3运输问题及其解法

§3.1运输问题的数学模型及特点
3.1.1 运输问题的数学模型
运输问题的一般提法是：设某种物资有 m 个产地 A1 , A2 ,L , Am ( 称为发点)，产量分别为
a1 , a2 ,L , am 个单位(称为供应量)，另外有 n 个销地 (称为收点)，销量分别为 b1 , b2 ,L bn 个单
一、最小元素法．
最小元素法是求初始方案最简便易行的方法之一． 所谓元素就是指单位运价,最小元素法的 基本思想是就近供应，即运价最便宜的优先调运．具体做法是：首先，在运输表中选出最小运 价为5，即 A3 优先满足 B4 的需求，而 B4 可全部由 A3 来供应，故取 x34 = min{30, 40} = 30 ，填 入表中并画上圈,由于 B4 的需求已满足，故 x14 , x24 取值为0,在 x14 , x24 处打 × ,即将 B4 列划去， 调整 A3 的产量为40-30=10，即 A3 满足 B4 需要后还剩10t，见表3.2 - 3． 表3.2 – 3 最小元素法示例 销 产 地 地
81
表上作业法是单纯形法在求解运输问题时的一种简化方法，其实质是单纯形法，同单纯形法 一样，表上作业法的步骤可分为三步，即：求初始调运方案，最优方案的检验，及方案的调整． 下面以一个具体例子来介绍表上作业法的步骤． 例3.2-1 设某物资需要由产地 A1 , A2 , A3 调往销地 B1 , B2 , B3 , B4 ,产地 A1, A2 , A3 存有物资 的数量分别为35t，50t，40t，销地 B1 , B2 , B3 , B4 的需求量分别为45t，20t，30t，30t．已知从 产地 Ai 到销地 B j 的单位运价 cij 见表4.2 – 1.问应如何调运可使总的运输费用最少? 表3.2-1 例3.2-1的运价表 单 位 运 产 地 价 8 9 14 6 12 9 10 13 16 9 7 5 销 地
m
n
n ∑ xij ≤ ai (i = 1, 2,L , m) j =1 m ∑ xij = b j ( j = 1, 2,L, n) i =1 xij ≥ 0.
如果销大于产(
（3.1-2 ）
∑ ai < ∑ b j ),则其数学模型为
i =1 j =1
m
n
min z = ∑∑ cij xij
78
表3.1-1 运输表
单 位 运 产
销 地 价 地
B1
B2
…
Bn
供应量
C11
A1
C12
…
C1n a1 x1n C2 n
…
x11 C21 A2 x21 C22
x12
a2 x2 n
x22
Cm1
Cm2
…
Cmn
Am xm1
需求量
am xmn
xm 2 b2
…
b1
bn
如果总产量与总销量相等，即： 则我们有该问题的数学模型为：
79
i =1 j =1
(3.1 − 1)
（3.1-1）式称为产销平衡运输问题的数学模型． 如果总产量与总销量不相等（ 模型为
∑ a ≠ ∑b
i =1 i j =1
m
n
j
）,如果产大于销(即
∑ a > ∑b
i =1 i j =1
m
n
jwk.baidu.com
)，则其数学
min z = ∑∑ cij xij
i =1 j =1
83
表3.2-4 最小元素法示例 销 产 地 地
B1
B2
B3
B4
产量
8
A1
6
20 ○
10
9
×
35
15
9
A2
12
×
13
7
×
50
14
A3
9
×
45 20
16
5
30 ○ 30 30
40 10
销量
125 125
继续上述步骤： 取 x11 = min{45,15} = 15 ,在 A1 所在行的其它空格处填入 × ,即划去 A1 所在行，调整 B1 的 销量为30． 取 x21 = {30,50} = 30 ,在 B1 所在列的其它空格处填入 × , ,即划去 B1 所在列，调整 A2 的产 量为20． 取 x23 = {30, 20} = 20 ,在 A2 行的其它空格处填 × ,即划去 A2 所在行，调整 B3 的销量为10． 取 x33 = {10,10} = 10 ,在 A3 所在行和 B3 所在列的其它空格处填 × ,即同时划去 A3 所在行和
位(称为需求量)， 设 cij (i = 1, 2,L , m, j = 1, 2,L , n) 为由产地 Ai 运往销地 B j 的单位运费， xij 为从 Ai 调往 B j 的物资数量，试问如何调运，求能使总运费最小． 为了清楚起见，通常将上述数据列在一张表上，该表称为运输表(见表3.1-1)．
第
3
章 运输问题及其解法
本章基本要求
1、掌握运输问题模型结构； 2、了解运输问题模型特点； 3、掌握用最小元素法和元素差额法求解运输问题的初始基与初始基可行解； 4、掌握用位势法求运输规划问题的检验数； 5、会用闭回路法进行方案的调整．
运输问题是一类特殊的线性规划问题，最早是从物资调运工作中提出的， 后来又有许多其它 问题也归结到这一类问题中．正是由于它的特殊结构，我们不是采用线性规划的单纯形方法求 解，而是根据单纯形方法的基本原理结合运输问题的具体特点采用表上作业的方法求解．
85
可以将第 t 列的销量调整为0，将第k行的其它空格处填入 × ,划去第 k 行，但二者不能同时划去 (最后一次除外)． ④在未被填入数字和 × 的其它元素中重复②③步，直至把所有的行和列都划完为止． 为叙述方便，通常把填数并画圈的格称为数字格，其余未填数的格称为空格．
二、元素差额法(Vogel法)．
B1
B2
B3
B4
产量
8
A1
6
10
9 ×
35
A2
9
12
13
7 ×
50 40 10 30 ○
14
A3
9
16
5
销量
45
20
30
30
125 125
然后在表3.2 - 3中未填入数字和 × 的元素中找出最小者为 c12 = 6 ，取 x12 = min{20,35} ＝20，把20填入表3.2 - 4中 x12 的位置,在 B2 列其它空格处填入 × ,即划去 B2 列,调整 A1 行的产 量为35-20=15，
i =1 j =1
m
n
n ∑ xij = ai (i = 1, 2,L , m) j =1 m ∑ xij ≤ b j ( j = 1, 2,L , n) i =1 xij ≥ 0.
（3.1-3）
因为产销不平衡的运输问题可以转化为产销平衡的运输问题．所以我们先讨论产销平衡的 运输问题的求解． 运输问题有 mn 个未知量, m + n 个约束方程． 例如当 m ≈ 40, n = 70 时 （3.1-1） 式就有 2800 个未知量，110 个方程,若用前面的单纯形法求解，计算工作量是相当大的．我们必须寻找特殊 解法．
i =1 j =1 n i =1
m
n
m
（3.1－4）
将后 n 个约束相加，得
∑∑ xij = ∑ b j ,
j =1 i =1 j =1 m n
m
n
（3.1－5）
因为，
（3.1-4）式与（3.1-5）式是相同的．由此可见，这 m + n 个约束 ∑ ai = ∑ b j ,所以，
i =1 j =1
不是独立的．我们可以证明：当所有的 ai , b j 都大于零时，任何 m + n − 1 个约束都是相互独立 的．即，系数矩阵 A 的秩 r ( A) = m + n − 1 ，事实上，
x11 x12 … x1n x 21 x 22 … x2 n … xm1 xm 2 … xmn 1 1 L 1 1 1 L 1 O 1 1 O 1 A= 1 1 1 L 1 1 1 O O O 1 1 1
注意到在 A 中去掉第 1 行而取出第 2，第 3，…，第 m+n 行，又取出与 x11 , x12 ,L , x1n , x21 , x31 ,L , xm1 所对应的列，则由这些取出的行和列的交叉处的元素构成 A 的一
3.1.2
运输问题的特点
由于运输问题也是线性规划问题，根据线性规划的一般原理，如果它的最优解存在，一定可 以在基本可行解中找到． 因此， 我们先求运输问题 （4.1-1） 的约束方程组的系数矩阵的秩 r ( A ) 等于多少． （3.1-1）式有 m + n 个约束，将前 m 个约束相加得
80
∑∑ xij = ∑ ai ,
初看起来，最小元素法十分合理，但是，有时按某一最小单位运价优先安排物品调运时， 却可能导致不得不采用运费很高的其他供销点对，从而使整个运输费用增加．对每一个供应地 或销售地， 均可由它到各销售地或到各供应地的单位运价中找出最小单位运价和次小单位运价， 并称这两个单位运价之差为该供应地或销售地的罚数．若罚数的值不大，当不能按最小单位运 价安排运输时造成的运费损失不大；反之，如果罚数的值很大，不按最小运价组织运输就会造 成很大损失，故应尽量按最小单位运价安排运输，元素差额法就是基于这种考虑提出来的． 现结合上例说明这种方法： 首先计算运输表中每一行和每一列的次小单位运价和最小单位运价之间的差值，并分别称 之为行罚数和列罚数；将算出的行罚数填入位于运输表右侧行罚数栏的左边第一列的相应格子 中，列罚数填人位于运输表下边列罚数栏的第一行的相应格子中． A1 行中的次小和最小单位运 价分别为8和6，故其行罚数为2， B1 列中次小单位运价和最小单位运价分别为9和8，故其列罚 数为1，如此进行，可计算出 A1 , A2 , A3 的行罚数分别为2，2和4， B1 , B2 , B3 , B4 列的列罚数分别 为1，3，3，2．在这些罚数中最大者为4(在表4.2 - 6中用小圆圈标出)，它位于 A3 行，由于在
B1
B2
B3
B4
A1 A2 A3
解
由已知条件列出运输表3.2 – 2 表4.2 – 2 例4.2-1的运输表 销 产 地 地
B1
B2
B3
B4
产量
A1
8
6
10
9
35
A2
9
12
13
7
50
A3
销量
14
9
16
5
40
45
20
30
30
3.2.1．求初始调运方案
82
初始调运方案显然必须是一个基本可行解，初始解一般来说不是最优解，主要希望给出求 初始解的方法简便可行， 且有较好的效果． 这种方法很多， 最常见的是左上角法 （或西北角法） 、 最小元素法和元素差额法．后两种方法的效果较好，在此我们对最小元素法和元素差额法加以 介绍．
10
125
显然，所有方格都已填上数或打上×，总共填了3＋4－1=6个数（等于基变量的个数）其余 方格均已打×．每填一数就划去了一行或一列，总共划去的行数与列数之和也是6．可以证明， 用最小元素法所得到的一组解 xij 是基可行解，而且填数处是基变量，打×处是非基变量．该解 对应目标函数值为 z =8×15+6×20+9×30+13×20+16×10+5×30=1080， 即用最小元素法给出的 初始方案是运输问题的基本可行解．
个 m + n − 1 级子式 D
M 1 M 1 M O M 1 D = L L L L M L L L L = −1 ≠ 0 1 M 1 1 L 1 1 M O M 1 M
所以 r ( A) = m + n − 1 ，由此可知，运输问题的任何一组基都由 m + n − 1 个变量组成．
§3.2 运输问题的表上作业法
综上所述，最小元素法的具体步骤为：
①列出运输表； ②在运输表中，找出单位运价最小者 ckt 取 xkt = min{ak , bt } ，把 xkt 填在相应的方格内并画 上圈．如果有几个单位运价同时达到最小就任取其中之一； ③如果 ak < bt ， 就将第 t 列的销量调整为 bt − ak ， 将第k行的其它空格处填入 × ,并划去第 k 行； 如果 ak > bt 就将第 k 行的产量调整为 ak − bt ，将第t列的其它空格处填入 × ,划去第 t 列； 如果 ak = bt ，可以将第 k 行的产量调整为0，将第t列的其它空格处填入 × ,划去第 t 列，也
B3 所在列，得到初始方案见表3.2 - 5．
84
表3.2 -5 例3.2-1的求解过程 销 产 地 地
B1
B2
B3
B4
产量
8
A1
15 ○
6
20 ○
10
×
9
×
35
15
9
A2
30 ○
12
× 9 × ×
20
13
20 ○
7
× 5
10 ○ 30 ○ 30 125
50
20
14
A3
16
40 10
销量
45
30
30
∑ ai = ∑ b j
i =1 j =1 m n
m
n
min z = ∑∑ cij xij
n (i = 1, 2, L m), ∑ xij = a i j =1 n ( j = 1, 2, L n ), ∑ xij = b j = i 1 xij ≥ 0 ( i = 1, L m , j = 1, L n ).