2015年初中数学中考总复习全优设计第17课时 直角三角形与锐角三角函数
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系(教案)锐角三角函数与解直角三角形(复习案)
2.教学难点
-函数互化过程中的计算：对于一些特殊角的锐角三角函数值，学生容易混淆，计算过程中需要注意细节，如特殊角的三角函数值记忆。
-解直角三角形的实际应用：将理论知识应用于实际问题，需要学生具备较强的抽象思维能力和实际问题转化能力。
2.加强学生对锐角三角函数概念的理解，发展学生的数学抽象、逻辑推理和数学建模核心素养。
3.通过对解直角三角形的方法探讨，培养学生几何直观和空间想象能力，提高数据分析和问题解决的核心素养。
4.激发学生探索数学问题的兴趣，培养合作交流、自主探究的学习习惯，提升数学思维品质和学科素养。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-解决问题的策略选择：在解决具体问题时，学生需要根据已知条件和求解目标，选择合适的锐角三角函数和解题方法。
举例解释：
-函数互化时，对于30°、45°、60°等特殊角的三角函数值，学生需要熟练掌握，如sin30°=1/2，cos30°=√3/2等。
-在实际应用题中，如测量旗杆高度，学生需要将实际问题转化为解直角三角形问题，确定已知量和求解量，选择合适的三角函数进行计算。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了锐角三角函数的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对解直角三角形方法的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
北师大版九年级下册第一章直角三角形的边角关系（教案）锐角三角函数与解直角三角形（复习案）
湘教版数学九年级上册第三章《锐角三角函数》复习教学设计
湘教版数学九年级上册第三章《锐角三角函数》复习教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册第三章《锐角三角函数》复习教学设计，主要是对本章的重点知识进行梳理和巩固。
本章主要内容包括正弦、余弦、正切函数的定义，以及它们的性质和应用。
通过复习，使学生能够熟练掌握锐角三角函数的概念，理解它们之间的关系，以及能够运用锐角三角函数解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了锐角三角函数的基本知识，对正弦、余弦、正切函数的定义和性质有一定的了解。
但是，部分学生对概念的理解不够深入，对函数的性质和应用掌握不扎实。
因此，在复习过程中，需要引导学生深入理解概念，巩固基础知识，提高解题能力。
三. 教学目标1.理解锐角三角函数的概念，掌握正弦、余弦、正切函数的性质。
2.能够运用锐角三角函数解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生的解题技巧。
四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的概念，正弦、余弦、正切函数的性质。
2.难点：函数性质的灵活运用，解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等教学方法，引导学生主动探究，合作学习，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 教学准备1.教学课件：制作本章复习课件，包括重点知识梳理、案例分析、练习题等。
2.教学素材：收集相关的实际问题，用于引导学生运用锐角三角函数解决实际问题。
3.学习任务单：设计学习任务单，引导学生自主学习、合作学习。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用复习课件，回顾锐角三角函数的概念和性质，引导学生进入复习状态。
2.呈现（15分钟）呈现相关的实际问题，引导学生运用锐角三角函数解决问题。
例如，设计一个测量国旗高度的问题，引导学生运用正弦函数计算。
3.操练（20分钟）让学生独立完成学习任务单中的练习题，巩固锐角三角函数的知识。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）小组合作学习，讨论如何运用锐角三角函数解决实际问题。
初三数学九下锐角三角函数所有知识点总结和常考题型练习题
锐角三角函数知识点1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角， 则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、特殊角的三角函数值5、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
6、正切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大。
1、解直角三角形的概念：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
依据：①边的关系：222c b a =+；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的概念。
2、应用举例：①仰角：视线在水平线上方的角； ②俯角：视线在水平线下方的角。
对边邻边C③坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度(坡比)。
用字母i 表示，即h i l =。
坡度一样写成1:m 的形式，如1:5i =等。
把坡面与水平面的夹角记作α(叫做坡角)，那么tan hi l α==。
④从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。
如图3，OA 、OB 、OC 、OD 的方向角别离是：45°、135°、225°。
⑤指北或指南方向线与目标方向 线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。
如图4：OA 、OB 、OC 、OD 的方向角别离是：北偏东30°（东北方向），南偏东45°（东南方向），南偏西60°（西南方向），北偏西60°（西北方向）。
锐角三角函数练习一、选择题一、把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′C ′，那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为（ ）． A ．sinA ＝sinA ′ B ． sinA ＝2sinA ′ C ．2sinA ＝sinA ′ D ．不能确信二、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AB ＝5，AC ＝4，则sinA 的值是（ ）A ． 35B ． 45C ． 34D ． 433、如图，△ABC 的极点都是正方形网格中的格点，则sin ∠BAC 等于（ ） A ．23 B ．55C ． 105D ．134、若是∠α是等腰直角三角形的一个锐角，则COS α的值是（ ）Ａ．12 Ｂ．22Ｃ．1Ｄ．25、如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，若56AC =，65AB =，则tan ∠ACD 的值为（ ）Ａ．5Ｂ．55 Ｃ．306 Ｄ．6:i h l=hlαDCBA六、计算tan 602sin 452cos30+-的结果是（ ）A ．2B．2C ．1D ．2313-．7、如图，已知等腰梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=60°，AB=10，CD=3，则此梯形的周长为（ ） A ． 25 B ． 26 C ． 27 D ． 28．8、如图，小明利用一个含60°角的直角三角板测量一栋楼的高度，已知他与楼之间的水平距离BD 为10m ，眼高AB 为 （即小明的眼睛距地面的距离），那么这栋楼的高是（ ）A ．（81035+）m B ． C ． 103m D ．103835⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭m九、如图，已知AB 是半圆O 的直径，弦AD 、BC 相交于点P ，若∠DPB=α，那么CDAB 等于（ ）A ．sin αB ．COS αC ．tan αD ．1tan α二、填空题10． 在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 别离是∠A 、∠B 、∠C 的对边，若b=3a ，则tanA= ．11． 在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝3，c ＝4，则a ＝_______．12． 如图，P 是∠α的边OA 上一点，且P 点坐标为（2，3），则sin α=______ ． 13．已知：α是锐角，tan α=724，则cos α=_______． 14．在Rt △ABC 中，两边的长别离为3和4，求最小角的正弦值为 15．tan 230°+2sin60°-tan45°·sin90°-tan60°+cos 230°=____________．16．如图，已知Rt △ABC 中，AC=3，BC= 4，过直角极点C 作CA 1⊥A B ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，如此一直做下去，取得了一组线段CA 1，A 1C 1，12C A ，…，则CA 1= ，=5554C A A C 三、解答题17、如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥AC 于D ，∠CBD=α，AB=3，•BC=4，•求tan α的值．E DC B A 第8题图 αPD CA 第9题图 αy xP(2,3)O A1八、先化简，再求值:+1，其中，tan 60x = ．1九、如图，在Rt △ABC 中，CD 、CE 别离为斜边AB 上的高和中线，BC=a ，AC=b （b＞a ），若tan ∠DCE=12，求a b 的值．20、如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，D 为CA 上一点，∠DBC=30°，DA=3，tanA 的值．2一、已知：如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为︒45，沿着坡度为︒30 的斜坡前进400米到D 处（即︒=∠30DCB ，400=CD 米），测得A 的仰角为︒60，求山的高度AB 。
2015秋冀教版数学九上26.1《锐角三角函数》ppt课件
6．(6 分)如图，在 Rt△ACB 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，
CD
BC
CD
AC
则 tan A＝___A_D____＝__A__C____，tan B＝__D_B_____＝___B_C____，tan
AD
BD
∠ACD＝___C_D____，tan ∠BCD＝___C_D____．
1．(3 分)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝ 5，BC＝1，
则 tan B＝___2_____．
2．(3 分)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为 D， 4
若 CD＝18，AD＝24，则 tan B＝___3_____．
3．(3 分)在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，tan A＝23，AC＝4，则 BC 等于(
(1)求证：AB＝DF； (2)若 AD＝10，AB＝6，求 tan ∠EDF 的值．
(1)证△EAB≌△ADF 得 AB＝DF
(2)在 Rt△ABE 中，BE＝ AE2－AB2＝8，∵△EAB≌△ADF， ∴DF＝AB＝6，AF＝EB＝8，∴EF＝AE－AF＝2，∴tan ∠EDF ＝DEFF＝13
4 3
17．(10 分)如图，已知正方形 ABCD 的边长为 2，若将线段 BD 绕点 B 旋转后，点 D 落在 CB 的延长线上的 D′处，试求 tan ∠BAD′ 的值．
2
18．(12 分)如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 边上的点，AE＝ BC，DF⊥AE，垂足为 F，连接 DE.
A．2 C. 2
B. 3 D．1
12．如图，在四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，
若 EF＝2，BC＝5，CD＝3，则 tan C 等于( B )
九年级数学下册第一章直角三角形的边角关系1_1锐角三角函数教案新版北师大版
《锐角三角函数》锐角三角函数是义务教育课程标准实验教科书（北师版）《数学》九年级下册第一章第一节内容，本章主要研究直角三角形的边角关系；本节要求经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算。
；所以本节的重点是理解tanA的数学含义和公式。
【知识与能力目标】1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系2.能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算。
【过程与方法目标】1.经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地，清晰地阐述自己的观点。
2.体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题.提高解决实际问题的能力。
3.体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神。
【情感态度价值观目标】1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲。
2.形成实事求是的态度以及独立思考的习惯。
【教学重点】理解tanA的数学含义和公式。
【教学难点】现实情境中理解tanA的数学含义，以及公式的应用。
课前准备教师准备课件、多媒体；学生准备；练习本；教学过程第一课时创设情境引入课题[问题1]在直角三角形中，知道一边和一个锐角，你能求出其他的边和角吗?从而引出课题在活动1中教师应重点关注:(1) 学生是否能从实际生活中发现并提出数学问题。
(2)学生的审美意识及对演示图片倾注的情感。
通过熟悉的物体（梯子），不仅让学生感受到生活中数学无处不在，也为后面的探究活动作好了情感准备。
梯子是日常生活常见的物体，让学生比较如何比较梯子的倾斜度，有哪些办法？“陡”或“平缓”是用来描述梯子什么的?教师通过引导学生观察、讨论，通过步步设问，引发学生思考。
定义在在Rt△ABC中，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA=∠A的对边/∠A的邻边从而引出正切的定义利用这个梯子模型引入，可以帮助学生直观理解正切的概念。
2015年河北省地区中考数学总复习课件 第34讲 锐角三角函数和解直角三角形
2．30°，45°，60°的三角函数值，如下表：
正弦 30° 45° 60° 1 __ __ 2 __ 2 __ 2 余弦 __ __ 3 __ 2 2 __ 2 正切 __ 3 __ 3
__1__ __ 3__
3 __ __ 2
1 __ __ 2
3．同角三角函数之间的关系 sin2α＋cos2α＝__1__； sinα tanα＝__ __． cosα 互余两角的三角函数关系式：(α 为锐角) sin(90°－α)＝__cosα__； cos(90°－α)＝__sinα__． 函数的增减性：(0°＜α＜90°) (1)sinα，tanα的值都随 α__增大而增大__； (2)cosα随 α__增大而减小__．
∠FAO＝∠FBP， AF AO r 2 2 和 Rt△AFO 中， ∴Rt△BFP∽Rt△AFO.∴ ＝ ＝ ＝ ，∴AF＝ FB BP 3 3 3 ∠OFA＝∠PFB， r
2 3 2 3 FB，在 Rt△FBP 中，∵PF2－PB2＝FB2，∴(PA＋AF)2－PB2＝FB2，∴( r＋ BF)2－( r)2＝ 2 3 2 18 r 18 BF 5 12 2 BF ，解得 BF＝ r，∴tan∠APB＝ ＝ ＝ ，故选 5 PB 3 5 r 2
(3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角； (4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角； (5)坡角：坡面与水平面的夹角； (6)坡度： 坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度 (或坡比)， 一般 情况下，我们用 h 表示坡的铅直高度，用 l 表示坡的水平宽度，用 h i 表示坡度，即 i＝ l ＝tanα，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面 也就越陡；
8 A. 3 m 3
B ．4 m
C．4 3 m
初中数学九年级知识点总结锐角三角函数
初中数学九年级知识点总结锐角三角函数初中数学九年级知识点总结锐角三角函数「篇一」相关的角：1、对顶角：一个角的'两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。
2、互为补角：如果两个角的和是一个平角，这两个角做互为补角。
3、互为余角：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角。
4、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。
注意：互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，而互为邻补角则要求两个角有特殊的位置关系。
角的性质1、对顶角相等。
2、同角或等角的余角相等。
3、同角或等角的补角相等。
初中数学九年级知识点总结锐角三角函数「篇二」1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
2、菱形的性质：⑴矩形具有平行四边形的一切性质;⑵菱形的四条边都相等;⑶菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
⑷菱形是轴对称图形。
提示:利用菱形的性质可证得线段相等、角相等，它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形，由此又可与勾股定理联系，可得对角线与边之间的关系，即边长的平方等于对角线一半的平方和。
3、因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。
4、因式分解要素：①结果必须是整式②结果必须是积的形式③结果是等式④因式分解与整式乘法的关系：m(a+b+c)5、公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
6、公因式确定方法：①系数是整数时取各项最大公约数。
②相同字母取最低次幂③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。
7、提取公因式步骤：①确定公因式。
②确定商式③公因式与商式写成积的形式。
8、平方根表示法：一个非负数a的平方根记作，读作正负根号a。
a叫被开方数。
9、中被开方数的取值范围：被开方数a≥010、平方根性质：①一个正数的平方根有两个，它们互为相反数。
聚焦中考陕西地区2017年中考数学总复习第四章三角形第16讲锐角三角函数和解直角三角形课件
6．(导学号 30042049)(2016·兰州)如图，一垂直于地面的灯柱AB被一钢缆CD固定 ，CD与地面成45°夹角(∠CDB＝45°)，在C点上方2米处加固另一条钢缆ED，ED 与地面成53°夹角(∠EDB＝53°)，那么钢缆ED的长度约为多少米？(结果精确到1 米，参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33)
【点评】1.审题：通过题干结合图形，第一时间锁定采用的知识点，例如：通过 题图观察是否含有已知角度数，如果含有则考虑利用锐角三角函数解题； 2．建模：由于实际问题文字阅读量较大，因此可通过题干中的关键字挖掘有效 信息，例如：方向角、仰角 、俯角都可转化为可以利用的锐角三角函数模型，距离 可转化为与三角形有关的边长；其次通过构造图形进行求解，在解直角三角形中， 构造直角三角形尤为重要，通常采用的方法是过某一点作另外一条线的垂线来构造 直角三角形； 3．求解：此过程分为三个步骤： (1)选取合适的锐角三角函数：例如，当存在“仰角”、“俯角”的字眼时，通常 可利用“tan”构造关系式求解；若存在“方向角”“距离”等字眼时，可采用“sin” 、“cos”构造关系式求解； (2)列等量关系：在锐角三角函数式求解过程中多会采用构造方程来将未知线段表 现出来，从而进行求解，此过程要特别注意各个几何量在直角三角形中所表示的意 义； (3)检验：解题完毕后，可能会存在一些较为特殊的数据，例如复杂的小数等，因 此要特别注意所求数据是否符合实际意义，同时还要注意题干中有无要求保留整数 的条件．
解：设 BD＝x 米，则 BC＝x 米，BE＝(x＋2)米，在 Rt△BDE 中， BE x＋2 x＋2 tan∠EDB＝ ＝ ，即 ≈1.33，解得 x≈6.06， DB x x ∵sin∠EDB＝ BE 8.06 ，即 0.8＝ ，解得 ED≈10， ED ED
九年级数学下册课件-28.1 锐角三角函数17-人教版
又AC=AACB
4 5
AC 4
=
BC 3
=8，
∴c点os拨A=：在直= 角，三ta角nB形= 中，=只要已知任意两
条边、或者一边和一锐角三角函数，都可根据
勾股定理求出第三边，进而求出所有锐角三角
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结
探究二：锐角三角函数能解决哪些问题？
活 动1
初步运用，简 单例求2：值如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足
（4）若sin2 A cos2 B 1
则
tan，A sin A cos B
。
重难点突 破
知识 回顾
问题 探究
课堂 小结
（1）求解三角函数基本计算，找准角的对边、邻边是 关键。 （2）在求解三角函数问题时，要灵活运用公式，将求 一个锐角的三角函数问题转化成求另外一个角的三角 函数或这个角的其他三角函数。
关系呢？ 如图，在Rt△ABC中，∠C
＝90°
sin2
A
cos
2
A
2
2
2 2
2
2 2
____
归纳ta结n A论=（（：若））0°<csoins
A A
<90°， 则 ①ta平nsiAn方_2_关__cscoionssAA2
1
系：
；
tan sin cos
知识梳理
知识 回顾
问题 探究
知识 问题 课堂 回顾 探究 小结
探究一：什么是余弦、正切、锐角三角函数？
活 动1
类比正弦，得 复出习结思论考：在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确
定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的
比就随之确定。此时，其他边之间的比是否也确定了
九年级数学《锐角三角函数》知识点总结归纳
初中九年级数学中考锐角三角函数知识点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。
222c b a =+2、如下图，在Rt △ABC 中，∠C 为直角，则∠A 的锐角三角函数为(∠A 可换成∠B)：定 义表达式取值范围关 系正弦 斜边的对边A A ∠=sin caA =sin1sin 0<<A(∠A 为锐角)B A cos sin = B A sin cos =1cos sin 22=+A A余弦 斜边的邻边A A ∠=cos c bA =cos 1cos 0<<A(∠A 为锐角)正切的邻边的对边A tan ∠∠=A A baA =tan0tan >A(∠A 为锐角)3、任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值。
4、任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。
5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0° 30°45°60°90° αsin21 2223 1)90cot(tan A A -︒= B A cot tan =B A tan cot =)90cos(sin A A -︒=)90sin(cos A A -︒=B A cos sin =B A sin cos =A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B A 对边邻边 斜边 CBb ac A 90B 90∠-︒=∠︒=∠+∠得由B Aαcos1 23 2221 0 αtan33 1 3-6、正弦、余弦的增减性：当0°≤α≤90°时，sin α随α的增大而增大，cos α随α的增大而减小。
7、正切、余切的增减性：当0°<α<90°时，tan α随α的增大而增大，8、解直角三角形的定义：已知边和角（两个，其中必有一边）→所有未知的边和角。
锐角三角函数(2015新湘教版中考总复习)
锐角三角函数（2015新湘教版中考总复习）一、复习目标：1、理解锐角三角函数的定义，掌握特殊锐角的三角函数值，并会进行计算；2、掌握直角三角形边角之间的关系，会解直角三角形；3、利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题。
二、 复习重点与难点：（一）复习重点：1、掌握特殊锐角的三角函数值，并会进行计算；2、掌握直角三角形边角之间的关系，会解直角三角形；3、利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题。
（二）复习难点：利用解直角三角形的知识解决简单的实际问题，是中考必考内容。
三、复习过程：（一）知识梳理：1、直角三角形的边角关系（如图）（1）边的关系（勾股定理）：a 2+b 2=c 2；（2）角的关系：∠A+∠B=∠C=900；（3）边角关系： ①：00901230C BC AB A ⎫∠=⎪⇒=⎬∠=⎪⎭②：锐角三角函数：∠A 的正弦=A a sin A=c∠的对边，即斜边； ∠A 的余弦=A b cos A=c∠的邻边，即斜边 , ∠A 的正切=A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边 注：三角函数值是一个比值．2、特殊角的三角函数值:3、三角函数的关系：(1) 互为余角的三角函数关系．sin （90○－A ）=cosA ， cos （90○－A ）=sin A(2) 同角的三角函数关系．①平方关系：sin 2 A+cos 2A=l②商数关系：AA A cos sin tan; 4、三角函数的大小比较：(1) 同名三角函数的大小比较：①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而增大，随角的减小而减小．②余弦是减函数．三角函数值随角的增大而减小，随角的减小而增大。
(2) 异名三角函数的大小比较：①tanA ＞SinA ，由定义，知tanA=a b ，sinA=a c ；因为b ＜c ，所以tanA ＞sinA②若0○ ＜A ＜45○，则cosA ＞sinA ；若45○＜A ＜90○，则cosA ＜sinA ，5、解直角三角形解法分类：（1）已知斜边和一个锐角解直角三角形；（2）已知一条直角边和一个锐角解直角三角形；（3）已知两边解直角三角形．6、解直角三角形的应用：（1）仰角、俯角：测量时，在视线与水平线所成的角中，规定：视线在水平线上方的叫做仰角．视线在水平线下方的叫做俯角．（2）坡度（坡比）、坡角：在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度。
中考数学专题复习第6章锐角三角函数第17讲锐角三角函数(解直角三角形)
第17讲锐角三角函数(解直角三角形）☞【基础知识归纳】☜☞归纳1. 锐角三角函数的定义:在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b，则∠A的正弦：sinA=∠A的对边斜边=ac；∠A的余弦：cosA=错误!=bc∠A的正切：tanA=∠A的对边∠A的邻边=ab；它们统称为∠A的锐角三角函数[注意] 锐角三角函数值只与角的大小有关，与边的长度无关.☞归纳2。
特殊角的三角函数值sin30°= 12； cos30°=32； tan30°=33sin45°=22； cos45°=22; tan45°= 1sin60°=32; cos60°=12; tan60°= 3☞归纳3。
解直角三角形(1）定义：在直角三角形中，除直角外，共有5个元素，即 3 条边和 2 个锐角．由这些元素中的一些已知元素，求出其它未知元素的过程叫做解直角三角形(2) 常用关系:在Rt△ABC中，∠C=90°，则：①三边关系(勾股定理)：22a b+=2c②两锐角关系（互余)：∠A＋∠B=90°③边与角关系：锐角三角函数☞归纳4。
解直角三角形的应用中的专业名词（1）仰角和俯角:在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角．．，视线在水平线下方的叫俯角．．(2)坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i=h l坡角: 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a:i=tana（3）方向角（或方位角)：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角☞【常考题型剖析】☜☺ 题型一、锐角三角函数的概念及特殊角函数值【例1】（2015崇左）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=13,BC=12,则下列三角函数表示正确的是（ )A. sinA=1213 B 。
北师大版九年级数学下册：第一章《锐角三角函数与解直角三角形复习课》教学设计
北师大版九年级数学下册：第一章《锐角三角函数与解直角三角形复习课》教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第一章主要讲述了锐角三角函数和解直角三角形的知识。
这一章内容是初高中数学的衔接部分，对于学生来说，既熟悉又陌生。
熟悉是因为他们在初中已经接触过三角函数的概念，陌生是因为他们还没有系统地学习过函数的性质和应用。
因此，本章的教学设计既要回顾初中阶段的三角函数知识，又要为学生高中阶段的进一步学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，他们掌握了初中阶段的代数、几何知识，对于三角函数有一定的了解。
但同时，他们也存在一定的问题，比如对三角函数的理解不够深入，解题技巧有待提高。
因此，在教学设计中，我们需要关注学生的个体差异，针对不同层次的学生制定合适的学习目标，并通过分层教学，使每个学生都能在原有基础上得到提高。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握锐角三角函数的定义和性质，能够运用锐角三角函数解决实际问题；2.过程与方法：通过复习课的形式，培养学生自主学习、合作探究的能力；3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于挑战、克服困难的意志。
四. 教学重难点1.重点：锐角三角函数的定义和性质；2.难点：如何运用锐角三角函数解决实际问题。
五. 教学方法本节课采用复习课的形式，以学生为主体，教师为主导。
采用自主学习、合作探究、讲解演示等多种教学方法，引导学生回顾初中阶段的三角函数知识，为他们高中阶段的进一步学习打下基础。
六. 教学准备1.教师准备：教材、PPT、黑板、粉笔等；2.学生准备：笔记本、文具、初中数学笔记等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾初中阶段的三角函数知识，如：什么是三角函数？三角函数有哪些基本性质？学生回答后，教师进行总结。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示锐角三角函数的定义和性质，让学生初步了解本节课的主要内容。
同时，教师进行讲解演示，引导学生理解并掌握锐角三角函数的概念。
中考数学总复习第四单元图形初步与三角形第17讲直角三角形与锐角三角函数课件
考法1
考法2
考法3
考法4
考法5
考法6
有关特殊角三角函数值的计算
例 4(2018 四川达州)计算:(-2)2-(π- 7)0+| 3-2|+2sin60° 解:原式=4-1+(2- 3)+2× 23, =4-1+2- 3 + 3,
=5. 方法点拨1.本题考查实数的运算、指数幂、绝对值、特殊角的 三角函数值,解答本题的关键是明确它们各自的计算方法.这是核 心素养中数学运算的基本要求. 2.特殊角的锐角三角函数值要记熟,或者把特殊角放置到直角三 角形中利用相关定理与性质直接推导计算也可; 3.a-p=������1������(a≠0,p 为正整数);a0=1(a≠0).
考法1
考法2
考法3
考法4
考法5
考法6
方法点拨求直角三角形中某锐角的三角函数值,常需利用勾股定 理求出有关边长,有时还要通过作高把非直角三角形中的边和角转 化到直角三角形中.
考法1
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考法3
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考法6
解直角三角形的实际应用
例6(2018山东烟台)汽车超速行驶是交通安全的重大隐患,为了有
效降低交通事故的发生,许多道路在事故易发路段设置了区间测速,
则AB=AD=120 m,
又∵∠CAD=30°, ∴在Rt△ADC中,
tan ∠CAD=tan 30°=������������������������ = 33, 解得:CD=40 3(m).
考法1
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考法3
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考法5
考法6
方法点拨在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的 直角边等于斜边的一半.本性质适用的大前提是“在直角三角形中”. 在题中如果有一个30°的角,而无直角时,必须依条件构造符合性质 特征的直角三角形,才能由角的大小关系,得出边的倍分关系.
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考点一
考点二
考点三
考点四
考点五
解直角三角形
1.解直角三角形 (1)解直角三角形的定义 在直角三角形中,由已知元素求出所有未知元素的过程叫做解 直角三角形. (2)解直角三角形的常用关系 ①锐角之间的关系:∠A+∠B=90°; ②三边之间的关系:a2+b2=c2; ③边角之间的关系: sin A=∠A 的对边∶斜边, cos A=∠A 的邻边∶斜边, tan A=∠A 的对边∶∠A 的邻边.
=
a .我们把∠A 的正 b
弦、余弦、正切统称为∠A 的三角函数.
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2.增减性:在 0° 到 90° 之间,正弦值、 正切值随着角度的增大而增 大,余弦值随着角度的增大而减小. 3.取值范围:当∠A 为锐角时,三角函数的取值范围是 0<sin A<1,0<cos A<1,tan A>0. 4.互余两角的函数关系:如果两角互余,则其中一角的正弦等于 另一角的余弦,即:若 α 是一个锐角,则 sin α=cos(90°-α),cos α= sin(90°-α).
★
与特殊角的三角函数值 有关的计算问题. 以实际生活为背景,以解 答题为题型,利用锐角三 角函数解决简单的实际 问题.
★★★
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考点五
直角三角形的概念
定义:有一个角是直角的三角形叫做直角三角形.
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考法6
考法7
除了根据定义判定直角三角形外,还可以利用勾股定理的逆定 理(如果一个三角形的两边平方和等于第三边的平方,那么这个三角 形是直角三角形)判定.
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考法612Fra bibliotek目标解读预测
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【例 1】
已知:如图所示,在△ABC 中,AB=AC,∠BAC=120° ,EF 为 AB 的垂 直平分线,EF 交 BC 于 F,交 AB 于 E.求证:BF=2FC. 分析:因为 BF 与 FC 不在同一三角形内,所以必须用相等的线段 进行转化.因为 EF 是 AB 的垂直平分线,所以连接 AF,可知 BF=AF, 在△ACF 中,只要证明∠C=30° ,∠CAF=90° ,再利用有一个角是 30° 的 直角三角形的性质进行证明即可.
第17课时
直角三角形与锐角三角函数
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考 点 直角三 角形的 概念 直角三 角形的 性质和 判定 勾股定 理及其 逆定理
考纲要求 了解直角 三角形的 概念. 掌握直角 三角形的 性质和判 定. 掌握勾股 定理及其 逆定理.
五年考 题统计 /
名师预测 考查频 命题角度 度 ★ 结合简单的代数运算,判断直角 三角形. 运用“直角三角形的两锐角互 余”“直角三角形的斜边的中线 是斜边的一半”等解决有关计算 或证明. 利用勾股定理,结合折叠的性质, 建立方程,求线段的长.
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勾股定理及其逆定理
1.勾股定理:直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 即若直角边为 a,b,斜边为 c,则 a2+b2=c2. 2.勾股定理的逆定理:如果一个三角形两条边的平方和等于第 三条边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
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考法2
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考法6
考法7
锐角三角函数值的求法
【例 4】如图所示,△ABC 的顶点是正方形网格的格点,则 sin A 的值为( )
1 A. 2
5 B. 5
10 C. 10
2 5 D. 5
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考法7
解析:如图所示, ∵AC⊥BC,FD⊥BC, ∴FD∥AC. ∵AF=BF,∴CD=BD, ∴AC=2FD. 分两种情况:(1)BC=8,AC=4, 由勾股定理得 AB= 82 + 42 = 80=4 5; (2)BC=8,AC=6, 由勾股定理得 AB= 82 + 62 = 100=10.故选 C. 答案:C
h
(2)仰角与俯角:仰角是向上看的视线与水平线的夹角;俯角是向 下看的视线与水平线的夹角.
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考点五
(3)方向角与方位角:指北或指南方向线与目标方向所成的小于 90° 的角叫做方向角.如北偏东 60° ,南偏东 30° ,北偏西 70° .特别地,若 目标方向线与指北或指南的方向线成 45° 的角时,有特定称谓,如西 南方向. 从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线的水平角,叫 做方位角.取值范围为 0 到 360 度,比如正东方向就是方位角为 90 度, 正西方向就是方位角为 270 度.
考点二
考点三
考点四
考点五
直角三角形的性质和判定
1.两个内角互余; 2.斜边上的中线等于斜边的一半; 3.30° 角所对的直角边等于斜边的一半; 4.有一个角是直角的三角形是直角三角形; 5.有两角互余的三角形是直角三角形; 6.如果三角形一边上的中线等于这边的一半,则该三角形是直 角三角形.
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考法7
【例 2】
在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿斜边中 点与这两点的连线剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的直角 梯形,其中三边长分别为 2,4,3,则原直角三角形纸片的斜边长是( A.10 B.4 5 C.10 或 4 5 D.10 或 2 17
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)
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1 2 1 2 1 2
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考法1
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考法6
考法7
规律总结在直角三角形中,如果一个锐角等于 30° ,那么它
所对的直角边等于斜边的一半.本性质适用的大前提是“在直角三 角形中”.在题中如果有一个 30° 的角,而无直角时,必须依条件构造 符合性质特征的直角三角形,才能由角的大小关系,得出边的倍分关 系. 请试做【考点考法集训】第 4 题.
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证明:连接 AF, ∵EF 是 AB 的垂直平分线,∴BF=AF. 在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=120° , ∴∠B=∠C= (180° -∠BAC)=30° . 又∵FB=FA,∴∠FAB=30° , ∴∠CAF=∠BAC-∠BAF=120° -30° =90° . 在△ACF 中,∠C=30° ,∠CAF=90° , ∴AF= FC,即 BF= FC.
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锐角三角函数
1.
定义:如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,BC=a,AC=b,AB=c,则 sin A =
∠������的对边 斜边
=
a ,cos c
A=
∠������的邻边 斜边
=
b ,tan c
A=
∠������的对边 ∠������的邻边
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直角三角形的性质和判定
直角三角形是一种特殊的三角形,它除了具有一般三角形的性 质外,还具有一些特殊的性质: 性质 1:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定 理). 性质 2:在直角三角形中,两个锐角互余. 性质 3:在直角三角形中,斜边上的中线等于斜边的一半.(即直 角三角形的外心位于斜边的中点) 性质 4:直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的 乘积. 性质 5:在直角三角形中,如果有一个锐角等于 30° ,那么它所对 的直角边等于斜边的一半;在直角三角形中,如果有一条直角边等于 斜边的一半,那么这条直角边所对的锐角等于 30° .
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考法7
规律总结直角三角形中线段和角之间的数量关系
(1)边:直角三角形的三边满足勾股定理,是计算线段长度的重要 工具,有时也用于证明线段相等;(2)角:直角三角形的两锐角互余,可 用来计算角的大小,也是证明角相等的重要工具;(3)斜边中线:直角 三角形斜边的中线等于斜边的一半也是几何证明或计算的重要工 具.直角三角形的判定方法主要利用定义,即证明一个角是直角.另外 还有两种方法:一是勾股定理的逆定理,即证明“a2+b2=c2”,则∠ C=90° ;二是利用“若三角形一边上的中线等于这边的一半,则这个 三角形是直角三角形”这一判定方法,但这一方法不常用. 请试做【考点考法集训】第 5 题.