流体力学第五章

(2) 实物船所受阻力 流动相似
⎛ F ⎞ ⎛ F ⎞ ⎜ 2 2⎟ =⎜ 2 2⎟ ⎜ ρl V ⎟ ⎜ ρl V ⎟ ⎠p ⎠m ⎝ ⎝
由 ρ p = ρm
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(VL) F p = Fm (VL)
2 p 2 m
= 1.28 × 106 (N )
近似模型法－其它相似
马赫相似
雷诺准则
ρVL Re = μ
惯性力与粘性力的比
Re = VL
ν
雷诺数
V为特征速度，L为特征长度 是粘性流体流动最重要的准则数 管道流动、飞行器或潜艇的阻力等
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相似准则3
弗劳德准则
Fr =
惯性力与重力的比
V gL
弗劳德数
是具有自由液面流体流动时重要的准则数 船舶运动、明渠流、液体表面波动等
量纲分析法－瑞利法1
已知圆管的阻力损失同管径d，流速v，运动粘性 已知圆管的阻力损失同管径d，流速v，运动粘性 系数ν，流体密度ρ有关，求圆管单位长度上压 系数ν，流体密度ρ有关，求圆管单位长度上压 力损失Δp/l的表达式 力损失Δp/l的表达式
确定与流动现象有关的参数
Δp l = f ( d , v , ν , ρ )
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相似准则4
欧拉准则 压力与惯性力的比
Δp Eu = ρV 2
欧拉数
压力或压差对流速分布影响较大的流动中 重要的准则数 空化效应或空蚀现象等
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相似准则5
马赫准则 惯性力与弹性力的比
v Ma = a
马赫数
可压缩流动中重要的准则数 高速流动问题
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a1 b1 c1 + a2 b2 c2 + ⋅ ⋅ ⋅ = X
α β γ α1 β1 γ1
⎡ a1α 1 b1 β 1 c1γ 1 ⎤ = ⎡ a2α 2 b2 β 2 c2γ 2 ⎤ = L = [ X ] ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
量纲分析的基础是量纲和谐原理，是一种 定性分析方法
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pm = 10 × p p = 1.013 × 106 (Pa )
(2) 计算阻力 流动相似
⎛ F ⎞ ⎛ F ⎞ ⎜ 2 2⎟ =⎜ 2 2⎟ ⎜ ρl V ⎟ ⎜ ρl V ⎟ ⎝ ⎠m ⎝ ⎠p
2
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ρ p ⎛ lm ⎞ ⎜ ⎟ Fp = ρm ⎜ l p ⎟ ⎝ ⎠
⎛ Vp ⎞ ⎜ ⎜ V ⎟ Fm = 44.48(N ) ⎟ ⎝ m⎠
第五章 相似原理与量纲分析
相似原理与量纲分析
相似原理、相似与模型实验、量纲分析
基础知识
几何相似，量纲，单位，几种力的定 义，牛顿第二定律，N-S方程
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流体力学的研究方法
理论分析
流体力学的 研究方法
实验研究 数值模拟
力学相似
实物流动
量纲分析
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模型流动 分析物理现象中的未知规律
概述
力学相似与准则数
几何相似、运动相似、动力相似 Re，Fr，Eu，Ma，We
部分相似与模型试验 量纲分析
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瑞利法、白金汉法
5.1 力学相似
模型流动与实物流动在各对应点和对应时 刻，对应物理量成一定的比例关系
几何相似
力学相似
运动相似 动力相似
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几何相似1
一般情况下 g p = gm
Vm = Vp Lm Lp
模型流动特征长度不能太小
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近似模型法－弗劳德相似4
已知某船体长122m， 航行速度15m/s，现用船模 已知某船体长122m， 航行速度15m/s，现用船模 在水池中实验船模长 3.05m 。 求船模应以多大速 在水池中实验船模长3.05m。求船模应以多大速 运动才能保证与原型相似。若测得船模运动阻力 运动才能保证与原型相似。若测得船模运动阻力 为20N，实物船所受阻力等于多少？ 为20N，实物船所受阻力等于多少？
相似准则6
韦伯准则 惯性力与表面张力的比
ρV 2 L We = σ
韦伯数
表面张力起主要作用的流动中重要准则数 小液滴、小气泡、毛细现象等
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相似准则7
斯特劳哈准则
L St = Vt
当地惯性力与 迁移惯性力的比 斯特劳哈数
非定常流动中重要的准则数 模型流动与实物流动动力相似时，必须 保证在对应点上各个准则数分别相等
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μ
MLtT量纲体系
量纲
可测量的性质
数值＋单位可以定量地描述量纲 物理量 质量 长度 时间 温度
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量纲 [M] [L] [t] [T]
单位(SI) 千克，kg 米，m 秒，s 开尔文，K
量纲和谐原理
一个正确而完整地描述物理现象的方程 式，其等式两边各项的量纲必须一致
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近似模型法1
完全相似
模型流动与实物流动的全部准则数相等 完全相似只有在模型与实物尺寸相同的情 况下才有可能实现
部分相似
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只保证起主要作用 的准则数相等
近似模型法2
保证模型流动与实物流动部分相似的方法 Re Fr Eu Ma We 粘性流动最重要的准则 存在自由表面的流动：舰船，明渠流 压力、压差起主要作用：空蚀 流体可压缩性不能忽略：高速流动 表面张力起主要作用：毛细现象等
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针对描述动力特征的量
τ1 p
p1 p
p2 p
Wp
τ2p
τ 1m
p1m
Wm
p2m
τ 2m
CF – 作用力比例系数
相似准则1
准则数
惯性力 重力 粘性力 弹性力 表面张力
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惯性力与某种力的比
− Ma
Mg
压力
du τA=μ A dy Ev A
ΔpA
σl
相似准则2
几何相似
针对描述几何形状的量
模型流动与实物流动有相似的边界形状 对应的线性尺寸成同一比例
L1 m L2 m = = L = CL L1 p L2 p
α α
CL – 线性比例系数
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几何相似2
对应的面积和体积分别成一定的比例关系
Am L2 2 = m = CL Ap L2p Vm L3 3 m = 3 = CL Vp Lp
不可压流体在水平光滑管内的流动实验
Δp Q l D T
影响因素
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Δp = f ( D, ρ , μ , V ) l
量纲分析法
试验方法：改变一个自变量，保持其余三个不变 测量压差；每个变量值需改变多次，重复实验 数据整理
Δp /l Δ p /l
Δp / l
V
ρ Δ p /l
D
tm Lm Vm = tp Lp V p
CL = = Ct CV
流体质点的加速度相似
am CV Vm tm = = Ca = ap Ct Vp t p
流线几何相似
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动力相似1
动力相似
满足几何相似 对应瞬时，对应空间点 同名力方向相同，大小 成同一比例
F1 m F2 m = = L = CF F1 p F2 p
解： (1) 风洞空气工作压强
( Re ) m = ( Re ) p
⎛ ρ lV ⎞ ⎛ ρ lV ⎞ ⎜ μ ⎟ =⎜ μ ⎟ ⎝ ⎠m ⎝ ⎠p
l p = 10l m
由题意 Vm = V p
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μ p = μm
近似模型法－雷诺相似4
ρm l p = = 10 ρ p lm
近似模型法－弗劳德相似1
弗劳德相似
明渠流、船舶运动
尺度不十分小，忽略表面张力，不考虑We， 不可压缩流体，忽略Ma 粘性影响可忽略或处在自模化状态，忽略Re 只考虑重力、压力、惯性力
( Fr ) m = ( Fr ) p
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( Eu ) m = ( Eu ) p
近似模型法－弗劳德相似2
α
α
线性尺寸成同一比例时，对应的夹角相等
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运动相似1
运动相似
满足几何相似 对应瞬时，对应空间点 流速方向相同，大小成同一比例
V1 m V2 m = = L = CV V1 p V2 p
针对描述运动状态的量
CV – 速度比例系数
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运动相似2
流体质点通过对应距离的时间相似
将所求的物理量表达成与之有关的各参量 的幂次之积形式
Δp l = Kd α v βν γ ρ δ
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量纲分析法－瑞利法2
采用量纲和谐原理求出各待定系数
[ML
−2 −2
t
] = [L] [Lt ] [L t ] [ML ]
α
−1 β 2 −1 γ
−3 δ
质量、长度、时间量纲分别一致
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近似模型法－雷诺相似1
雷诺相似
管道流动，物体绕流
无自由面，高度变化不大，可忽略Fr，We 流速不高，不可压缩流体，可忽略Ma 只考虑粘性力、压力、惯性力
( Re ) m = ( Re ) p
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( Eu ) m = ( Eu ) p
近似模型法－雷诺相似2
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力学相似－小结
几何相似
表象 前提
动力相似
表象
前提
主导
运动相似
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相似性质1
两种相似流动属于同一类流动现象，应 为相同的微分方程组描述 连续方程 动量方程－Navier-Stokes方程 能量方程 状态方程 两个流动现象相似，单值条件必须相似
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2
近似模型法－雷诺相似5
( Re ) m = ( Re ) p
⎛ ρ lV ⎞ ⎛ ρ lV ⎞ ⎜ μ ⎟ =⎜ μ ⎟ ⎝ ⎠m ⎝ ⎠p
若选取密度相同的同种流体，有
ρ m = ρ p , μm = μ p
此时，模型流动的特征长度不能太小，模 型流动的特征速度不能太大
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Fr数和Eu数，只有一个是决定性准则
(惯来自百度文库力)p
(压力)p
(惯性力)m (压力)m
α
(重力)p
α
(重力)m
控制方程组相同，单值条件相似 仅保证两种流动对应的弗劳德数相等
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近似模型法－弗劳德相似3
( Fr ) m = ( Fr ) p
⎛ V ⎞ ⎛ V ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ gL ⎠ m ⎝ gL ⎠ p
相似性质2
几何条件 物性条件 边界条件 初始条件 流动空间几何形状和尺寸 流体密度、粘性等 流场边界上物理量分布 非定常问题初始时刻流场 中各点物理量分布
两种相似的物理现象，对应的准则数相等
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5.2 相似与模型实验
根据单值条件相似和相似准则数相等的 原则设计模型，选择模型流动介质 应测定各相似准则数中包含的所有物理 量，并将其整理成相似准则数 找出相似准则数之间的关系，即准则方 程式，并推广应用到原型流动中
解： (1) 船模速度
( Fr ) m = ( Fr ) p
⎛ V ⎞ ⎛ V ⎞ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ gL ⎠ m ⎝ gL ⎠ p ⎝ l p = 122m
由题意 V p = 15m/s
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l m = 3.05m
近似模型法－弗劳德相似5
由 g p = gm
Vm = V p Lm Lp = 2.37(m/s )
Re数和Eu数，只有一个是决定性准则
(惯性力)p
(压力)p
(惯性力)m (压力)m
α
(粘性力)p
α
(粘性力)m
控制方程组相同，单值条件相似 仅保证两种流动对应的雷诺数相等
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近似模型法－雷诺相似3
飞机实际飞行速度80m/s ，大气压强101.3kPa， 飞机实际飞行速度80m/s，大气压强101.3kPa， CL=1:10。在风洞中进行模型实验，取Vm = Vpp， CL=1:10。在风洞中进行模型实验，取Vm = V ， Tm = Tpp 。求：(1) 风洞空气工作压强；(2) 如果 Tm = T 。求：(1) 风洞空气工作压强；(2) 如果 测得模型阻力4.448N，求实际飞行阻力。 测得模型阻力4.448N，求实际飞行阻力。
( Ma ) m = ( Ma ) p
可压缩流动
⎛V ⎞ = ⎛V ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ a ⎠m ⎝ a ⎠ p
欧拉相似
压差起主要作用
⎛ p ⎞ ⎛ p ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ρV 2 ⎟ = ⎜ ρV 2 ⎟ ⎠p ⎠m ⎝ ⎝
(Eu )m = (Eu ) p
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5.3 量纲分析法
[M] [ L] [t ]
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δ =1
α + β + 2γ − 3δ = −2
− β − γ = −2
量纲分析法－瑞利法3
取 γ 作为参变量
α = −1 − γ , β = 2 − γ , δ = 1
Δp = Kd −1−γ v 2−γ ν γ ρ l Δp ρv ⎛ ν ⎞ =K ⎜ ⎟ l d ⎝ dv ⎠