山东高考数学一轮总复习学案设计-第八章第五讲椭圆含答案解析

第五讲椭圆

知识梳理·双基自测

知识梳理

知识点一椭圆的定义

平面内与两个定点F1、F2的__距离的和等于常数(大于|F1F2|)__的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的__焦点__，两焦点间的距离叫做椭圆的__焦距__．

注：若集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a、c为常数，则有如下结论：

(1)若a＞c，则集合P为__椭圆__；

(2)若a＝c，则集合P为__线段F1F2__；

(3)若a＜c，则集合P为__空集__．

知识点二椭圆的标准方程和几何性质

标准方程x2

a2＋

y2

b2＝1(a＞b＞0)

y2

a2＋

x2

b2＝1(a＞b＞0)

图形

性质

范围

－a≤x≤a

－b≤y≤b

－b≤x≤b

－a≤y≤a 对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点

顶点

A1(－a,0)，A2(a,0)

B1(0，－b)，B2(0，b)

A1(0，－a)，A2(0，a)

B1(－b,0)，B2(b,0) 轴

长轴A1A2的长为__2a__；

短轴B1B2的长为__2b__

焦距|F1F2|＝__2c__

离心率e＝

c

a∈(0,1)

a、b、c__c2＝a2－b2__

重要结论

1．a ＋c 与a －c 分别为椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值． 2．过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦|AB |＝2b 2

a ，称为通径．

3．若过焦点F 1的弦为AB ，则△ABF 2的周长为4a ． 4．e ＝

1－b 2a

2． 5．椭圆的焦点在x 轴上⇔标准方程中x 2项的分母较大，椭圆的焦点在y 轴上⇔标准方程中y 2项的分母较大．

6．AB 为椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的弦，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，弦中点M (x 0，y 0)，则

(1)弦长l ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝

1＋1

k

2|y 1－y 2|； (2)直线AB 的斜率k AB ＝－b 2x 0

a 2y 0

．

双基自测

题组一 走出误区

1．(多选题)下列结论正确的是( CD )

A ．平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆

B ．椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆

C ．方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆

D ．x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0)的焦距相同

题组二 走进教材

2．(必修2P 42T4)椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( C )

A ．4

B ．8

C ．4或8

D ．12

[解析] 当焦点在x 轴上时，10－m >m －2>0， 10－m －(m －2)＝4，∴m ＝4．

当焦点在y 轴上时，m －2>10－m >0，m －2－(10－m )＝4，∴m ＝8． ∴m ＝4或8．

3．(必修2P 68A 组T3)过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 2

4

＝1有相同焦点的椭圆的方程为( A )

A ．x 215＋y 2

10＝1

B ．x 225＋y 2

20＝1

C ．x 210＋y 2

15＝1

D ．x 220＋y 2

15

＝1

题组三 考题再现

4．(2019·湖南郴州二模)已知椭圆E 的中心为原点，焦点在x 轴上，椭圆上一点到焦点的最小距离为22－2，离心率为22，则椭圆E 的方程为 x 28＋y 2

4

＝1 ．

[解析] ∵椭圆上一点到焦点的最小距离为a －c ， ∴a －c ＝22－2，∵离心率e ＝22

， ∴c a ＝2

2

， 解得a ＝22，c ＝2，则b 2＝a 2－c 2＝4， ∴椭圆E 的方程为x 28＋y 2

4

＝1．

5．(2018·课标全国Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( D )

A ．1－3

2

B ．2－ 3

C ．

3－1

2

D ．3－1

[解析] 设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝3x ，|F 1F 2|＝2x ，故2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝(1＋3)x,2c ＝|F 1F 2|＝2x ，于是离心率e ＝c a ＝2c 2a ＝2x

(1＋3)x

＝3－1．

KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU

考点突破·互动探究

考点一 椭圆的定义及应用——自主练透

例1 (1)(2019·泉州模拟)已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果

M 是线段F 1P 的中点，那么动点M 的轨迹是( B )

A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线的一支

D ．抛物线

(2)已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点．则|P A |＋|PF |的最大值和最小值分别为 6＋2，6－2 ．

(3)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且∠F 1PF 2