苏教版数学高二- 选修2-1学案 2.6曲线与方程

2.6曲线与方程

课时目标

1.结合实例，了解曲线与方程的对应关系.

2.了解求曲线方程的步骤.

3.会求简单曲线的方程．

1．在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：

(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；

(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么这个方程叫做______________；这条曲线叫做________________．

2．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，点P的坐标是(x0，y0)，则①点P在曲线C上

⇔____________；②点P不在曲线C上⇔____________.

3．求曲线方程的一般步骤

(1)建立适当的坐标系，用有序实数对________表示曲线上任意一点M的坐标；

(2)写出适合条件p的点M的集合P＝__________；

(3)用________表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；

(4)化方程f(x，y)＝0为最简形式；

(5)说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．

一、选择题

1．方程x＋|y－1|＝0表示的曲线是()

2．已知直线l的方程是f(x，y)＝0，点M(x0，y0)不在l上，则方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的曲线是()

A．直线l B．与l垂直的一条直线

C．与l平行的一条直线D．与l平行的两条直线

3．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是()

A ．y ＝x 与y 2＝x

B ．y ＝x 与x

y ＝1

C ．y 2－x 2＝0与|y|＝|x|

D ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x

4．已知点A(－2,0)，B(2,0)，C(0,3)，则△ABC 底边AB 的中线的方程是( ) A ．x ＝0 B ．x ＝0(0≤y≤3) C ．y ＝0 D ．y ＝0(0≤x≤2)

5．在第四象限内，到原点的距离等于2的点的轨迹方程是( ) A ．x 2＋y 2＝4 B ．x 2＋y 2＝4 (x>0) C ．y ＝－4－x 2 D ．y ＝－4－x 2 (0

6．如果曲线C 上的点的坐标满足方程F(x ，y)＝0，则下列说法正确的是( ) A ．曲线C 的方程是F(x ，y)＝0 B ．方程F(x ，y)＝0的曲线是C

C ．坐标不满足方程F(x ，y)＝0的点都不在曲线C 上

D ．坐标满足方程F(x ，y)＝0的点都在曲线C 上

二、填空题

7．若方程ax 2＋by ＝4的曲线经过点A(0,2)和B ⎝⎛⎭⎫1

2，3，则a ＝________，b ＝________. 8．到直线4x ＋3y －5＝0的距离为1的点的轨迹方程为 ______________________________．

9．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P 满足|PA|＝3|PO|，则点P 的轨迹方程是________________．

三、解答题

10．已知平面上两个定点A ，B 之间的距离为2a ，点M 到A ，B 两点的距离之比为2∶1，求动点M 的轨迹方程．

11．动点M 在曲线x 2＋y 2＝1上移动，M 和定点B(3,0)连线的中点为P ，求P 点的轨迹方程．

能力提升

12．若直线y ＝x ＋b 与曲线y ＝3－4x －x 2有公共点，则b 的取值范围是( ) A.[]－1，1＋22 B.[]1－22，1＋22 C.[]1－22，3 D.[]1－2，3

1．曲线C的方程是f(x，y)＝0要具备两个条件：①曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解；②以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上．

2．求曲线的方程时，要将所求点的坐标设成(x，y)，所得方程会随坐标系的不同而不同．

3．方程化简过程中如果破坏了同解性，就需要剔除不属于轨迹上的点，找回属于轨迹而遗漏的点．求轨迹时需要说明所表示的是什么曲线，求轨迹方程则不必说明．

2.6曲线与方程

知识梳理

1．(2)曲线的方程方程的曲线

2．①f(x0，y0)＝0②f(x0，y0)≠0

3．(1)(x，y)(2){M|p(M)}(3)坐标

作业设计

1．B[可以利用特殊值法来选出答案，如曲线过点(－1,0)，(－1,2)两点．]

2．C[方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示过点M(x0，y0)且和直线l平行的一条直线．故选C.]

3．C

4．B[直接法求解，注意△ABC底边AB的中线是线段，而不是直线．]

5．D

6．C[直接法：

原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线C上的点，则M点的坐标适合方程F(x，y)＝0”，其逆否命题是“若M点的坐标不适合方程F(x，y)＝0，则M点不在曲线C上”，此即说法C.

特值方法：作如图所示的曲线C，考查C与方程F(x ，y)＝x2－1＝0的关系，显然A、B、D中的说法都不正确．]

7．16－83 2

8．4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0

解析设动点坐标为(x，y)，则

|4x＋3y－5|

5＝1，

即|4x＋3y－5|＝5.

∴所求轨迹方程为4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0.

9．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0

10．解

以两个定点A，B所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图所示)．

由于|AB|＝2a，

则设A(－a,0)，B(a,0)，

动点M(x，y)．

因为|MA|∶|MB|＝2∶1，

所以x＋a2＋y2∶x－a2＋y2＝2∶1，

即x＋a2＋y2＝2x－a2＋y2，

化简得⎝⎛⎭⎫

x－

5a

32＋y2＝

16

9a

2.

所以所求动点M的轨迹方程为

⎝

⎛

⎭

⎫

x－

5a

32＋y2＝

16

9a

2.

11．解设P(x，y)，M(x0，y0)，∵P为MB的中点，

∴

⎩

⎨

⎧x＝x0＋3

2

y＝

y0

2

，即

⎩⎪

⎨

⎪⎧x0＝2x－3

y0＝2y

，

又∵M在曲线x2＋y2＝1上，∴(2x－3)2＋4y2＝1.

∴点P的轨迹方程为(2x－3)2＋4y2＝1.

12．C[曲线方程可化简为(x－2)2＋(y－3)2＝4 (1≤y≤3)，即表示圆心为(2,3)，半径为2的半圆，依据数形结合，当直线y＝x＋b与此半圆相切时须满足圆心(2,3)到直线y＝x＋b的