初中-数学-综合版-函数及其图像-正比例函数2
人教版九年级数学上册二次函数的图像与性质
【a<0】 x<0，即在对称轴的左侧，y随x的增大而增大 X>0，即在对称轴的右侧，y随x的增大而减小
ax2 a<0
图像与性质 (y=ax2)
y ax2
x O a>0
y O
x
二次函数
最值： 【a>0】 二次函数有最小值，即当x=0时，y最小值=0，此时最 低点为（0，0）
）
A．-6 或1 B.-3或2 或-1 或-2
【练习1】已知二次函数y=7x2+13x+9,求此二次函数图象的顶点坐 标__________ _
二次函数
图像与性质 一般式
【练习2】如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象的一部分，对称轴是 直线x=1. 以下四个判断：①b2>4ac；②4a-2b+c<0；③不等式 ax2+bx+c>0的解集是x>2；④若（ -1 ，y1），（5，y2）是抛物线 上的两点，则y1＜y2。其中正确的是（ ）
x>-b/2a，即在对称轴的右侧，y随x的增大而增大
是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。 二次函数有最大值，即当x=0时，y最大值=0，此时最高点为（0，0）
x<0，即在对称轴的左侧，y随x的增大而减小
对称轴：直线x=h(y轴)
【练习】已知函数y=（m﹣2）xm2+m-4 ﹣2是关于x的二次函数，则m=_____．
x=h
a<0
图像与性质
y x=h
x O a>0
八年级数学正比例函数2(20201109203732)
专题4:函数的表示法
专题5:生活中的函数
活动专题1
函数的概念
所需课时2课时
活动专题1概述（对专题内容进行简要的概述，并可附上相应的思维导图）
在现实生活中，有各种各样的数量问题，一个问题中常有处于变化状态的多个数量，而且这些数量之间相 互联系、相互影响。如空中一定范围内的气温随着距地面高度的增加而逐渐降低，而且也有一定的规律 世界上的事物是处在运动变化之中的，对数量问题的研究，也要用运动、变化的观点，从把握相关数量之 间的关系及其变化发展过程着眼进行探索，基于这样的认识，形成了最初的函数概念及其思想方法。
主题或
单元标题
正比例函数和反比例函数
学科领域（（在内打2表示主属学科，打+表示相关学科）
思想品德
音乐
+化学
信息技术
语文2数学体育
美术外语+物理
生物历史地理
劳动与技术科学社会实践
社区服务
其他（请列岀）：
适用年级
初二
所需时间
10课时
主题学习概述（对主题内容进行简要的概述，并可附上相应的思维导图）
函数是数学中重要的基本概念之一，它是从显示世界中抽象岀来的，是从数量关系的角度刻画事物运动变 化规律的工具；函数知识渗透在中学教学的许多内容之中，它又与物理、化学等学科的知识密切相关。
所需教学材料和资源（在此列岀学习过程中所需的各种支持资源）
信息化资源
多媒体演示设备
常规资源
直尺、三角尺、方格纸
教学支撑环境
多媒体教室
其他
学习活动设计（针 对该专题所选择 的活动形式及过
程）
步骤1:观察图片1和数据1，提岀有关长度的问题进行讨论，引入变量与常量的概念 步骤2:学生讨论，教师明确变量和常量的概念，区分变量与常量时要具体分析，辨证 的认识
正比例函数及图像
x
，正比例系数为
y=2x，正比例系数为2
y=-1.5x，正比例系数为-1.5 y=-4x，正比例系数为-4
• 2.画函数图象需要经历哪些步骤？
列表、描点、连线 • 3.你能依据这些步骤画出以下正比例函数的图象
吗？
例1 画出下列正比例函数的图象
（1）y=2x
y= 1 x
3
（2）y=-1.5x y=-4x
k＞0 第一、三象限 上升
增大
k＜0 第二、四象限 下降
减小
两点 作图法
由于两点确定一条直线，画正比 例怎函样数画图正象比时例我函们数只的需图描点(0，0) 和象点最(简1，单k？)，为连什线么即？可.
练习
• 用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
（1）
y=-3x；（2）y
3 2
x.
x
0
1
y=-3x
画图步骤：
1.列表 2.描点 3.连线
图像如图所示
(1)
y
6
4
2
-5
O
-2
y =2x
y= 1 x 3
5
x
观察图象回答：正比例函数y=2x与y=-1.5x的图象是什么图形？是
否经过原点？分别经过哪些象限？自左向右上升还是下降？
思考 对一般正比例函数y =kx，当k＞0时，它的图 象形状是什么？位置怎样？
在k＞0 的情况下，图象是左低右高还是左高右低？对应地，当自变量的值
增大时，对应的函数值是随着增大还是减小？
y y =4x y =2x y =x
6
4 2
-5
O
-2
y= 1 x 3
y= 1 x
5
初中高中数学七大函数的性质 图像
初中高中数学七大函数的性质图像1.一次函数(包括正比例函数)最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。
定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R值域：R奇偶性：无周期性：无平面直角坐标系解析式(下简称解析式):①ax+by+c=0[一般式]②y=kx+b[斜截式]（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）③y-y1=k(x-x1)[点斜式]（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）⑤x/a-y/b=0[截距式]（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）解析式表达局限性：①所需条件较多（3个）；②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；④参数较多，计算过于烦琐；⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。
倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。
设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。
2.二次函数：题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。
定义域：R值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0，图象与x轴交于两点：（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ＜0，图象与x轴无交点；②y=a(x-h)^2+t[配方式]此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；3.反比例函数在平面直角坐标系上的图象为双曲线。
八年级同步第14讲：正比例函数的图像及性质-教师版
1 / 18正比例函数的图像及性质是八年级数学上学期第三章第二节内容，主要对正比例函数的图像及性质进行讲解，重点是对正比例函数的性质的理解，难点是正比例函数表达式的归纳总结．通过这节课的学习为我们后期学习正比例函数的应用提供依据．一、 正比例函数的图像1、 一般地，正比例函数y kx =(k 是常数, 0k ≠)的图象是经过(00)，，(1)k ，这两点的一条直线，我们把正比例函数y kx =的图象叫做直线y kx =； 2、 图像画法：列表、描点、连线．正比例函数的图像及性质知识结构模块一：正比例函数的图像知识精讲内容分析2/ 18【例1】 已知正比例函数2y x =．x…… 2- 1.5--1 0.5-0 0.51 1.52 …… 2y x =……-4-3-2-11234……描点：分别以所取x 的值和相应函数值作为点的横坐标和纵坐标，描出相应点． 连线：用光滑的曲线（包括直线）把描出的点按照横坐标由小到大的顺序连接． 【难度】★【答案】见表格；见图．【解析】考查正比例函数图像的画法．【例2】 在同一直角坐标平面内画出下列函数图像．（1）4y x =； （2）14y x = ；（3）32y x =-；（4）32y x =． 【难度】★ 【答案】见图．【解析】考查正比例函数图像的画法．例题解析【例3】 函数15y x =-的图像是经过点________、________的________．【难度】★【答案】()00，，⎪⎭⎫ ⎝⎛-511，，一条直线．【解析】考查正比例函数图像的特点．【例4】 （1）正比例函数y kx =的图像是____________，它一定经过点_______和_______．（2）函数y kx =(0)k ≠的图像经过点1(5)2A -，，写出函数解析式，并说明函数图像经过哪几个象限？【难度】★★【答案】（1）一条直线，()00，，()k ，1； （2）x y 10-=，经过二、四象限．【解析】考查正比例函数解析式的解法和图像性质．【例5】 已知2y -与x 成正比例，且x =2时，y =4； （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）若点(m ，2m +7)，在这个函数的图象上，求m 的值．【难度】★★【答案】（1）2+=x y ；（2）-5．【解析】（1）设kx y =-2，将x =2时，y =4代入其中可得：1=k ，则2+=x y ；（2）点(m ，2m +7)在这个函数的图象上，则272+=+m m ，解得：5-=m ．【总结】本题一方面考查利用待定系数法求函数解析式，另一方面考查根据函数解析式求函数值或者是自变量的值．【例6】 已知正比例函数图像上的一点到x 轴距离与到y 轴距离之比为1:2，则此正比例函数的解析式是________________． 【难度】★★【答案】x y 21=或x y 21-=．【解析】由题意可知，该点的横坐标的绝对值是纵坐标绝对值的两倍，然后再求解析式． 【总结】注意距离需要分正负．【例7】 如果正比例函数的图像经过点(24)-，，说明(416)-，是否在这个图像上，并作出该正比例函数的图像． 【难度】★★【答案】x y 2-=，(416)-，不在这个图像上，图像略．【解析】设正比例函数解析式为(0)y kx k =≠，将点(24)-，代入，可得：2k =-，所以该正 比例函数的解析式为x y 2-=．当4x =-时，2(4)816y =-⨯-=≠，所以点(416)-，不在该函数的图像上．【总结】考查正比例函数解析式的求法、图像的画法．【例8】 已知函数2(2)21y t x t =-+-,当t 为何值时该函数图像经过原点？此时函数解析式是什么？【难度】★★【答案】21=t ；x y 47-=．【解析】函数2(2)21y t x t =-+-经过原点，则012=-t ，解得：21=t ．代入表达式中可得，函数解析式为：x y 47-=．【总结】本题主要考查正比例函数的概念．【例9】 一个正比例函数的图像经过点A (13)-，，B (1)a a ---，，求a 的值．【难度】★★【答案】41-=a ．【解析】设正比例函数的解析式为(0)y kx k =≠， ∵图像经过点A (13)-，， ∴3=-k ，则3-=k ．∵图像经过点B (1)a a ---，，∴a a 31=--，则41-=a ．【总结】本题一方面考查利用待定系数法求正比例函数的解析式，另一方面考查利用解析式求图像上点的坐标．【例10】 已知y 是x 的正比例函数，且当6x =时，2y =-．(1)求出这个函数的解析式；(2)在直角坐标平面内画出这个函数的图像；(3)如果点P （a ，4）在这个函数的图像上，求a 的值；(4)试问点A (62)-，关于原点对称的点B 是否也在这个图像上？【难度】★★★【答案】（1）x y 31-=；（2）图略；（3）12-=a ；（4）在．【解析】（1）设正比例函数解析式为(0)y kx k =≠，当6x =时，2y =-，代入可得：13k =-．所以这个函数的解析式为x y 31-=；（2）图略；（3）将（a ，4）代入x y 31-=中，得：12-=a ；（4）易得点B 坐标为2)(6-，，将6x =代入x y 31-=，得2y =-，所以点B 也在这个函数的图像上．【总结】考查正比例函数图像上的点坐标需要满足函数解析式．【例11】 已知点(60)A -，，并且点(1)B m -，在直线3y x =-上，求OAB ∆的面积． 【难度】★★★ 【答案】9．【解析】∵点(1)B m -，在直线3y x =-上， ∴3=m ．∴93621=⨯⨯=OAB S △． 【总结】考查正比例函数图像上的点坐标和解析式的关系，注意点坐标与线段长度之间的转换．【例12】 正比例函数的图像经过点（-2，5），过图像上一点A 作y 轴的垂线，垂足B 的坐标是（0，-3），求点A 的坐标与AOB ∆的面积． 【难度】★★★【答案】95．【解析】∵正比例函数的图像经过点（-2，5），∴正比例函数的解析式为x y 25-=．∵过图像上一点A 作y 轴的垂线，垂足B 的坐标是（0，-3）， ∴A 点的纵坐标为-3，∴⎪⎭⎫ ⎝⎛-356A ．∴5935621=⨯⨯=OAB S △．【解析】考查正比例函数图像上的点坐标和解析式的关系，注意点坐标与线段长度之间的转换．【例13】 已知直线y kx =过点1(3)2，，A 是直线y kx =上一点，若过点A 向x 轴引垂线，垂足为B ，且5AOB S ∆=，求点B 的坐标． 【难度】★★★【答案】0⎫⎪⎪⎝⎭，0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． 【解析】∵直线y kx =过点1(3)2，，∴321=k ，∴6=k ，∴x y 6=． ∵A 是直线x y 6=上一点， ∴可设()m m A 6,， ∴5621=⋅⋅m m ．∴315±=m ．∴B点坐标为0⎫⎪⎪⎝⎭，0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． 【总结】注意点坐标与线段长之间的转换．7 / 18二、正比例函数(0)y kx k k =≠是常数，的性质： （1） 当0k >时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值也随着逐渐增大．（2） 当0k <时，正比例函数的图像经过第一、三象限；自变量x 的值逐渐增大时，y 的值 则随着逐渐减小．【例14】 直线(2)y m x =-经过一、三象限，则m ________．【难度】★ 【答案】2<m ．【解析】考查()0>=k kx y 的图像经过一、三象限．【例15】 已知正比例函数()52y k x =-的图像经过第二、四象限，求k 的取值范围． 【难度】★ 【答案】25>k ． 【解析】由题意，可得：520k -<，解得：25>k ． 【总结】考查()0<=k kx y 的图像经过二、四象限．【例16】 若正比例函数(3)y m x =-，y 的值随x 的增大而减小，则m _______．【难度】★ 【答案】3<m ．【解析】由题意，可得：30m -<，解得：3m <．【总结】考查()0<=k kx y 的图像性质y 的值随x 的增大而减小．例题解析知识精讲模块二：正比例函数的性质【例17】 (3)y x π=-图像经过_______象限，y 的值随x 的值增大而_______．【难度】★【答案】一、三；增大．【解析】由题意，可得：30π->，所以图像过一、三象限． 【总结】考查()0>=k kx y 的图像y 的值随x 的增大而增大．【例18】 当a =_______时，2(3)(9)y a x a =-+-是正比例函数，图像经过第______象限．【难度】★【答案】3-；二、四．【解析】因为正比例函数，所以29030a a ⎧-=⎨-≠⎩，解得：3a =-，所以图像过二、四象限．【总结】考查()0<=k kx y 的图像y 的值随x 的增大而减小．【例19】已知点（11,x y ），（22,x y ）在正比例函数()2y k x =-的图像上，当12x x >时，12y y <，那么k 的取值范围是多少？ 【难度】★★ 【答案】2<k ．【解析】当12x x >时，12y y <，可以理解成y 的值随x 的增大而减小． 【总结】本题主要考查正比例函数图像的性质．【例20】已知正比例函数25(3)mm y m x +-=+，那么它的图像经过____________象限．【难度】★★ 【答案】一、三．【解析】∵152=-+m m ，∴3-=m 或2=m ，又∵03≠+m ，∴2=m ．∴图像过一、三象限．【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质．【例21】正比例函数2mmy mx +=的图像经过第一、三象限，求m 的值．【难度】★★ 【答案】215-． 【解析】由题意，可得：12=+m m ，则251±-=m ． ∵正比例函数2m my mx +=的图像经过第一、三象限，∴0>m ，∴215-=m ． 【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质．【例22】已知0mn <，那么函数my x n=经过______象限，y 的值随x 的值增大而______．【难度】★★【答案】二、四；减小．【解析】∵0mn <，∴0mn <，所以图像过二、四象限，并且y 的值随x 的值增大而减小．【总结】考查()0<=k kx y 的图像y 的值随x 的增大而减小．【例23】函数()2(2)2k y k x -=-是正比例函数，且y 的值随着x 的减小而增大，求k 的值．【难度】★★ 【答案】1．【解析】由题意，可得：()122=-k ，则3=k 或1=k ．∵y 的值随着x 的减小而增大，∴02<-k ，∴1=k ．【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质．【例24】如果正比例函数y kx =(0)k ≠的自变量增加5，函数值减少2，那么当3x =时，y =_______．【难度】★★ 【答案】56-．【解析】∵正比例函数y kx =(0)k ≠的自变量增加5，函数值减少2，∴52-=k∴正比例函数解析式为x y 52-=．∴当3x =时，26355y =-⨯=-．【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质．【例25】 （1）已知y ax =在实数范围内有意义，求a 的取值范围；（2）已知函数()21y m x =+的值随自变量x 的值增大而增大，且函数()31y m x =+的值随自变量x 的增大而减小，求m 的取值范围．【难度】★★【答案】（1）03<≤-a ；（2）3121-<<-m ． 【解析】（1）由题意，可得：030a a <⎧⎨+≥⎩，所以30a -≤<；（2）由题意，可得：210310m m +>⎧⎨+<⎩，解得：1213m m ⎧>-⎪⎪⎨⎪<-⎪⎩，所以1123m -<<-．【总结】考查正比例函数图像的性质．【例26】 正比例函数()41y m x =-的图像经过点11(,)A x y 和22(,)B x y ，且该图像经过第二、四象限． (1)求m 的取值范围；(2)当12x x >时，比较1y 与2y 的大小，并说明理由．【难度】★★ 【答案】（1）41<m ；（2）1y 2y <，正比例函数y 的值随着x 的增大而减小． 【解析】考查正比例函数图像的变化情况．【例27】已知函数2y x =-，自变量x 的取值范围是4556x <<，求y 的取值范围． 【难度】★★★【答案】5835y -<<-．【解析】∵4556x <<， ∴85253x << ，∴58235x -<-<-，∴5835y -<<-． 【总结】本题还可以画出正比例的函数图像，利用图像求y 的取值范围．【例28】 已知在正比例函数()()22723mf x m x -=-中，y 随x 的值减小而减小．（1）求m 的值；（2）求23f ⎛⎫⎪⎝⎭（3）在直角坐标平面内画出函数图像，并根据图像说明，当x 取何值时，2y ≤-？【难度】★★★ 【答案】（1）2；（2）32；（3）图略；2-≤x ． 【解析】（1）由题意，得：1722=-m ，则2±=m ．∵y 随x 的值减小而减小，∴032>-m ，∴2=m ；（2）由（1）可得：x y =，∴3232=⎪⎭⎫ ⎝⎛f ；（3）2-≤=x y ，∴2-≤x ．【总结】本题主要考查正比例函数的概念及图像的性质．【例29】 已知正比例函数过(24)A -，，点P 在此正比例函数的图像上，若直角坐标平面内另有一点B （0，4），且8ABP S ∆=，求：点P 的坐标． 【难度】★★★【答案】()24-，或()612-，． 【解析】因为正比例函数过(24)A -，，则正比例函数解析式为x y 2-=． 设P 的坐标为()2m m -，， 当P 在OA 反向延长线上时，则()82421421=⨯⨯+-⨯⨯=+=m S S S BOA BOP ABP △△△， ∴2-=m ，∴P 的坐标为()24-，； 当P 在OA 延长线上时，则82421421=⨯⨯-⨯⨯=-=m S S S BOA BOP ABP △△△， ∴6=m ，∴P 的坐标为()612-，．∴P 的坐标为()24-，或()612-，． 【总结】本题综合性较强，主要考查面积与函数的关系，主要两种情况的分类讨论．【习题1】 在同一直角坐标系内画出下列函数的图像：3y x =-与13y x =-．【难度】★ 【答案】图像略．【解析】考查正比例函数图像的画法．【习题2】 若点P 在直线2y x =-上，且点P 的横坐标为1，那么点P 的坐标是________． 【难度】★ 【答案】()21-，． 【解析】将1x =代入2y x =-，得2y =-，所以点P 的坐标是()21-，． 【总结】本题主要考查函数图像上的点与函数解析式间的关系．随堂检测【习题3】 若正比例函数的图像经过（-1，3），则正比例函数的解析式是________． 【难度】★ 【答案】x y 3-=．【解析】设正比例函数解析式为：(0)y kx k =≠，将（-1，3）代入，得：3k =-．所以此正比例函数的解析式为：x y 3-=．【总结】本题主要考查利用待定系数法求正比例函数的解析式．【习题4】 已知11(,)x y 和22(,)x y 是直线4y x =-上的两点，且12x x >，则1y 与2y 的大小关系是（ ）．A ．12y y >B ．12y y <C ．12y y =D ．以上都有可能【难度】★★ 【答案】B【解析】因为比例系数为40-<，所以y 随x 的增大而减小．故选B ． 【总结】本题主要考查正比例函数图像的性质．【习题5】 正比例函数y kx =（k 为常数，0k <）的图象经过第________象限，函数值随自变量的增大而_________． 【难度】★【答案】二、四；减小．【解析】考查正比例函数图像的性质．【习题6】 正比例函数(0)y kx k =≠的图像经过一、三象限，且经过点(221)k k ++，，则 k =_______．【难度】★★ 【答案】1．【解析】设正比例函数解析式为：(0)y kx k =≠，经过点(221)k k ++，则()122+=+k k k ，则1±=k∵正比例函数(0)y kx k =≠的图像经过一、三象限，∴0>k ，∴1=k ．【解析】考查正比例函数图像的性质．【习题7】 如果正比例函数(0)y kx k =≠的自变量取值增加1，函数值相应地减少4，则k =________．【难度】★★ 【答案】4-．【解析】考查正比例函数的变化情况．【习题8】 已知y 是x 的正比例函数，且当x =时，y =2，求y 与x 之间的比例系数，写出函数解析式，并求当y =x 的值． 【难度】★★【答案】2，x y 2=，62=x ．【解析】设正比例函数解析式为：(0)y kx k =≠，将x =y =2代入，得：k =故函数解析式为：x y 2=，当y ==，解得：x =【总结】本题主要考查正比例函数解析式的求法．【习题9】 已知23y -与45x +成正比例，且当x =1时，y =15，求y 与x 的函数关系式． 【难度】★★ 【答案】96+=x y ．【解析】设()5432+=-x k y (0)k ≠， 当x =1时，y =15，则()5143152+⨯=-⨯k ， 解得：3=k ． ∴()54332+=-x y ，∴96+=x y ．【总结】本题主要考查利用待定系数法确定函数关系式．【习题10】 如图，在同一直角坐标系内，已知函数1y k x =中，y 随x 的增大而减小，函数2y k x =，满足120k k +=，则1y k x =与2y k x =的图像大致为( )．A BC D【难度】★★★ 【答案】B【解析】∵函数1y k x =中，y 随x 的增大而减小，∴01<k ，且此函数经过二、四象限∵120k k +=，∴02>k ，此函数经过一、三象限．【总结】本题主要考查正比例函数图像的性质．【习题11】 已知正比例函数的图像经过点(28)-，，经过图像上一点A 作x 轴的垂线，垂足为点B (06)，，求：（1）点A 的坐标；（2）AOB ∆的面积． 【难度】★★★【答案】(1)362A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（2）29． 【解析】（1）由题意，可得：正比例函数的解析式为x y 4-=． ∵经过图像上一点A 作x 轴的垂线，垂足为点B (06)，， ∴A 点的纵坐标为6，∴⎪⎭⎫⎝⎛-623A ．（2）2923621=⨯⨯=AOB S △．【总结】本题主要考查利用待定系数法求正比例函数的解析式以及利用点的坐标确定三角形的面积．【习题12】 已知平面直角坐标系内一点(23)P a a ，，过点P 作y 轴的垂线，垂足为点H ，如果15POH S ∆=．求：(1) 点P 的坐标；(2) 直线OP 的解析式．【难度】★★★【答案】（1）()2535，，()2535--，；（2）x y 23=． 【解析】（1）153221=⋅⋅=a a S POH △，∴5±=a ．∴点P 的坐标为()2535，，()2535--，；（2）将()2535，，()2535--，随便一个点代入kx y =中可得：x y 23=． 【总结】本题主要考查函数与面积的关系，注意距离与坐标间的关系转化．【作业1】 在同一直角坐标系内画出下列函数的图像：4y x =与12y x =-．【难度】★ 【答案】如图．【解析】考查正比例函数图像的画法．【作业2】 已知点A （m ，-3）在直线3y x =上，那么m =________． 【难度】★ 【答案】3-．【解析】考查正比例函数图像上的点坐标与解析式之间的关系．课后作业【作业3】 已知正比例函数(64)y k x =-的图像经过第二、四象限，求k 的取值范围． 【难度】★ 【答案】23>k ． 【解析】∵正比例函数(64)y k x =-的图像经过第二、四象限，∴640k -<，即23>k ． 【总结】本题主要考查正比例函数图像的性质．【作业4】 已知函数2(1)m y m x =-是正比例函数，m =________；函数的图象经过________象限；y 随x 的减少而________． 【难度】★★【答案】-1；二、四；增大．【解析】考查正比例函数图像的性质．【作业5】 已知y 与x 成正比例，且x = 2时y = -6，则y = 9时x =________． 【难度】★★ 【答案】3-．【解析】设(0)y kx k =≠，将x = 2，y = -6代入，可得：3k =-，所以3y x =-．当y = 9时，39x -=，所以3x =-．【总结】考查正比例函数解析式的求法．【作业6】 点燃的蜡烛，长度按照与时间成正比例缩短，一支长21cm 的蜡烛，点燃6分钟后，缩短3．6cm ．设蜡烛点燃x 分钟后，缩短ycm ，求y 的函数解析式和x 的取值范围． 【难度】★★【答案】0.6y x =(035x ≤≤)．【解析】点燃6分钟后，缩短3.6cm ，则每分钟缩短0.6cm ．当0.621x =时，可得35x =．所以x 的取值范围为：035x ≤≤．【总结】本题主要考查正比例函数在实际问题中的应用，注意定义域的求解．【作业7】 在函数5y x =的图象上取一点P ，过P 点作P A ⊥x 轴，已知P 点的横坐标为2-，求POA S ∆的面积（O 为坐标原点）． 【难度】★★★ 【答案】10．【解析】由题意可得()102--，P ，则1010221=⨯⨯=POA S △． 【总结】本题主要考查函数图像与几何图形面积的关系．。
4.正比例函数的图象和性质-北师大版八年级数学上册课件
解析：将坐标（2，4）带入函数表达式中，得4=(k+1)·2， 解得k=1.
练一练
1.已知正比例函数y=kx (k>0)的图象上有两点（x1，y1），（x2，y2）， 若x1<x2，则y1 < y2.
4.已知正比例函数y=(2m+4)x. （1）当m ＞-2 ，函数图象经过第一、三象限； （2）当m <-2 ，y 随x 的增大而减小； （3）当m =0.5 ，函数图象经过点（2，10）.
5. 如图分别是函数y=k1 x，y=k2 x，y=k3 x，y=k4 x的图象.
（1）k1 ＜ k2，k3 ＜ k4(填“>”或“<”或“=”)；
3.什么是函数值？函数的图像？
一 正比例函数的图象的画法 例1：画出下面正比例函数y=2x的图象. 画函数图象的一般步骤： 解： ①列表
②描点 ③连线
以表中各组对应值作为点的坐标，在 直角坐标系内描出相应的点
练一练
1.请你画出y=-3x 的图像，并思考以下几个问题. （1）请你列出几个满足y=-3x 的x，y所对应的点(x，y)，并 在图像上描出来，视察它们都在y=-3x 的图像上吗？
7. 已知某种小汽车的耗油量是每100km耗油15 L．所使用的汽油 为5元/ L ． （1）写出汽车行驶途中所耗油费y（元）与行程 x（km）之间 的函数关系式. （2）在平面直角坐标系内描出大致的函数图象. （3）计算该汽车行驶220 km所需油费是多少.
解：（1）y=5×15x/100，
即
（2）用不等号将k1， k2， k3， k4及0依次连接起来．
正比例函数的图像和性质演示文稿
（1）y =2x 是
（2）y = x+2 不是
（3）y x 是 3
（4）
y
3 x
不是
（5）y=x2+1 不是 （6） y 1 1 不是 2x
第四页，共23页。
（1）若 y =5x 3m-2 是正比例函数， 则m= 1。
（2）若 y (m 2)x m2 3 是正比例函数，
则 m = -2 。
从左向 y随x的
k 0 点的
一、三 右上升 增大而
直线
0x
增大
k 0
过原 y
点的
直线 0
从左向 y随x的
二、四 右下降 增大而
x
减小
第十二页，共23页。
通过以上的学习，画正比 例函数有无简便的方法呢
？
由于两点确定一条直线，画正比例函数图象时 我们只需要描点（0，0）和点（1，k），然后 连线即可。
和性质。
第二十三页，共23页。
2 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 12-
345-
12345
(k＜0)
x
当k＜0时, y=kx也是一条经过原点的直线， 且直线从左向右下降，经过二、四象限，
即y随x的增大而减小。
第十一页，共23页。
函数
图
y kx(k 0) 象
示意图 直线经 直线的 性质
（草图）
过的象 限
变化趋 势
过原 y
第五页，共23页。
现在我们已经知道了正比例函 数y=kx(k ≠0)的定义和画图象 的步骤，那么正比例函数的图 象有什么特征呢？
第六页，共23页。
画正比例函数 y =kx (k≠0)的图象
k ≠0可分为k＞0和k＜0
正比例函数的图像与性质 ppt课件
A.m=1 B.m＞1 C.m＜1
D.m≥1
2.正比例函数y=（m－1）x的图象经过二、
四象限，则m的取值范围是（ ）
A.m=1 B.m＞1 C.m＜1
D.m≥1
3.若正比例函数y=(1-2m)x的图像经过点
A(x1,y1)和B（x2,y2),当x1＜x2时，y1 ＞y2,
则m的取值范围是
。
ppt课件
ppt课件
8
画函数 y = 3x 的图象
2
画函数y=3x的图象
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(四）巩固练习线， y随x的
2. 正比例函数y＝（１－２m）xm2-3的图象 经过第二、四象限，求m的值。
3.一个正比例函数的图象经过点（2，—4） 求这个函数解析式
ppt课件
y=kx 经过的象限 从左向右 Y随x的增大而
k＞0 第一、三象限 上升
增大
k＜0 第二、四象限 下降
减小
2、用两点法画图
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数，则 k
。
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活动探究
议一议
（1）正比例函数 y=x 和 y=3x 中，随着x值的增大y的值 都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？
（2）正比例函数 y= - 1 x 和 y =-4x 中，随着x值的增大y 2
的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？
|k|越大，直线越陡，直线越靠近y轴.
12
4．3x已上知的（两x点1，，y且1）x和1>x（2，x2则，yy12与）y是2•直的线大y小=关系是（ ）
A．y1>y2
B．y1<y2
C．y1=y2 D．以上都有可能
正比例函数2PPT优选课件
(1) 求正比例函数的解析式; (2) 求当x=26(度)时函数y的值.
解: (1)设所求的正比例函数解析式是y=kx,
把x=65,y=32.5代入,得32.5=65k, 解得 k=0.5
x的取值 范围?
所以,所求的正比例函数解析式是y=0.5x.
已知正比例函数的两个变量的任何一对对应值
x=x1(x1≠0),y=y1,那么代入y＝kx中求得常数k的值，叫做
取值范围; (2)求得的函数的比例系数的多少?
圆锥的母线长是多少?
2020/10/18
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函数y与自变量x成正比例, ……
我是x,我和y的关 系可密切了,我越
大,他就越大.
哼,那可 不 一定……
x
y
2020/10/18 当k为负数时，x越大y反而越小。
15
3.已知三个变量x,y,z;其中y是x的正比例 函数,z是y的正比例函数.
2.在y=(n+2)x+(n2-4)中,常数n为何值时, y是x的正比例函数? n =-2
2020/10/18
6
例1.铜的质量M与体积V成正比例.已知当 V=5(cm3 )时,M=44.5(g).
(1)求铜的质量M与体积V的函数关系式,并求出铜
的密度 ; (2)求体积为0.3dm3的铜棒的质量.
解:(1)因为Ｍ与Ｖ成正比例，所以
Ｍ＝ Ｖ
把Ｖ＝5,Ｍ＝44.5代入,得
44.5 =5 ,
=8.9
∴M=8.9V,铜的密度是8.9g/ cm3
(2)因为铜棒的体积为0.3dm3,即V=300(cm3),
M=8.9V= 8.9×300=2670(g)
2020/10/答18 :铜棒的质量为2670g.
19.2.1正比例函数的概念(教案)-2022-2023学年八年级下册数学(人教版)
1.理论介绍：首先，我们要了解正比例函数的基本概念。正比例函数是形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数。它在生活中有着广泛的应用，如速度、单价等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。例如，汽车以恒定速度行驶，行驶时间与行驶距离的关系。这个案例展示了正比例函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.分析正比例函数的性质：当k>0时，图像位于一三象限；当k<0时，图像位于二四象限。
4.运用正比例函数解决实际问题：通过实际案例，让学生了解正比例函数在生活中的应用，如速度与时间的关系、单价与总价的关系等。
5.练习绘制正比例函数的图像，并解释图像与实际问题的关联性。
二、核心素养目标
1.培养学生的数学抽象能力：通过正比例函数的学习，使学生能够从具体问题中抽象出数学关系，理解正比例函数的概念及其表达形式。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四绕“正比例函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了正比例函数的概念及其在实际生活中的应用。回顾整个教学过程，我觉得有几个地方值得反思和改进。
首先，关于导入新课的部分，我发现通过提问的方式引导学生思考日常生活中成正比关系的例子，能够激发学生的兴趣。但在这个过程中，可能需要给学生更多的提示和引导，以便他们更好地将实际问题与正比例函数联系起来。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调正比例函数的定义和图像特点这两个重点。对于难点部分，如正比例函数性质的掌握，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
正比例函数的图像与性质讲义全
龙文教育个性化辅导教案讲义任教科目：数学授课题目：正比例函数的图像及性质年级：八年级任课教师：任老师授课对象：武汉龙文个性化教育校区教研组组长签字：教学主任签名：日期：武汉龙文教育学科辅导讲义知识点1．形如___________（k是常数，k≠0）的函数是正比例函数，其中k叫，正比例函数都是常数与自变量的乘积的形式2．正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们通常称之为直线y=kx．当k>0时，图像位于第象限，从左向右，y随x的增大而，也可以说成函数值随自变量的增大而_________；当k<0时，图像位于第 象限，从左向右 ，y 随x 的增大而 ，也可以说成函数值随自变量的增大而_________．3．正比例函数的图像是经过坐标 点和定点__ __两点的一条 。
根据两点确定一条直线，可以确定两个点（两点法）画正比例函数的图象． 例1：已知y=（k+1）x+k-1是正比例函数，求k 的值．例2：根据下列条件求函数的解析式 ①y 与x 2成正比例，且x=-2时y=12．②函数y=（k 2-4）x 2+（k+1）x 是正比例函数，且y 随x 的增大而减小．选择题1、如图函数y ＝－x （x ＜0）的图象是（）2．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ）A ．y=4x+1B ．y=2x 2C ．y=-5xD ．y=x3．下列说法中不成立的是（ ）A ．在y=3x-1中y+1与x 成正比例；B ．在y=-2x中y 与x 成正比例 C ．在y=2（x+1）中y 与x+1成正比例； D ．在y=x+3中y 与x 成正比例 4．若函数y=（2m+6）x 2+（1-m ）x 是正比例函数，则m 的值是（ ） A ．m=-3 B ．m=1 C ．m=3 D ．m>-35．已知（x 1，y 1）和（x 2，y 2）是直线y=-3x 上的两点，且x 1>x 2，则y 1与y 2•的大小关系是（ ）A ．y 1>y 2B ．y 1<y 2C ．y 1=y 2D ．以上都有可能两条直线的位置关系与系数K 之间的关系6．若正比例函数x k y 1 和x k y 2 的图像是两条平行直线，那么（ ）（A ）21k k （B ）21k k （C ）21k k （D ）K1和K2不确定7．若正比例函数x k y 1 和x k y 2 的图像是两条平行直线，那么（K1与K2有什么数量关系 ） 8．若正比例函数x k y 1 和x k y 2 的图像关于坐标轴对称，那么（ ） （A ）21k k （B ）21k k （C ）21k k （D ）K1和K2不确定平移规律8、．若正比例函数Y=2X 向上平移2个单位，那么平移后的解析式（ ） 9、若正比例函数Y=2X 向下平移2个单位，那么平移后的解析式（ ） 10、若正比例函数Y=2X 向左平移2个单位，那么平移后的解析式（ ） 11、若正比例函数Y=2X 向右平移2个单位，那么平移后的解析式（ ）一 根据正比例函数解析式的特点求值1、若x 、y 是变量，且函数y=（k+1）x k2是正比例函数，则的值为？2、果y=x-2a+1是正比例函数，则a 的值为？3、若y =（n-2）x ︳n ︳-1 ，是正比例函数，则n 的值为？4、已知y=（k+1）x+k-5是正比例函数求k 的值．5、若函数y=（2m+6）x 2+（1-m ）x 是正比例函数，则m 的值是（ ）6、已知函数y=(2m+1)x+m －3 若函数图象经过原点,求m 的值？二 求正比例函数的解析式1、正比例函数图象过（-2，3），则这个正比例函数的解析式？2、已知y与x成正比例，且x=2时y=-6，则y=9时x的值是多少？．3．一个函数的图像是经过原点的直线，并且这条直线过第四象限及点（2，－3a）与点（a，－6），求这个函数的解析式．4．已知y与x－1成正比例，x=8时，y=6，写出y与x之间函数关系式，并分别求出x=4和x=－3时y的值．三正比例函数图象的性质1、正比例函数y=（m－1）x的图象经过一、三象限，则m的取值范围是2、若正比例函数图像又y=(3k-6)x的图像经过点A（x1,x2）和B（y1，y2），当x1<x2时，y1>y2,则k的取值范围是3、点A（-5，y1）和点B（-6，y2）都在直线y= -9x的图像上则y1与y2的大小关系是？4、已知（x1，y1）和（x2，y2）是直线y=-3x上的两点，且x1>x2，则y1与y2•的大小关系是（）5、正比例函数y=(3m-1)x的图像经过点A（x1,x2）和B（y1，y2），且该图像经过第二、四象限.(1)求m的取值范围(2)当x1>x2时，比较y1与y2的大小,并说明理由.4已知y－4与x成正比例，且当x = 6时，y =－4．（1）求y与x的函数关系式；（2）画出（1）中函数的图象；（3）设点P在y轴上，（1）中函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，△ABP的面积等于9，求点P的坐标探究题 1、在函数y=-3x 的图象上取一点P ，过P 点作PA ⊥x 轴，已知P 点的横坐标为-•2，求△POA 的面积（O 为坐标原点）．2、如图,三个正比例函数的图像分别对应的解析式是 ①y=ax ② y=bx ③ y=cx,则a 、b 、c 的大小关系是( )A.a>b>cB.c>b>aC.b>a>cD.b>c>a1．2．已知y = y 1+ y 2，y 1与x 2成正比例，y 2与x －2成正比例，当x =1时，y =0，当x =－3时，y =4，求x =3时，y 的值．3．有一长方形AOBC 纸片放在如图3－3所示的坐标系中，且长方形的两边的比为OA ：AC ＝2：1.（1）求直线OC 的解析式；（2）求出x ＝－5时，函数y 的值； （3）求出y ＝－5时，自变量x 的值； （4）画这个函数的图象；（5）根据图象回答，当x 从2减小到－3时，y 的值是如何变化的？①②③武汉龙文教育学科辅导教案附：跟踪回访表家长（学生）反馈意见：学生阶段性情况分析：自我总结及调整措施：主任签字：龙文教育教务处。
19.2.1《正比例函数+》+课件++2023--2024学年人教版八年级数学下册+
（3）每个练习本的厚度为 2cm，一些练习本摞在一 起的总厚度h（单位：cm） 随练习本的本数n的变化 而变化。
（4）冷冻一个0℃的物体， 使它每分钟下降2℃，物
体 温度T（单位：℃）随冷
冻 时间t（单位：min）的变 化而变化。
04教学过程---概念探究
函数解析式 l =2πr m =7.8V
观察出h = 2n T = -2t
解：h = 0.5n .
（4）冷冻一个0℃的物体，使它每分下降 2℃，物体的温度T（单位：℃）随冷冻时 间t（单位：分）的变化而变化．
解：T = －2t ．
认真观察以上出现的四个函数解析式，分别说出
哪些是常量、自变量和函数．
函数解析式 常量 自变量 函数
这些函数有什 么共同点？
（1）l=2πr
2π
步骤
方法
假设、带入、求解 待定系数法
04教学过程---巩固拓展
一 1.下列函数关系中，属于正比例函数关系的是（
）
、
A.圆的面积S与它的半径r
解
析
B.行驶速度不变时，行驶路程s与时间t
式 的
C.正方形的面积S与边长a
概
D.工作总量（看作“1” ）一定，工作效率w与工
念
作时间 t
04教学过程---巩固拓展
2 (4) y 2 ; 二、解析x式的特点
(1)若y=(m-1)x是正比例函数，m取值范围是
；
(2)当n 时，y=2xn是正比例函数；
(3)当k 时，y=3x+k是正比例函数.
04教学过程---概念运用
三、解析式的求法
若正比例函数的自变量x等于-4时，函数y的值等于2。 （1）求正比例函数的解析式；（2）求当x=6时函数y的值.
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备课组八年级数学主备人李淑新授课教师
教学内容正比例函数（2）教学时间
第一段：情景导入，明确目标（创设情境激发兴趣）
（一）前测诊断：
1.什么是正比例函数？
2.请你写出两个具体的正比例函数
3.描点法画函数图象一般步骤
（二）质疑导入：
我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？
第二段：实施任务，构建智知(自学—研讨—展示—点评)
任务一探求新知.
活动一：（引导学生正确画图、积极探索、总结规律、准确表述）：
1.独立画出下列正比例函数的图象，并进行比较，
2.寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律．（小组讨论）
１．y=2x ２．y=-2x
３．小组展示
共同点：————————————————————————————————————不同点：——————————————————————————————————-。
4. 尝试练习：
在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较．
１．y=1
2x ２．y=-
1
2x
比较两个函数图象可以看出：__________________________________________________.
5.总结归纳正比例函数解析式与图象特征之间的规律：______________________________。
任务二.实际应用，巩固新知
活动二：（探究两点法）
1.经过原点与点（1，k ）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？
2.随堂练习 用你认为最简单的方法画出下列函数图象： １．y=3
2x ２．y=-3x
第三段：总结提升，反馈检测
（1）正比例函数的图象及性质怎样？
（2）正比例函数研究过程中，你感受最深的是什么？
检测
1. 在平面直角坐标系中，正比例函数y =kx （k ＜0）的图象的大致位置只可能是（ ）．
x y
O x y O
x y O x y O A B C D
2. 对于正比例函数y =kx ，当x 增大时，y 随x
的增大而增大，则k 的取值范围 （ ）．
A ．k ＜0
B ．k ≤0
C ．k ＞0
D ．k ≥0
学习评价：小组评价 老师评价。