全国大学生数学竞赛第七届竞赛题及答案
2011年浙江科技学院高数竞赛试题及答案
解（1）（2）（3）得两个切点； (3, 0, 2) ， (1, 2, 2) ，故所求的切平面方程为
x + 2 z = 7 与 x + 4 y + 6 z = 21 。
7. 试求 I =
∫
x 2 + y 2 dx − y ln( x + x 2 + y 2 )dy ，其中 L 为曲线
从点 A(1, −2) 到点 B(1, 2) 的一段弧．(12 分) 解：添加线段 BA，设 L+BA 所围的区域是 D，则根据格林公式：
（*）
试证：当 f ( a ) = f ( b ) = 0( a < b ) 时，则在区间 [a , b] 上 f ( x ) 恒为零．(10 分) 证：根据最值定理， f ( x) 必在区间 [a, b] 取得最值，假设最大值是 M，最小值是 m ， 我们希望证明 M = m = 0 ，若不然，即 f (ξ ) = M > 0,
浙江科技学院第七届高等数学竞赛
浙江科技学院第七届高等数学竞赛试题及参考答案
sin( tx 2 ) 2 ∫ 0 t dt − x 1．计算 lim ．(10 分) x→0 x6 x 2 sin u sin x 2 2 ⋅ 2x − 2x du − x 2 ∫0 u 2 x = lim 解：令 u = tx ，则原式 = lim x →0 x →0 6 x5 x6 sin v − v cos v − 1 1 sin x 2 − x 2 = lim = lim = lim =− . 3 2 6 v →0 v →0 x →0 3x 3v 9v 18 arctan x xe dx ．(10 分) 2．计算不定积分 ∫ (1 + x 2 )3 / 2
数学竞赛第七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第一试及答案
数学竞赛 第七届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛第一试及答案1．公园只售两种门票：个人票每张5元，元，l0l0人一张的团体票每张30元，购买10张以上团体票者可优惠l0l0％。
％。
％。
(1) (1)甲单位甲单位45人逛公园，按以上规定买票，最少应付多少钱人逛公园，按以上规定买票，最少应付多少钱? ?(2) (2)乙单位乙单位208人逛公园，按以上规定买票，最少应付多少钱人逛公园，按以上规定买票，最少应付多少钱? ?2．用无色透明玻璃小正方体和红色玻璃小正方体拼成一个大正方体(如图如图))，大正方体内的对角线，，，所穿过的小正方体都是红色玻璃小正方体，其它部分都是无色透明玻璃小正方体，小红正方体共用了40l 个。
问：无色透明小正方体用了多少个个。
问：无色透明小正方体用了多少个? ?3．a 是自然数，且17a=，求a 的最小值。
的最小值。
4．对一个自然数作如下操作：如果是偶数则除以2，如果是奇数则加l 。
如此进行直到为l 时操作停止。
问：经过9次操作变为1的数有多少个的数有多少个? ?5．已知m ，n ，k 为自然数，m≥n≥k，是100的倍数，求m ＋n －k 的最小值。
的最小值。
6．1998个小朋友围成一圈，从某人开始，逆时针方向报数，从l 报到6464，再依次从，再依次从l 报到6464，一，一直报下去，直到每人报过l0次为止。
问：次为止。
问：(1) (1)有没有报过有没有报过5，又报过l0的人的人??有多少有多少??说明理由；说明理由；(2) (2)有没有报过有没有报过5，又报过ll 的人的人??有多少有多少??说明理由；说明理由；参考答案1.1.【解】【解】【解】(1)45(1)45个人，应当买4张团体票张团体票((每张10人)，5张个人票，共用：30×4＋5×5＝张个人票，共用：30×4＋5×5＝145145元(比5张团体票省张团体票省))。
(2)208个人，可以买21张团体票张团体票((每张10人)，共用：30×21×(1－，共用：30×21×(1－101010％％)＝3×21×9＝＝3×21×9＝567567元，元， 如果买20张团体票，张团体票，88张个人票，共用：30×20×(1－张个人票，共用：30×20×(1－10%)10%)10%)＋5×8＝＋5×8＝＋5×8＝580580元由于购买10张以上团体票的可以优惠1010％，所以％，所以208人买21张团体票反而省钱。
南昌大学第七届高等数学竞赛(数学专业类)试题答案
南昌大学第七届高等数学竞赛（07、08级数学专业类）试卷答案如图所示，设C 是不包含原点在内的任一分段光滑的简单闭曲线，在C 上任意取定两点A ，B,作围绕原点的闭曲线AKBNA,同时得到另一绕原点的闭曲线AKBMA ，由题设条件知0)()(22=+--+-⎰⎰AKBMA AKBNA yx ydxxdy y x ydx xdy ϕϕ即⎰⎰+-=+-BMA BNA yx ydxxdy y x ydx xdy 22)()(ϕϕ 0)(2=+-⎰C yx ydxxdy ϕ从而有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22)()(y x y y y x xx ϕϕ，)00()(，，≠y x 则x x 2)(='ϕ C x x +=2)(ϕ ,由1)1(=ϕ知，0=C ，2)(x x =ϕ 为了计算A ,取L 为单位圆周122=+y x ，则πσϕ2)11()(1222=+=-=+-=⎰⎰⎰⎰≤+Ly x L d ydx xdy y x ydxxdy A六、设)(x f 在],[b a 上可微，且0)(=a f ，M 是)(x f '的上界，则M ⎰-≥b adx x f a b )()(22.由拉格朗日定理及0)(=a f ，知存在c (,)c a b ∈()ba f x dx ⎰=()()ba f c x a dx '-⎰()ba M x a dx ≤-⎰=2()2b a M -=于是，M ⎰-≥b adx x f a b )()(22七、设)(y x f ，在2R 上有连续偏导数，且1)(2≡x x f ， （1）若x x x f x ≡)(2， 求)(2x x f y ， （2）若y x y x f y 2)(2+=， 求)(y x f ，.（1）1)(2≡x x f ，两端关于x 求导，得0)(2)(22=+x x xf x x f y x ，， 当0≠x 时，)(2x x f y ，=21-，又)(y x f ，在2R 上有连续偏导数，所以。
高等数学竞赛试题7答案
高等数学竞赛试题7答案一、求由方程032=-+xy y x 所确定的函数()x y y =在()+∞,0内的极值，并判断是极大值还是极小值.解：对032=-+xy y x 两边求导得()2230x y y y xy ''+-+=，223y x y y x-'=-令0y '=得2y x =，代入原方程解得11,84x y ==.()()()()()2111122,,,08484232613x y x y y y y x y x yy y yx '=====''-----''=-.故当18x =时，y 取极大值14.二、设xyy x u -+=1arctan，求xu ∂∂,22xu ∂∂.解：()()2211111xy yy x xy xyyx xu -++-⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++=∂∂=211x+,22xu ∂∂=()2212x x+-三、计算曲线积分⎰+-=Lyx ydx xdy I 224，其中L 是以点（1，0）为中心，R 为半径的圆周,0>R 1≠R ,取逆时针方向.解：()224,yx y y x P +-=, ()224,yx x y x Q +=, 当()()0,0,≠y x 时,()xQ yxxy yP ∂∂=+-=∂∂2222244， 当10<<R 时()D ∉0,0,由格林公式知,0=I .当1>R 时, ()D ∈0,0,作足够小的椭圆曲线⎪⎩⎪⎨⎧==θεθεsin cos 2:y x C ,θ从0到π2.当0>ε充分小时,C 取逆时针方向,使D C ⊂,于是由格林公式得0422=+-⎰-+CL yx ydxxdy ，因此⎰+-Lyx ydx xdy 224⎰+-=Cyx ydx xdy 224 =θεεπd ⎰202221=π四、设函数()x f 在()+∞,0内具有连续的导数，且满足()()()422222t dxdy y x f yx t f D+++=⎰⎰，其中D 是由222t y x =+所围成的闭区域，求当x ∈()+∞,0时()x f 的表达式.解：()()2242tf t d r f r rdr t πθ=+⎰⎰=()344t r f r dr t π+⎰,两边对t 求导得()()3344f t t f t t π'=+，且()00f =，这是一个一阶线性微分方程，解得()()411tf t eππ=-五、设dx x x a n n ⎰=πsin ，求级数∑∞=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1111n n na a 的和.解：令t n x -=π, 则()dt t t n a n n ⎰-=ππ0sin=n n a dt t n -⎰ππsin .sin 2n n n a t dt ππ=⎰222sin sin 22n n t dt tdt n πππππ===⎰⎰.⎪⎭⎫⎝⎛+-=-+1111111n n a a n nπ.111nn k S =⎛⎫=-⎝∑=1111n k =-∑111n ⎫-⎪+⎭, =S 1lim11n n →∞⎫-=⎪+⎭六、设()fx 在[)+∞,0上连续且单调增加，试证：对任意正数a ，b ，恒有()()()[]⎰⎰⎰-≥baba dx x f a dx x fb dxx xf 0021.解：令()()0xF x x f t dt =⎰，则()()()0x F x f t dt xf x '=+⎰,()()()b aF b F a F x dx '-=⎰=()()0b xa f t dt xf x dx ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦⎰⎰()()b a xf x xf x dx ≤⎡+⎤⎣⎦⎰=()2baxfx dx ⎰,于是()()()()()001122b ba axf x dx F b F a b f x dx a f x dx ⎡⎤≥⎡-⎤=-⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰. 七、设()v u ,ϕ具有连续偏导数，由方程()bz y az x --,ϕ=0确定隐函数()y x z z ,=，求yz bxz a∂∂+∂∂.解：两边对x 求偏导得1210z z a b x x ϕϕ∂∂⎛⎫⎛⎫''-+-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ ,两边对y 求偏导得1210z z a b y y ϕϕ⎛⎫⎛⎫∂∂''-+-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ ,112z xa b ϕϕϕ'∂=∂''+，212z xa b ϕϕϕ'∂=∂''+, yz bxz a∂∂+∂∂=1.八、设nn x n 121112----= ，判别数列{}n x 的敛散性.解：定义00x =，令1k k k u x x -=-，则1nk n k u x ==∑,当2n ≥时，1n n n u x x -=-=--,2211--==+.1lim4n n u →∞=,由11n ∞=∑可知1n n u ∞=∑收敛，从而{}n x 收敛.九、设半径为r 的球面∑的球心在球面0∑：()22220x y z RR ++=>上，问当r 为何值时，球面∑在球面0∑内部的那部分面积最大？解：由对称性可设∑的方程为()2222x y z R r ++-=，球面∑被球面0∑所割部分的方程为z R =-，z x x∂=∂, z y x∂=∂,=球面∑与球面0∑的交线在xoy 平面的投影曲线方程为422224rx y r R+=-，令l =所求曲面面积为()20l DS r d πθρ==⎰⎰⎰⎰,=222r r r R π⎛⎫- ⎪⎝⎭.令()0S r '=得驻点43r R =,容易判断当43r R =时，球面∑在球面0∑内部的那部分面积最大.十.计算()ds yx yx I L ⎰+-+=22221，其中曲线弧L 为：x y x 222=+，0≥y .解： 22x x y -=, (1) 221xx x y --=',ds ==， (2)将(1)、(2)代入()ds yx yx I L ⎰+-+=22221得dx xx xI 22212-=⎰ =dx x⎰-2212 =4.十一.计算曲面积分()3322231I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++-⎰⎰，其中∑是曲面221y x z --=被平面0=z 所截出部分的上侧.解：记1∑为xoy 平面上被园221x y +=所围成的部分的下侧，Ω为由∑与0∑围成的空间闭区域.由高斯公式知)()13322222316x dydz y dzdx z dxdy x y z dv ∑∑Ω+++-=++⎰⎰⎰⎰⎰=()221126r d dr z r rdz πθ-+⎰⎰⎰=()()122320112112r r r r dr π⎡⎤-+-⎢⎥⎣⎦⎰ =2π.()221332122313x y x dydz y dzdx z dxdy dxdy ∑+≤++-=--⎰⎰⎰⎰=3π23I πππ=-=-。
历年全国大学生数学竞赛初赛真题全(数学类)十一届试卷高清无水印(2009-2019)
（数学类）试卷第一题：(15分)求经过三平行直线1:L x y z ==，2:11L x y z -==+，3:11L x y z =+=-的圆柱面的方程.第二题：(20分)设n nC ⨯是n n ⨯复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C 上的线性空间，12100010*******n n n a a a F a --⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (1)假设111212122212n n n n nn aa a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，若AF FA =，证明： 121112111n n n n A a F a F a F a E ---=++++ ；(2)求n nC⨯的子空间{}()|n n C F X C FX XF ⨯=∈=的维数.第三题：(15分)假设V 是复数域C 上n 维线性空间（0n >），,f g 是V 上的线性变换. 如果fg gf f -=，证明：f 的特征值都是0，且,f g 有公共特征向量.第四题：(10分)设{}()n f x 是定义在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足()nf x M '≤.（1）证明{}()n f x 在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上一致收敛；（2）设()lim ()n n f x f x →∞=，问()f x 是否一定在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上处处可导, 为什么？第五题：(10分)设320sin d sin n nt a t t t π=⎰，证明11nn a ∞=∑发散.第六题：(15分)(,)f x y 是{}22(,)|1x y x y +≤上二次连续可微函数，满足222222f f x y x y ∂∂+=∂∂，计算积分221d d x y I x y +≤⎛⎫=⎰⎰第七题：(15分)假设函数()f x 在[0,1]上连续，在()0,1内二阶可导，过点(0,(0))A f ，与点(1,(1))B f 的直线与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ，其中01c <<. 证明：在 ()0,1内至少存在一点ξ，使()0f ξ''=.（数学类）试卷一、（本题共10分）设(0,1)ε∈，0x a =，1sin 0,1,2).n n x a x n ε+=+= （证明lim n n x ξ→+∞=存在，且ξ为方程sin x x a ε-=的唯一根.二、（本题共15分）设01030002010000B ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 证明2X B =无解，这里X 为三阶未知复方阵.三、（本题共10分）设2D ⊂ 是凸区域，函数(,)f x y 是凸函数. 证明或否定：(,)f x y 在D 上连续.注：函数(,)f x y 为凸函数的定义是(0,1)α∀∈以及1122(,),(,)x y x y D ∈，成立12121122((1),(1))(,)(1)(,)f x x y y f x y f x y αααααα+-+-≤+-.四、（本题共10分） 设()f x 在0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上黎曼(Riemann)可积，在1x =可导，(1)0,f =(1)f a '=. 证明：120lim ()d .n n n x f x x a →+∞=-⎰五、（本题共15分）已知二次曲面∑（非退化）过以下九点：(1,0,0),(1,1,2),(1,1,2),(3,0,0),(3,1,2),(3,2,4),(0,1,4),(3,1,2),(5,8).A B C D E F G H I ------问∑是哪一类曲面？六、（本题共20分） 设A 为n n ⨯实矩阵（未必对称），对任一n 维实向量T 1(,,),0n A ααααα=≥ （这里T α表示α的转置），且存在n 维实向量β使得T 0A ββ=. 同时对任意n 维实向量x 和y ，当T 0xAy ≠时有TT 0xAy yAx +≠. 证明：对任意n 维实向量v ，都有T0.vA β=七、(本题共10分) 设f 在区间0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上黎曼(Riemann)可积，0 1.f ≤≤ 求证：对任何0ε>，存在只取值为0和1的分段（段数有限）常值函数()g x ，使得,0,1αβ⎡⎤⎡⎤∀⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()()().f x g x dxβαε-<⎰八、(10分) 已知:(0,)(0,)ϕ+∞→+∞是一个严格单调下降的连续函数，满足0lim (),t t ϕ+→=+∞且10()d ()d ,t t t t a ϕϕ+∞+∞-==<+∞⎰⎰其中1ϕ-表示ϕ的反函数. 求证：32212001()d ()d .2t t t t a ϕϕ+∞+∞-⎡⎤⎡⎤+≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰（数学类）试卷一、（本题15分）已知四点(1,2,7),(4,3,3),(5,1,0).-试求过这四点的球面方程。
大学数学竞赛试题及答案
大学数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 下列哪个选项不是实数？A. πB. iC. √2D. -1答案：B2. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2在区间[-4, -1]上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减答案：C3. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第10项a10的值。
A. 23B. 27C. 29D. 31答案：A4. 圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，求圆与直线的位置关系。
A. 相离B. 相切C. 相交D. 内含答案：C5. 已知矩阵A = [[1, 2], [3, 4]]，求矩阵A的行列式。
A. 0B. 1C. 7D. 8答案：C6. 以下哪个级数是收敛的？A. 1 + 1/2 + 1/4 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...D. 1 - 1/2 + 1/4 - 1/8 + ...答案：A二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知函数g(x) = 2x - 3，求g(4)的值：________。
答案：58. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度：________。
答案：59. 求函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 3x的极小值点：________。
答案：x = 110. 已知一个球的体积是(4/3)π，求该球的半径：________。
答案：1三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意实数x，不等式e^x ≥ x + 1始终成立。
证明：略12. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求该函数的极值点。
解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 11。
令f'(x) = 0，解得x = 1, 3。
通过二阶导数检验，可知x = 1为极大值点，x = 3为极小值点。
全国大学生数学竞赛预赛试题(1-9届)
全国大学生数学竞赛预赛试题(1-9届)第三届全国大学生数学竞赛预赛试题一． 计算下列各题（共3小题，每小题各5分，共15分）（1）.求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭； （2）.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭； （3）已知()2ln 1arctan ttx e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，求22d ydx。
二．（10分）求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解。
三．（15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且()()()'"0,0,0f f f 均不为0，证明：存在唯一一组实数123,,k k k ，使得()()()()1232230lim0h k f h k f h k f h f h→++-=。
四．（17分）设2221222:1x y z a b c∑++=，其中0a b c >>>，2222:z x y ∑=+，Γ为1∑与2∑的交线，求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。
五．（16分）已知S 是空间曲线2231x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分（0z ≥）取上侧，∏是S 在(),,Px y z 点处的切平面，(),,x y z ρ是原点到切平面∏的距离，,,λμν表示S的正法向的方向余弦。
计算：（1）(),,S zdS x y z ρ⎰⎰；（2）()3S z x y z dS λμν++⎰⎰六．（12分）设f(x)是在(),-∞+∞内的可微函数，且()()f x mf x <、，其中01m <<，任取实数0a ，定义()1ln ,1,2,...,n n a f a n -==证明：()11n n n a a ∞-=-∑绝对收敛。
七．（15分）是否存在区间[]0,2上的连续可微函数f(x)，满足()()021f f ==，()()201,1fx f x dx ≤≤⎰、？请说明理由。
07-第七届全国初赛-非数学类试题参考解答
f x 4 或 f x 4 恒成立，与 0 f x dx 0 矛盾。
再由 f x 的连续性及(1)的结果，利用介值定理，可得 x1 0,1 使得 f x1 4.
第六题：(16 分)设 f x, y 在x2 y2 1 上有连续的二阶导数，fx2x 2fx2y fy2y M .
.
i
1
【参考解答】：由于
n
i sin
n
sin
n
1
n
i sin ,
n 1 i1
n
i i1 n
n i1
n
n
1 n i
n n i 1
2
lim
sin lim
sin sin xdx ,
n n 1 i1 n n n 1 n i1 n 0
竞赛真题解析在线课堂请单击公众号菜单“高数线性”-“在线课堂视频教学”或公众号回复“在线课堂” 2
更多参考资料参见微信公众号：考研竞赛数学(ID: xwmath)
n3 2
n
第四题：(14 分)求级数
x 1 的收敛域与和函数.
n0 n 1!
【参考解答】：因 lim an1 lim n 13 2 0. 所以收敛半径为 R ，即收敛域为
2,
x 1.
1
1
第五题：(16 分)设函数 f 在 0, 1 上连续，且 0 f x d x 0, 0 xf x d x 1. 试证：
(1) x0 0, 1 使得 f x0 4 ;
(2) x1 0, 1 使得 f x1 4.
用 S1(x), S2 (x), S3 (x) 分别表示上式右端三个幂级数的和，依据 ex 的幂级数展开式可得到
第七届全国大学生数学竞赛真题及答案(数学类专业答案)
于L1和L2。
......(4分)
设X −X−→Y
= =
−PP→Q+−svsv∈+Lt1w和垂Y直=于Qv+和tww
∈ L2 也使得XY ，故有 −s + (v
同时垂直于L1和L2，则有 · w)t = 0 和 −s(v · w) + t
=
0
。由于(v · w)2 < 1 ，我们得到s = t = 0 , 即X = P ，Y = Q，这样的P 和Q存在且唯
由 (1) 可得
(1 + a + · · · + an−1)M.
|gn(x)|
x
|f (x)| + |h(t)| |gn−1(t)| dt
0
+∞
M+
|h(t)|(1 + a + · · · + an−1)M dt
0
= M + a(1 + a + · · · + an−1)M
= (1 + a + · · · + an−1 + an)M.
+ λ32 + λ42
+ +
λ33 λ43
+ +
λ34 λ44
= =
3 · · · · · · · · · · · · (3) 4 · · · · · · · · · · · · (4)
由（1）和（2）得
......(10分)
a2
=
λ1λ2
+
λ1λ3
+
λ1λ4
+
λ2λ3
大学数学竞赛题库及答案
大学数学竞赛题库及答案大学数学竞赛通常涵盖了高等数学、线性代数、概率论与数理统计、数学分析等多个领域。
以下是一些典型的大学数学竞赛题目及其答案。
# 题目一：高等数学题目：求函数 \( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \) 在区间 \( [1, 2] \)上的最大值和最小值。
答案：首先，我们找到函数的导数 \( f'(x) = 6x - 2 \)。
令导数等于零，解得 \( x = \frac{1}{3} \)。
这个点不在给定区间内，所以我们需要检查区间端点的函数值。
在 \( x = 1 \) 时，\( f(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 1 = 2 \)。
在 \( x = 2 \) 时，\( f(2) = 3(2)^2 - 2(2) + 1 = 9 \)。
因此，函数在区间 \( [1, 2] \) 上的最大值为 9，最小值为 2。
# 题目二：线性代数题目：求解线性方程组：\[ \begin{cases}x + y + z = 6 \\2x - y + z = 1 \\3x + y + 2z = 8\end{cases} \]答案：我们可以使用高斯消元法来解这个方程组。
首先将方程组写成增广矩阵的形式，然后进行行操作：\[ \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\2 & -1 & 1 & 1 \\3 & 1 & 2 & 8\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 1 & 1 & 6 \\0 & -3 & -1 & -11 \\0 & 1 & 1 & 2\end{array}\right] \]继续行操作，得到：\[ \left[\begin{array}{ccc|c}1 & 0 & -2 & -5 \\0 & 1 & 1 & 2 \\0 & 0 & 3 & 13\end{array}\right] \]最后，我们得到解为 \( x = 1, y = 2, z = 3 \)。
全国大学生数学竞赛初赛2015年第七届《非数学专业》竞赛题目及答案解析高清无水印版
n 1! n 1! n 1! n 1! n 2! n! n 1!
n
x 1
n
x 1
n
x 1
及幂级数
,
,
的收敛域都为 , ，得
n2 n 2 ! n0 n! n0 n 1!
n3 2
x 1n
n
x 1
n
x 1
n
x 1
n0 n 1!
n2 n 2! n0 n! n0 n 1!
. 又由于 S3 1 1.
x 1
综合以上讨论，最终幂级数的和函数为
S
x
x2 2x 2
ex1
1 x 1
ex1 1
, x 1,
2,
x 1.
1
1
第五题：(16 分)设函数 f 在 0, 1 上连续，且 0 f x d x 0, 0 xf xd x 1. 试证：
1
y
x
Fu
x
x
x2
Fv
0
x
x
xFu yFv
,
z x zFu y 2 Fv
类似可得 y
, 于是有
y
xFu yFv
x z y z xy xFu yFv z xFu yFv z xy.
x y
xFu yFv
(3) 曲面 z x2 y2 1 在点 M 1, 1, 3 的切平面与曲面 z x2 y2 所围区域的体积
2015 年第七届全国大学生数学竞赛初赛（非数学类）
试卷及参考答案
一、填空题（共 5 小题，每小题 6 分，共 30 分）
(1)
极限
lim
n
n
nsi2nn1
sin 2
n
南昌大学第七届高等数学竞赛(数学专业类)试题答案
序号：姓名：____学院:
专业：学号：考试日期：2010年10月
题号
一
二
三
四
五
六
七
八
九
总分
累分人签名
题分
30
9
9
9
9
9
9
8
8
100
得分
考生注意事项：1、本试卷共5页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。
2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
即
从而有 ，
则 ,由 知， ，
为了计算 ,取 为单位圆周 ，则
六、设 在 上可微，且 ，M是 的上界，则M .
由拉格朗日定理及 ，知存在c
= =
于是，M
七、设 在 上有连续偏导数，且
（1）若 求
（2）若 求 .
（1） 两端关于 求导，得
当 时， = ，又 在 上有连续偏导数，所以
=
（2）由 ，知
又由 ，得
的开覆盖及有限覆盖定理得存在有限个小开区间ydxxdy其中a是常数如图所示设c是不包含原点在内的任一分段光滑的简单闭曲线在上任意取定两点ab作围绕原点的闭曲线akbna同时得到另一绕原点的闭曲线akbma由题设条件知akbmaakbnaydxxdyydxxdybmabnaydxxdyydxxdyydxxdyydxxdyydxxdy两端关于x求导得limdx存在n使得结论对证
证明：
对 ， ， ，
，但是有
所以，函数 在 上不一致连续.
三、设函数 在 上有定义且在每一点处函数的极限存在，求证： 在 上有界.
证明：
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
第七至十九届中国数学奥林匹克竞赛试题含答案
第七至十九届中国数学奥林匹克竞赛试题第七届中国数学奥林匹克 (1992年)1. 设方程x n +a n-1x n-1+a n-2x n-2+....+a 1x+a 0=0的系数都是实数，且适合条件0<a 0≦a 1≦a 2≦....≦a n-1≦1。
已知λ为方程的复数根且适合条件|λ|>1，试证：λn+1=1。
2. 设x 1, x 2, ... , x n 为非负实数，记 x n+1= x 1，a=min{x 1, x 2, ... , x n }，试证：n Σ i=1 1+x i _ 1+x i+1 ≦n+ 1 (1+a)2nΣ i=1(x i -a)2 ，3. 且等式成立当且仅当 x 1 =x 2= ... =x n 。
4. 在平面上划上一个9x9的方格表，在这上小方格的每一格中都任意填入+1或-1。
下面一种改变填入数字的方式称为一次变动；对于任意一个小方格有一条公共边的所有小方格(不包含此格本身)中的数作连乘积，于是每取一个格，就算出一个数，在所有小格都取遍后，再将这些算出的数放入相应的小方格中。
试问是否总可以经过有限次变动，使得所有方小方格中的数都变为1？5. 凸四边形内接于圆O ，对角线AC 与BD 相交于P ，ΔABP 与ΔCDP 的外接圆相交于P 和另一点Q ，且O 、P 、Q 三点两两不重合。
试证∠OQP=90。
6. 在有8个顶点的简单图中，没有四边形的图的边数的是大值是多少？7. 已知整数序列{a 1, a 2, ...... }满足条件：1. a n+1=3a n -3a n-1+a n-2，n=2, 3, .....。
2. 2a 1= a 0+a 2-2。
3. 对任意的自然数m ，在序列{a 1, a 2, ...... }中必有相继的m 项a k , a k+1, ... , a k+m-1都为完全平方数。
试证：序列{a 1, a 2, ...... }的所有项都是完全平方数。