a c c c

⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨

⎪⎪⎪-===⎪⎪⎪⎩⎩⎩

52

b ∴== 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，25

54

长轴长，短轴长

解法二：转化为直角坐标 （2）圆锥曲线弦长问题

若圆锥曲线的弦MN 经过焦点F ，

1、椭圆中，c

b c c a p 2

2=-=，θθπθ2222cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=--+-=.

若椭圆方程为，半焦距为，焦点

，

设过

的直线的倾斜角为

交椭圆于A 、B 两点，求弦长

。

解：连结，设，由椭圆定义得

，由余弦定理得

，整理可得，同理可求得

，则弦长

。

同理可求得焦点在y 轴上的过焦点弦长为（a 为长半轴，b 为短半

轴，c 为半焦距）

结论：椭圆过焦点弦长公式：

2、双曲线中，（注释：双曲线问题比较特殊，很多参考书上均有误解。） 若M 、N 在双曲线同一支上，

θ

θπθ2222

cos 2)cos(1cos 1c a ab e ep e ep MN -=

--+-=； 若M 、N 在双曲线不同支上，2

222

cos 2cos 1cos 1a c ab e ep e ep MN -=--+-=θθθ

设双曲线

，其中两焦点坐标为

，过

的直线的倾斜角为

，交双曲线于A 、B 两点，求弦长|AB|。

解：（1）当时，（如图2）直线与双曲线的两个交点A 、B

在同一交点上，连

，设

，由双曲线定义可得

，由余弦定理可得

整理可得，同理

，则可求得弦长

。

（2）当或时，如图3，直线l与双曲线交点A、B 在两支上，连，设，则，

，由余弦定理可得，

整理可得，则

因此焦点在x轴的焦点弦长为

同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式

其中a为实半轴，b为虚半轴，c为半焦距，为AB的倾斜角。

3、抛物线中，θ

θπθ2

sin 2)cos(1cos 1p

p p MN =--+-=

若抛物线与过焦点的直线相交于A 、B 两点，若的倾斜角

为

，求弦长|AB|？（图4）

解：过A 、B 两点分别向x 轴作垂线为垂足，设，

，则点A 的横坐标为，点B 横坐标为，由抛物线定义

可得

即

则

同理的焦点弦长为

的焦点弦长为，所以抛物线的焦点弦长为

例2． 已知抛物线y 2=2px （p>0），过其焦点且斜率为k 的直线交抛物线于A ，B 两点，求AB 长.

练习1：．过双曲线22x y -145=的右焦点，引倾斜角为3

π

的直线，交双曲线与

A 、

B 两点，求AB ｜｜

解：根据题意，建立以双曲线右焦点为极点的极坐标系 即得

附录直角坐标系中的焦半径公式 设P （x,y ）是圆锥曲线上的点，

1、若1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，则ex a PF +=1，ex a PF -=2；

2、若1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，

当点P 在双曲线右支上时，a ex PF +=1，a ex PF -=2； 当点P 在双曲线左支上时，ex a PF --=1，ex a PF -=2；

523cos ρθ

=

-12(,),(,)

33

A B ππ

ρρπ+12||AB ρρ=+5580|

|7

23cos

23cos()

3

3

π

π

π=+

=

--+