浙江省杭州市重点高中高考数学4月命题比赛参赛试题6

浙江省杭州市重点高中2013届高考数学4月命题比赛参赛试题6
试卷命题双向细目表
知识内容选择题填空题解答题考查
内容
总
分
值
难度
系数题
次
分
值
题
次
分
值
题
次
分
值
集合、简易
逻辑2，310集合的运算
充分必要条
件
100.9+0.
7
不等式85164基本不等式
线性规划90.6+0.
7
函数与方程75144函数图像性
质90.7+0.
6
导数及应
用
2115
求导及应用150.4
三角函数951814图像与性质
解三角形
1
9
0.6+0.
7
平面向量174基向量思想
向量几何意
义
40.6
数列1141914等比等差数
列
数列求和180.95
+.0.
6
立体几何5，6102014三视图、线面
位置、线面角
240.7+0.
6
+0.6
解析几何1051542215直线与圆锥
曲线
240.6+
0.7+0.
5
概率与统计 4 5 13 4 概率，统计 9 0.9 算法初步 12 4 程序框图 4 0.8 复数
1
5
复数概念
5
0.95
小结 10题
50分
7题 28分
5题 72分
高中数学 150
0.7
浙江省2013年高考模拟试卷文科数学测试卷 （本卷满分150分 考试时间120分钟 ）
选择题部分 (共50分)
参考公式： 球的表面积公式 柱体的体积公式 S =4πR 2
V =Sh
球的体积公式 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 V =34
πR 3 台体的体积公式
其中R 表示球的半径
V =3
1
h (S 1+21S S +S 2) 锥体的体积公式 其中S 1, S 2分别表示台体的上、下底面积，
V =3
1Sh h 表示台体的高 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 如果事件A ，B 互斥，那么 P (A +B )=P (A )+P (B )
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。

1、已知i 是虚数单位，若1
122
,,z z a i z a i z =+=-若为纯虚数，则实数a = ( ) A ．-1
B ．0
C ．1
D ．1或-l
2、（原题）若集合{
}0
342
<+-=x x x A ,
{}21≤<=x x B ，则A B ⋂为
( )
A ．{|13}x x <<
B ．{|12}x x <≤
C ．{|23}x x ≤<
D ．{|1}x x >
（改编）已知集合12
{||2|1},log (1)P x x y x =-<=
-函数的定义城为Q ，则
Q P I =( )
A ．{|13}x x <<
B ．{|12}x x <≤
C ．{|23}x x ≤<
D ．{|1}x x >
3、（原题）
是“
”的 （ ）
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件
（改编）已知,αβ为三角形内角，则“αβ>”是“sin sin αβ>”的
（
）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
4、（原题）抛掷一枚骰子两次，两次的点数之和是奇数的概率为 （ ） A ．
6
1 B ．
12
C ．
13
D ．
14
（改编）在6瓶饮料中，有2瓶已过了保质期。

从这6瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶
已
过
保
质
期
饮
料
概
率
为
（ ）
A ．369
B ．259
C ．258
D ．36
10
5、（原题）已知m ,n ，l 为三条不同的直线，α,β为两个不同的平面，则下列命题中
正确
的
个
数
有
( )
①α∥,l l βαβ⊥⇒⊥ ②l l ⇒⊥⊥βαβ,∥α ③,//m m n n αα⊥⊥⇒ ④//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒ A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
（改编）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ为三个不同的平面，则下列命题正
确
的
是
（ ） A.若m ∥n ，m
α，则n ∥α； B.若m ∥n ，m α，n β，则α∥β；
C.若α⊥γ，α⊥β，则β∥γ；
D. 若m ∥n ，m ⊥α，n ⊥β，则α∥β. 6、（原题）把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起形成直二面角C BD A --，
三棱锥ABD C -体积为________
（改编）把边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折起形成三棱锥C ABD －的主视图与
俯
视
图
如
图
所
示
，
则
左
视图
的面
积
为
（ ） A ．14 B ．12
C ．
1
6 D ．18
7、函数x
x x f π
-
=2sin )(存在零点的区间为 ( )
A ．(0,1)
B ．(1,2)
C ． (2,3)
D ．(3,4) 8、(原题))1
(21sin x
x +=
α，则α的值为 （ ）
A ．Z k k ∈,2π
B ．Z k k ∈,π
C ．()Z k k ∈+,12π
D ．Z k k ∈+
,2
π
π
（改编）若⎪⎭
⎫
⎝⎛+=
x x ln 1ln 21cos α，则α的值为 （ ）
A ．Z k k ∈,2π
B ．Z k k ∈,π
C ．()Z k k ∈+,12π
D ．Z k k ∈+,2
π
π
9、（原题）已知函数
)(,.20,0,),3sin()(x f y A R x x A x f =<<>∈+=π
ϕϕπ，
的部分图像，如图所示，Q P ,分别为该图像的最高点和最低
点，点P 的坐标为()A ,1.求()f x 的最小正周期及ϕ的值；
（改编）已知函数()cos()(0,00,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为奇函数，该函数的部
分图象如图所示，△EFG 是边长为2的等边三角形，则(1)f 的值为 （ ） A ．3B ．6-
1
1
主视图
1
1
俯视图
O
P
y
Q
x
O F
G E
x
y 第9题图
C
D
．10、（原题）如图，F 1，F 2是双曲线C ：22
221x y a b
-=(a ＞0，b ＞
0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | :| AF 2|＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为_____
（改编）如图，1F 、2F 是双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、
右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右2个分支分别交于点A 、
B .若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A. 4
B. 7
C. 3
3
2 D. 3
非选择题部分 (共100分)
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，满分28分。

11、在等差数列{}n a 中，若120201320112009200720052003=+++++a a a a a a ，则
202820132a a -的值为_________
12、（引用）右面的程序框图输出的数值为_________ 13、（引用）某公司有职工2000名，从中随机抽取200名调查他们的居住地与上班工作地的距离，其中不超过1000米的共有10人，不超过2000米的共有30人，由此估计该公司所有职工中，居住地到上班地距离在(]1000,2000米的有 人。

14、(原题) 设奇函数2
()()6(0)f x f x x x x =+-≥满足，则满足0)(log 2
1>x f 的x 的取值范围是_________
（改编）已知)(x f 是偶函数，当0>x 时，其导函数0)('<x f ，则满足
)3
1
()4(--=x x f x f 的所有x 之和为
_________
15、（原题）若直线20ax by -+=0(>a ，)0>b 被圆
第12题图
222410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则 （ ）
A.22=+b a
B. 22-=+b a
C. 22=-b a
D. 22=-b a
（改编）若直线20ax by -+=0(>a ，)0>b 被圆2
2
2410x y x y ++-+=截得的弦长为4，则
11
a b
+的最小值为 16、（原题）平面直角坐标系中，不等式组
所表示的平面区域的面积为 （改编）平面直角坐标系中，若不等式组
(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为
17、(原题)G ABC 中，∆为三角形外心，
延长CG 交AB 与D ,
若
GB
y GA x GC +=,则 （ ）
A.10<+<y x
B. 1>+y x
C. 1-<+y x
D.
01<+<-y x
（改编）如图，AB 是圆O 的直径，C 、D 是圆O 上的点，
∠CBA=60°，∠ABD=45°CD xOA yBC =+u u u r u u u r u u u r
，则=+y x _______
三、解答题：本大题共5小题，满分72分。

解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。

18．（本小题满分14分） （原题）（1）设函数()sin cos f x m x x =+()x R ∈
求()
y f x =的解析式，并求函数的最小正周期和单调递增区间 （2）锐角中，ABC ∆角
A,B,C
所对的边分足
A c C a cos 3sin =,2=c ，求ABC ∆面积的最大值。

⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≤-≥-+,012,
01,01y x x y x ⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+-≤-≥-+,01,01,01y ax x y x A
B
第17题图
（改编）设函数()sin cos f x m x x =+()x R ∈的图象经过点π2
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，1． （Ⅰ）求()y f x =的解析式，并求函数的最小正周期和单调递增区间
（Ⅱ）若(
)12
f A π
=，其中A
是面积为
2
的锐角ABC ∆的内角，且2AB =， 求AC 和BC 的长．
19.（本小题满分14分） （原题）已知函数213(),{},22
n f x x x a =
+n 数列的前n 项和为S 点(),n n S （*
n N ∈）均在函数()y f x =的图象上。

（1）求数列{}n a 的通项公式n
a ； （2）令1,2n
n n a b -=求数列{}n n b n T 的前项和； （3）令11,n n n n n a a c a a ++=+证明：121
222
n c c n <++<+n …+c ．
（改编）设数列
{}
n
a 的前n 项和为n S ，已知12a =，28a =，
()11452n n n S S S n +-+=≥，n T 是数列{}2n a log 的前n 项和.
（1）求数列{}
n a 的通项公式；
（2）求n T ； （3）求满足231111010
1112013n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-
-⋅⋅-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭L 的最大正整数n 的值.
20．（本小题满分14分）
(原题) 已知正方形ABCD 的边长为
22，将ABC ∆沿对角线AC 折起，使平面
ABC ⊥平面ACD ，得到如图所示的三棱锥B ACD -．若O 为AC 边的中点，M ，N 分别为线段DC ，BO 上的动点（不包括端点），且BN CM =.设BN x =，则三棱锥N AMC
-的体积()y f x =的函数图象大致是（ ）
（改编）边长为2的菱形ABCD 中，︒
=∠60A ，沿BD 折成直二面角， 过点A 作PA ⊥平面ABC ，且23AP = （Ⅰ）求证： //PA 平面DBC ；
（Ⅱ）求直线PC 与平面DBC 所成角的大小．
P
D
B
A
C
A
C B
D
21.（本小题满分15分）
（原题）已知函数32,1,
()ln , 1.x x x f x a x x ⎧-+<=⎨≥⎩
（Ⅰ）求()f x 在[1,]e -（e 为自然对数的底数）上的最大值；
（Ⅱ）对任意给定的正实数a ，曲线()y f x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ 是以O 为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？ （改编）已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(2
3
=++-=． (Ⅰ)若)(x f 在⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡-
∈1,21x 上的最大值为83，求实数b 的值；
(Ⅱ)若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2
++-≥恒成立，求实数a 的取值范围； (III)在(Ⅰ)的条件下，设()()⎩⎨
⎧≥<=1
,1
,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y =
上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．
22.（本小题满分15分）
（原题）如图，设点2
2
13
(,):(1)4
P m n C x y ++=
是圆上的动点，过点P 作抛物线2
2:(0)C x ty t =>的两条切线，切点分别是A 、B 。

已知圆
第22题图
C 1的圆心M 在抛物线C 2的准线上。

（I ）求t 的值；
（Ⅱ）求PA PB ⋅u u u r u u u r
的最小值，以及取得最小值时点P 的坐标。

（改编）已知抛物线)0(2:2
>=p py x C 的焦点为2
,
0(p
F ，准线为l ，点))(,(00p y y x P o >为抛物线C 上的一点，且FOP ∆的外接圆圆心到准线的距离为2
3
.
（I ）求抛物线C 的方程；
（II ）若圆F 的方程为1)1(2
2
=-+y x ，过点P 作圆F 的2条切线分别交x 轴于点N M ,，
求PMN ∆面积的最小值及此事0y 的值.
2013年高考模拟试卷 数学卷（文科）
答题卷
一、选择题: 本大题共10小题, 每小题5分, 共50分。

在每小题给出的四个选项中, 只有
二、填空题: 本大题共7小题, 每小题4分, 共28分。

11 ______ __ 12 ___ _____. 13_____ ___ 14_____ ___.
15______ __. 16___ _. _ __. 17________.
三、解答题: 本大题共5小题, 共72分。

解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。

18．（本小题14分） （改编）设函数()sin cos f x m x x =+()x R ∈的图象经过点π
2
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，1． （Ⅰ）求()y f x =的解析式，并求函数的最小正周期和单调递增区间
（Ⅱ）若(
)12
f A π
=，其中A ABC ∆的内角，且2AB =， 求AC 和BC 的长．
19．（本小题14分） （改编）设数列
{}
n
a 的前n 项和为n S ，已知12a =，28a =，
()11452n n n S S S n +-+=≥，n T 是数列{}2n a log 的前n 项和.
（1）求数列{}
n a 的通项公式；
（2）求n T ； （3）求满足231111010
1112013n T T T ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-
-⋅⋅-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭L 的最大正整数n 的值.
20．（本小题14分）
（改编）边长为2的菱形ABCD 中，︒
=∠60A ，沿BD 折成直二面角， 过点A 作PA ⊥平面ABC
，且AP = （Ⅰ）求证： //PA 平面DBC ；
（Ⅱ）求直线PC 与平面DBC 所成角的大小．
21.（本小题15分）
（改编）已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(2
3
=++-=． (Ⅰ)若)(x f 在⎪⎭
⎫
⎢⎣⎡-
∈1,21x 上的最大值为83，求实数b 的值；
(Ⅱ)若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2
++-≥恒成立，求实数a 的取值范围；
(III)在(Ⅰ)的条件下，设()()⎩
⎨⎧≥<=1,1
,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y =
P
D
B
A
C
A
C B D
第22题图
上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．
22.（本题满分15分）
（改编）已知抛物线)0(2:2
>=p py x C 的焦点为2
,
0(p
F ，准线为l ，点))(,(00p y y x P o >为抛物线C 上的一点，且FOP ∆的外接圆圆心到准线的距离为2
3
.
（I ）求抛物线C 的方程；
（II ）若圆F 的方程为1)1(2
2
=-+y x ，过点P 作圆F 的2条切线分别交x 轴于点N M ,，
年高考模拟试卷文科数学参考答案及评分标准
1 2
3
4
5
6
7
8
9
10 D
B C B C A D B D
C
二、填空题（每题4分）
11、______20_____________ 12、____126_____________13、_____200_____________
14、__6 _ 15、____
3
22
+、____3_______17、__3三、解答题 （本大题有5小题, 共72分）
18．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）Q 函数()sin cos f x m x x =+()x R ∈的图象经过点π
2
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，1
sin
cos
12
2
m π
π
∴+= 1m ∴= ………….2分
()sin cos )4f x x x x π
∴=+=+ …………………….4分
∴函数的最小正周期2T π= …………………….5分
由222
4
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
可得322444
k x k πππππ-
≤+≤+
∴()y f x =的调递增区间为3[2,2]()44
k k k Z ππ
ππ-
+∈………………7分
（Ⅱ）因为()12f A π= 即()123
f A ππ
==
∴sin sin
3
A π
= …………………9分
∵A 是面积为
2的锐角ABC ∆的内角，∴3
A π
= ………………….10分 1
sin 2ABC S AB AC A ∆=
=Q g 3AC ∴= …………………….12分 由余弦定理得：2
2
2
2cos 7BC AC AB AB AC A =+-⋅⋅= …………………….14分
19.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）∵当2n ≥时，1145n n n S S S +-+=，
∴()
114n n n n S S S S +--=-. ……………1分 ∴14n n a a +=. ……………2分 ∵12a =，28a =，
∴214a a =. ……………3分
∴数列{}
n a 是以12a =为首项，公比为4的等比数列. ∴1
2124
2n n n a --=⋅=. ……………4分
（Ⅱ）由（1）得：21
222
21n n a n log log -==-， ……………5分
∴21222n n T a a a log log log =+++L
P
C
()
1321n =+++-L ……………6分
()
1212
n n +-=
……………7分
2
n = . ……………8分 （Ⅲ）23111111n T T T ⎛⎫⎛⎫
⎛⎫-
-⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭L 22211111123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=--⋅⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭L ……………9分
22222222
2131411
234n n ----=⋅⋅⋅⋅L ()()
2222
132********n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-+=
⋅⋅⋅⋅L L ……………10分
1
2n n
+=
. ……………11分 令
12n n
+1010
2013>，解得：42877n <. ……………13分 故满足条件的最大正整数n 的值为287. ……………14分
20．（本小题满分14分）
（Ⅰ）取BD 的中点O ，连接CO ，则BD CO ⊥． …………（1分）
又∵平面DBC ⊥平面ABD ，平面DBC I 平面ABD BD =，
∴⊥CO 平面ABD ． ……………………………………（3分） 而AP ⊥平面ABD ，∴PA CO //． ……………………（4分） 又∵CO 在平面DBC 内，PA DBC ⊄平面∴//PA 平面DBC ． …（7分） （Ⅱ）∵PA CO //，∴OAPC 四点共面．连接AO 并延长交PD 延长线为H ．
∵平面DBC ⊥平面ABD ，平面DBC I 平面ABD BD =，
BD AH ⊥，
∴AH ⊥平面BCD ，∴直线CO 即直线PH 在 平面BCD 内的射影．
∴HCO ∠即直线PH 平面BCD
所成的角． ………………（10分）
∵PA OC 2
1
=，∴PAH OC ∆是的中位线．
∴OH OA ==
又∵3=
OC ，∴ 1tan =∠HCO
∴︒
=∠45HCO
……………………………………（13分）
因此直线PC 与平面DBC 所成角为45o
……………………………………（14分）
21.（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）由b x x x f ++-=23)(，得)23(23)(2
--=+-='x x x x x f ，
令0)(='x f ，得0=x 或
3
2
． 当x 变化时，)(x f '及)(x f 的变化如下表：
由b f +=-8)2(，b f +=27)3(，)3
()2(f f >-∴，
即最大值为8
3
83)21(=+=-b f ，0=∴b ．
……………4分
（Ⅱ）由x a x x g )2()(2
++-≥，得x x a x x 2)ln (2
-≤-．
x x e x ≤≤∴∈1ln ],,1[Θ，且等号不能同时取，x x <∴ln ，即0ln >-x x x
x x x a ln 22--≤∴恒成立，即min 2)ln 2(
x x x
x a --≤． ……………6分
令]),1[(,ln 2)(2e x x x x x x t ∈--=，求导得，2
)
ln ()
ln 22)(1()(x x x x x x t --+-='， 当],1[e x ∈时，0ln 22,1ln 0,01>-+≤≤≥-x x x x ，从而0)(≥'x t ，
)(x t ∴在],1[e 上为增函数，1)1()(min -==∴t x t ，1-≤∴a ．
……………
8分
（Ⅲ）由条件，⎩⎨⎧+-=,
ln ,)(23x a x x x F 11
≥<x x ，
假设曲线)(x F y =上存在两点P ，Q 满足题意，则P ，Q 只能在y 轴两侧， 不妨设)0))((,(>t t F t P ，则),(2
3
t t t Q +-，且1≠t ．
POQ ∆Θ是以O 为直角顶点的直角三角形，0=⋅∴， 0))((232=++-∴t t t F t )(*⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，
是否存在P ，Q 等价于方程)(*在0>t 且1≠t 时是否有解． ……………10分
①若10<<t 时，方程)(*为()()
232320t t t t t -+-++=，化简得4210t t -+=，此方程无解；
②若1>t 时，方程)(*为()
232ln 0t a t t t -+⋅+=，即
()1
1ln t t a
=+， 设()()()1ln 1h t t t t =+>，则()1
ln 1h t t t '=++，
显然，当1t >时，()0h t '>， 即()h t 在()1,+∞上为增函数，
()h t ∴的值域为()()1,h +∞，即()0,+∞，∴当0a >时，方程()*总有解．
∴对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y = 上总存在两点P ，Q ，
使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上． ……15分
22.（本小题满分15分）
解：（I ）FOP ∆的外接圆的圆心在直线OF ，
FP 的交点上，且直线OF 的中垂线为直线2
p
y =，则圆心的纵坐标为
2
p
…………………………………………………………………1分 故到准线的距离为2
3
42=+p p ………………………………………2分
从而p=2，即C 的方程为
.42y x =………………………………………………4分
（II ）设过点P 斜率存在的直线为)(00x x k y y -=-，则点F(0，1)到直线的距离
1
12
0+--=
k kx y d 。

…………………………………………6分
令d=1，则
11
12
00=+--k kx y ，
所以02)1(2)1(02000220
=-+---y y k y x k x 。

…………………………………8分 设2条切线PM ，PN 的斜率分别为21,k k ，则
1)1(2200021--=+x y x k k ，1
22
00
2
021--=x y y k k ， 且直线PM ：)(010x x k y y -=-，直线PN ：)(020x x k y y -=-，故
)0,(100k y x M -
，)0,(2
00k y
x N -………………………………9分 因此
2
02
00212
12210212101020)2(484)(-+=
-+=-=-=y y y k k k k k k y k k k k y k y k y MN 所以2
0200200)
2()
2(2
1
-+==∆y y y y y MN S PMN
………………………11分 设2
22)2()
2()(-+=t t t t t f ，则
)0(,)
2()
63(2)("3
22>--+-=t t t t t t f ……………… 12分 令0632
=--t t
，则2
33
3)(2333+=-=
t t 或舍。

)(t f 在)2
33
32(+，
上单点递减，在），（∞++2333上单调递增，因此 )2
33
3(
)(min +=f t f ………………………………13分 从而
33105416
33
9)2333(
][min ++=+=
∆f S PMN ，
此时2
33
30+=y .……………………………………………………………15分。