第三讲 最短距离问题

一、知识梳理
第三讲 最短距离问题
几何模型 1 条件：如图， 、 是直线 同旁的两个定点．
问题：在直线 上确定一点 ，使
的值最小．
方法：作点 关于直线 的对称点 ，连结 交 于点 ，
则
几何模型 2
的值最小
条件：如图， 、 是直线 异侧的两个定点．且 A、 B 到 距离不相等
问题：在直线 上确定一点 ，使
的值最大
方法：作点 关于直线 的对称点 ，连结 交 于
点 ，则
二、方法归纳
的值最小
对于几何模型 1，近年来，除了常见的“一个动点”外，出现了“两个动点”、 “三个 动点” 等变式问题的问题，而解决此类问题的关键在于：找点关于线的对称点，实现“折” 转“直”。
对于几何模型 2，近年出现的中考题都是直接应用。
三、课堂精讲例题
（一）、题中出现一个动点。
例 1、在正方形 ABCD 中，点 E 为 BC 上一定点，且 BE=10,CE=14,P 为 BD 上一动点，求 PE+PC 最小值。 【难度分级】A 类
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〖试题来源〗经典例题 〖选题意图〗使学生掌握几何模型 1 的应用 〖解题思路〗作 关于 对称点 ,可以证明 在 上，
易求 解：作 关于 对称点
四边形 ABCD 是正方形
在 上，且
即是
的最小值
【搭配课堂训练题】
1、已知：抛物线的对称轴为 x=-1 与 轴交于
两点，与
轴交于点 其中
、
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点 P，使得 求出点 P 的坐标 【难度分级】A 类 〖试题来源〗2009 年山东济南中考真题。 〖答案〗
的周长最小．请
解：（1）由题意得 ∴此抛物线的解析式为
解得
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（2）连结 、 .因为 的长度一定，所以 小. 点关于对称轴的对称点是 点， 与对称轴
周长最小，就是使
最
的交点即为所求的点 .
设直线 的表达式为
则
解得 ∴此直线的表达式为
把
代入得
∴ 点的坐标为
例 2：已知：直线
与 轴交于 A，与 轴交于
D，抛物线
与直线交于 A、E 两点，与
（1）求抛物线的解析式；
轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为 （1，0）．
（2）在抛物线的对称轴上找一点 M，使 【难度分级】A 类 〖试题来源〗2009 眉山中考数学真题
的值最大，求出点 M 的坐标．
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〖选题意图〗使学生掌握几何模型 2 的应用 〖解题思路〗直接应用几何模型 2，由于 B 是 C 关于对称轴的对称点，所以连接 AB，则 AB 与对称轴的交点 M 即为所求。
（1）将 A（0，1）、B（1，0）坐标代入
得
解得
∴抛物线的解折式为
（2）抛物线的对称轴为
∵B、C 关于 x＝ 对称 ∴MC＝MB
要使
最大，即是使
最大
由三角形两边之差小于第三边得，当 A、B、M 在同一直线上时
的值最大
易知直线 AB 的解析式为
∴由
得
∴M（ ，－ ）
（二）、题中出现两个动点。
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例 3、如图：在△ABC 中,
,
,M、
N 分别 AB,AC 上动点,求 BN+MN+MC 最小值
【难度分级】B 类
〖试题来源〗2003 年浙江余姚中学保送生测试题
〖选题意图〗①使学生体会如何实现由“折”转“直”
②掌握双动点问题的解题方法
〖解题思路〗当题中出现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.
利用两点之间线段最短求出最值。
解:作 关于 对称点 , 关于 对称点 ,
有
(当 、 运动到 、 时等号成
立),
、
为正三角形
【搭配课堂训练题】
1、恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷
和世界级自然保护区星斗山 位于笔直的沪渝高速公路 同侧，
、到
直线 的距离分别为
和
，要在沪渝高速公路旁修建一服务区 ，向 、 两
景区运送游客．小民设计了两种方案，图 9 是方案一的示意图（ 与直线 垂直，垂足
为 ）， 到 、 的距离之和
，图 10 是方案二的示意图（点 关于直线
的对称点是 ，连接 交直线 于点 ）， 到 、 的距离之和
．
（1）求 、 ，并比较它们的大小；
（2）请你说明
的值为最小；
（3）拟建的恩施到张家界高速公路 与沪渝高速公路垂直，建立如图 11 所示的直角坐标系，
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到直线 的距离为
，请你在 旁和 旁各修建一服务区 、 ，使 、 、 、
组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．
【难度分级】B 类 〖试题来源〗2009 年湖北恩施自治州中考真题。 〖答案〗 解:⑴图 9 中过 B 作 BC⊥AP,垂足为 C,则 PC=40,又 AP=10,
∴AC=30 在 Rt△ABC 中，AB=50 AC=30 ∴BC=40
∴ BP=
S1= ⑵图 10 中，过 B 作 BC⊥AA′垂足为 C，则 A′C=50，
又 BC=40 ∴BA'= 由轴对称知：PA=PA'
∴S2=BA'=
∴﹥ (2) 如 图 10 ， 在 公 路 上 任 找 一 点 M, 连 接 MA,MB,MA'，由轴对称知 MA=MA'
∴MB+MA=MB+MA'﹥A'B ∴S2=BA'为最小 （3）如 图 12，过 A 作关于 X 轴的对称点 A', 过 B 作关于 Y 轴的对称点 B'，连接 A'B',交 X 轴于点 P, 交 Y 轴于点 Q,则 P,Q 即为所求
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