高中数学直线与椭圆的位置关系、弦长公式

那么，相交所得的弦的弦长是多少？
AB
(x1 x2 )2 ( y1 y2 )2
2(x1 x2)2
2
( x1
x2 )2
4 x1
x2
6 5
2
10
2、弦长公式
设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线P1P2的斜率为k．
11
弦长公式：
弦长的计算方法： 弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
通法
2
点与椭圆的位置关系
点
P(
x0
,
y0
)
与椭圆
x a
2 2
y2 b2
1(a
b 0) 的位置关系
点
P 在椭圆上
x2 a2
y2 b2
1 ；点
P
在椭圆内部
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2 a2
y2 b2
1
点
P 在椭圆外部
x2 a2
y2 b2
1
3
直线与椭圆的位置关系
种类: 相相离切交((没一二有个个交交点点)) 相离(没有交点) 相切(一个交点)
思考：最大的距离是多少？
9
1直线与椭圆的位置关系
练习：已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们的位置关系。
2
解：联立方程组
y x1 2
消去y
由韦达定理
x1 x1
x2 x2
4
5 1
5
5x2 4x 1 0 ----- (1)
x2+4y2=2
因为 ∆>0 所以，方程（１）有两个根， 则原方程组有两组解….
2.2.2 椭圆的简单几何性质(三)
1-----直线与椭圆的位置关系 2-----弦长公式
1
回忆：直线与圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
联立直线与圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与圆相离无公共点．
平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造 15
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 16 出中点坐标和斜率．
3、弦中点问题
例：已知椭圆
3、过椭圆 x2+2y2=146 的左焦点作倾斜角为300的直线， 则弦长 |AB|= ___5____ ,
18
小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；
2、弦长的计算方法： 弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
1
1 k2
·（y1
y2）
4 y1
y2
（适用于任何曲线）
例3：已知椭圆 x2 y2 1，直线l：4x - 5y 40 0.椭圆上 25 9
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
解得k1=25，k2 =-25
m
由图可知k 25，
l
x
直线m与椭圆的交点到直线l的距离最近。 o
且d 40 25 15 41 42 52 41
4
相交(二个交点)
直线与椭圆的位置关系的判定
代数方法
Ax+By+C=0
由方程组： x2 y2 1
a2 b2
mx2+nx+p=0（m≠ 0）
= n2-4mp
>0
方程组有两解
两个交点
相交
=0
方程组有一解
一个交点
相切
<0
方程组无解
无交点
相离 5
1直线与椭圆的位置关系
例1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两 个公共点?有一个公共点?没有公共点?
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y
最小距离是多少？ 解：
设直线m平行于l，
m
x
则l可写成：4x 5y k 0
l
o
4x 5y k 0
由方程组
x2 25
y2 9
1
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
由 0，得64k2 - 4 2（5 k2 - 225） 0
8
1直线与椭圆的位置关系
17
练习：
1、如果椭圆被
x2 36
y2 1 9
的弦被（4，2）平分，那
么这弦所在直线方程为（ D ）
A、x-2y=0 B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0
2、y=kx+1与椭圆
x2 5
y2 m
1 恰有公共点，则m的范围
（C ）
A、（0，1） B、（0，5 ）
C、[ 1，5）∪（5，+ ∞ ） D、（1，+ ∞ ）
=
1
1 k2
·（y1
y2）
4 y1
y2
（适用于任何曲线）
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2、弦长公式
例4：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
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3.若P(x,y)满足 x2 y2 1( y 0) ,求 y 3 的
4
x4
最大值、最小值.
解：
14
3、弦中点问题
例 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
当k= 6 时有一个交点 3
当k> 6 或k<- 6 时有两个交点
3
3
当- 6 k< 6 时没有交点
3
3
x2 y2
例2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线 1
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交点情况满足( D)
A.没有公共点 B.一个公共点
C.两个公共点 D.有公共点 7
1直线与椭圆的位置关系
例3：已知椭圆 x2 y2 1，直线l：4x - 5y 40 0.椭圆上 25 9
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作业
P48 练习 6、7题 P49 A组 8 题
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过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上 而过A,B两点的直线有且只有一条
解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这 一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，