第3章 A算法
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计算方法(3)第三章 线性代数方程组的解法
“回代”解得
xn
bn ann
xk
1 akk
[bk
n
akj x j ]
j k 1
其中aii 0 (i 1,2,......, n)
(k n 1, n 2, ,1)
返回变量
函数名
function X=backsub(A,b) 参数表
%Input—A is an n×n upper- triangular nonsingullar matrix % ---b is an n×1 matrix
x1
xi
b1 / a11
i 1
(bi aik
k 1
xk ) / aii
(i
2,3,
, n)
如上解三角形方程组的方法称为回代法.
二. 高斯消元法(Gaussian Elimination)
高斯消元法的求解过程,可大致分为两个阶段:首先, 把原方程组化为上三角形方程组,称之为“消元”过 程;然后,用逆次序逐一求出上三角方程组(原方程组的 等价方程组)的解,称之为“回代”过程.
符号约定:
1. (λEi )(Ei ): 第i个方程乘以非零常数λ。 2. (Ei +λEj )(Ei ): 第j个方程乘以非零常数λ
加到第i个方程。
3.（Ei )(Ej )： 交换第i个方程与第j个方程。
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1
a21
x1 4 x4 x2 4 1 2 1
故解为（x1，x2 ，x3 ，x4 )T (1，2，0，1)T
A=[1 1 0 1;0 -1 -1 -5;0 0 3 13;0 0 0 -13] b=[4;-7;13;-13] X=backsub(A,b)
计算理论第3章
下面证明此算法的有效性。 显然对任何变元A∈NEWＶＮ,不论A是在第⑵步还是在第 ⑸步加入到NEWＶＮ中的,都有派生A*w,其中w∈ＶＴ*。 只证明G中任何派生A*w，w∈ＶＴ*,必有A∈NEWＶＮ。 (对派生的步数归纳证明) a)若此派生是一步完成的，即有Aw，则说明P中有产 生式Aw，于是A在算法的第⑵步被添加到NEWＶＮ中。 b)假设G中派生A*w是少于k步完成的,则A∈NEWＶＮ。 c)当G中有k步派生AX1X2 …Xnk-1w，不妨设 w=w1w2 …wn，其中Xi*wi，(i=1,2,…,n)，而且由于这些 派生的步数少于k步，如果Xi是变元，则根据假设b）得Xi 最终会加入到NEWＶＮ中。在执行算法的第⑷步时 OLDＶＮ:=NEWＶＮ,当最后一个Xi加入OLDＶＮ时，在执 行算法的第⑸步时，就将A加入到NEWＶＮ中。
149
2．构造P’：是由P中只含有(ＶＮ’∪ＶＴ’)中的符号的 产生 式构成的。 3．证明L(G)=L(G’) a）显然有L(G’)L(G)，因为ＶＮ’ＶＮ，ＶT’ＶT， P’ Ｐ，所以G’中任何派生S*w，在G中也有S*w。所以 L(G’)L(G)。 b）证明L(G)L(G’)，任取w∈L(G)，不妨设w在G中的 派生为S*αXβ*w，其中α,β∈(ＶＮ∪ＶＴ)*，由上 述算法可知，在此派生中出现的所有符号，都不会因为 对G使用此引理而被去掉，所以这些符号必在ＶＮ’∪Ｖ Ｔ’ 中，此派生中所用到的产生式也在P’中，所以这个派生 在G’中也可以实现，因而必有w∈L(G’)。 故 150 L(G)L(G’)。
解：先对G应用引理3-2.1方法处理，执行此算法得到的 结果如表3-2.2所示。 循环次数i OLDＶＮ NEWＶＮ 初值 Φ {S,A} 1 {S,A} {S,A }
152
《算法导论》[第3章]函数的增长-[3.1]渐进记号
![《算法导论》[第3章]函数的增长-[3.1]渐进记号](https://img.taocdn.com/s3/m/173f96e0afaad1f34693daef5ef7ba0d4a736daa.png)
《算法导论》[第3章]函数的增长-[3.1]渐进记号|概念回顾|当输⼊规模⼤到使只有运⾏时间的增长量级有关时，就使在研究算法的渐进效率。
⼏个重要渐进记号的定义：Θ(g(n))={ f(n): 存在正常数c1,c2和n0，使对所有的n>=n0，有0<=c1g(n)<=f(n)<=c2g(n) }O(g(n))={ f(n): 存在正常数c和n0，使对所有n>=n0，有0<=f(n)<=cg(n) }Ω(g(n))={ f(n): 存在正常数c和n0，使对所有n>=n0，有0<=cg(n)<=f(n) }o(g(n))={ f(n): 对任意正常数c，存在常数n0>0，使对所有的n>=n0，有0<=f(n)<=cg(n) }ω(g(n))={ f(n): 对任意正常数c，存在常数n0>0，使对所有的n>=n0，有0<=cg(n)<f(n) }|习题解答|3.1-1 设f(n)与g(n)都是渐进⾮负函数。
利⽤Θ记号的基本定义来证明max(f(n),g(n))=Θ(f(n)+g(n))。
证明：因为f(n)和g(n)都使渐进⾮负函数，同时假设存在这样的整数c1,c2和n0，使得：0<=c1(f(n)+g(n))<=max(f(n)+g(n))<=c2(f(n)+g(n)) 成⽴。
令c2=1，则第3个不等式显然成⽴，因为两正数之和定⼤于两个中的最⼤值；再令c1=1/2，则第2个不等式也成⽴，因为两正数中最⼤的⼀个数定⼤于或等于两数的平均值；第1个不等式，因为f(n)与g(n)都使渐进⾮负，所以也显然成⽴。
综上，既该等式确实成⽴。
最后再根据Θ记号的定义可得：max(f(n),g(n))=Θ(f(n)+g(n))。
3.1-2 证明对任意实常数a和b，其中b>0，有[2] (n+a)^b=Θ(n^b)证明：要想证明上式成⽴，先要来证明等式：[1] 0<=c1(n^b)<=(n+a)^b<=c2(n^b)也就使说存在两个正常数c1,c2，使得当n充分⼤时(n+a)^b，能够被夹在c1(n^b)和c2(n^b)中间。
七年级数学上册第3章一元一次方程3.3一元一次方程的解法第2课时用去分母解方程课件新版湘教版
知识点 解含分母的一元一次方程
1. 把方程 3x＋2x－3 1＝－x＋2 1去分母，正确的是 (C)
A．3x＋2(2x－1)＝－3(x＋1) B．18x＋2(2x－1)＝－3x＋1 C．18x＋2(2x－1)＝－3(x＋1) D．3x－2×2x－1＝－3x＋1
2. 下列方程去分母后，所得结果错误的有( B )
规律 ．
，
第
10
个方程
【解析】根据题意得第 n 个方程为nx＋n＋x 1＝2n＋1，
解为 x＝n(n＋1)，所以第 10 个方程为1x0＋1x1＝21，其解
为 x＝10×11＝110.
2. 某同学在解方程2x－3 1＝x＋3 a－2 去分母时，方程 右边的－2 没有乘 3，其他步骤正确，这时求得的方程的 解为 x＝2，试求 a 的值，并求出原方程的正确的解．
解：设甲、乙两地的路程为 x km， 列方程为x5－x7＝20， 解得 x＝350. 答：略．
1. 有一系列方程：第 1 个方程是 x＋2x＝3，解为 x
＝2；第 2 个方程是2x＋3x＝5，解为 x＝6；第 3 个方程是3x
＋ 是
4x1x＝0＋71，x1＝解2为1 ，x其＝解12为；
…根据 x＝110
法．请用这种方法解方程： 5(2x＋3)－34(x－2)＝2(x－2)－12(2x＋3)．
解：移项、合并同类项得121(2x＋3)＝141(x－2)， 约分、去分母得 2(2x＋3)＝x－2， 去括号，得 4x＋6＝x－2， 移项、合并同类项，得 3x＝－8， 两边都除以 3，得 x＝－83.
10. 从甲地到乙地，公共汽车原需行驶 7 h，开通高 速公路后，车速平均每小时增加了 20 km，只需 5 h 即可 到达，求甲、乙两地的路程．
编译原理第3章
• 二、有限自动机（FA：Finite Automata）
1、说明：
• 有限自动机是具有离散输入输出系统的数学模型。它具 有有限数目的内部状态，系统可以根据当前所处的状态 和面临的输入字符决定系统的后继行为。其当前状态概 括了过去输入处理的信息
输入带
a b
c d
读头
e ……
有限状态控制器
2014-5-22 12
3.1 正规文法与有限自动机
• 二、有限自动机
电梯是典型的有限状态自动机 那电梯如何描述呢? 电梯的程序又如何构造呢?
2014-5-22
13
3.1 正规文法与有限自动机
• 二、有限自动机－分别讲解
2、确定有限自动机（DFA）
• 确定有限自动机DFA是一个五元组 M(S,,f,s0,Z），其中：
• 1. 取I0=S0 • 2. 若状态集Q中有状态Ii={s0,s1,……sj} , sk∈S , 0 kj;而 且M机中有f({s0,s1,……sj},a)= f(s0,a)∪f(s1,a)…∪f(sj,a) ={s0,s1,……st} =It，若It不在Q中，则将It加入Q。 • 3. 重复第(2)步，直至Q中没有新的状态加入 • 4.取终态F={I | I ∈ Q,且I ∩ Z }
例：已知正规文法G1的产生式，求出它所定义的正规式。
产生式为：SaS|aB BbB|bA AcA|c
• 解：由产生式写出对应的联立方程组： S＝aS|aB （ 1） B＝bB|bA （ 2） A＝cA|c （ 3） 运用定理2求解(1)(2)(3): …
2014-5-22
11
3.1 正规文法与有限自动机
• 注意：
– 仅由字母表A={ai| i=1,2,……n}上的正规式所组成的语言 称作正规集，记作L() – 利用正规集相同，可用来证明相应正规式等价 – “|”读作为“或”，也可写作为“+”或“，”；“•”读作 连接
1、说明：
• 有限自动机是具有离散输入输出系统的数学模型。它具 有有限数目的内部状态，系统可以根据当前所处的状态 和面临的输入字符决定系统的后继行为。其当前状态概 括了过去输入处理的信息
输入带
a b
c d
读头
e ……
有限状态控制器
2014-5-22 12
3.1 正规文法与有限自动机
• 二、有限自动机
电梯是典型的有限状态自动机 那电梯如何描述呢? 电梯的程序又如何构造呢?
2014-5-22
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3.1 正规文法与有限自动机
• 二、有限自动机－分别讲解
2、确定有限自动机（DFA）
• 确定有限自动机DFA是一个五元组 M(S,,f,s0,Z），其中：
• 1. 取I0=S0 • 2. 若状态集Q中有状态Ii={s0,s1,……sj} , sk∈S , 0 kj;而 且M机中有f({s0,s1,……sj},a)= f(s0,a)∪f(s1,a)…∪f(sj,a) ={s0,s1,……st} =It，若It不在Q中，则将It加入Q。 • 3. 重复第(2)步，直至Q中没有新的状态加入 • 4.取终态F={I | I ∈ Q,且I ∩ Z }
例：已知正规文法G1的产生式，求出它所定义的正规式。
产生式为：SaS|aB BbB|bA AcA|c
• 解：由产生式写出对应的联立方程组： S＝aS|aB （ 1） B＝bB|bA （ 2） A＝cA|c （ 3） 运用定理2求解(1)(2)(3): …
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3.1 正规文法与有限自动机
• 注意：
– 仅由字母表A={ai| i=1,2,……n}上的正规式所组成的语言 称作正规集，记作L() – 利用正规集相同，可用来证明相应正规式等价 – “|”读作为“或”，也可写作为“+”或“，”；“•”读作 连接
03第三章 遗传算法
第三章遗传算法习题与答案1.填空题（1）遗传算法的缩写是，它模拟了自然界中过程而提出，可以解决问题。
在遗传算法中，主要的步骤是、、。
（2）遗传算法的三个算子是、、。
解释：本题考查遗传算法的基础知识。
具体内容请参考课堂视频“第3章遗传算法”及其课件。
答案：（1）GA，生物进化，全局优化，编码，计算适应度函数，遗传算子（2）选择，交叉，变异2.对于编码长度为7的二进制编码，判断以下编码的合法性。
（1）[1020110]（2）[1011001]（3）[0110010]（4）[0000000]（5）[2134576]解释：本题考查遗传算法的二进制编码的合法性。
具体内容请参考课堂视频“第3章遗传算法”及其课件。
答案：（1）[1020110]不合法，不能出现“2”（2）[1011001]合法（3）[0110010]合法（4）[0000000]合法（5）[2134576]不合法，不能出现0、1以外的数字3.下图能够基本反映生物学遗传与优胜劣汰的过程。
理解该图，联想计算类问题求解，回答下列问题。
（1）下列说法正确的是_____。
（多选）A）任何一个生物个体的性状是由其染色体确定的，染色体是由基因及其有规律的排列所构成的，因此生物个体可由染色体来代表。
B）生物的繁殖过程是通过将父代染色体的基因复制到子代染色体中完成的，在复制过程中会发生基因重组或基因突变。
基因重组是指同源的两个染色体之间基因的交叉组合，简称为“杂交/交配”。
基因突变是指复制过程中基因信息的变异，简称“突变”。
C）不同染色体会产生不同生物个体的性状，其适应环境的能力也不同。
D）自然界体现的是“优胜劣汰，适者生存”的丛林法则。
不适应环境的生物个体将被淘汰，自然界生物的生存能力会越来越强。
解释：本题考核对生物遗传观点以及所给图片的理解。
具体内容请参考课堂视频“第3章遗传算法”及其课件。
答案：A、B、C、D关于生物遗传进化的基本观点如下：（1）生物的所有遗传信息都包含在其染色体中，染色体决定了生物的性状。
第3章搜索推理技术3与或树搜索
OPEN表的末端 5、无叶节点，转到3步
OPEN= { 2，3 } CLOSED= { 1 }
第二大循环（3、4、5步）： 3、从OPEN表中取出节点2，并送到CLOSED表 4、扩展节点2，生成后继节点4、5，并送到OPEN
表的末端 5、无叶节点，转到3步
OPEN= { 3, 4, 5 } CLOSED= { 1, 2 }
1、没有后裔的非终叶节点是不可解节点
2、如果某一个非终叶节点含有“或”后继节点， 那么，只要当所有的后继节点都不可解时，这一 个非终叶节点才是不可解的
3、如果某一个非终叶节点含有“与”后继节点， 那么，只要有一个后继节点是不可解的，这一个 非终叶节点就是不可解的
可解标志过程与不可解标志过程:
根据可解与不可解节点的递归定义，用递归的方 式作用于某一个与或图，以标出所有的可解节点 与不可解节点
注意
由于深度限制，深度优先搜索算法有可能找不 到解
例： 深度界限为4
√
1
√
√
2
6
√
3
ⅩA 7 √ C
Ⅹ
4
√
5
√
8
t√
ⅩB
t
t
t
t
√
√
√
√
注：后生成的节点画在左边
课堂练习：用宽度和深度优先搜索算法找出解树
提示：对于宽度优先搜索，先生成的节点画在左； 对于深度优先搜索，后生成的节点画在左
2 4
算法结束的条件：
➢ 若初始节点被标志为可解节点，算法成 功结束（有解）
➢ 若起始节点被标志为不可解节点，则搜 索失败结束（无解）
与或图的解图： 由最少的可解节点所构成的子图，这些节 点能够使问题的起始节点是可解的
OPEN= { 2，3 } CLOSED= { 1 }
第二大循环（3、4、5步）： 3、从OPEN表中取出节点2，并送到CLOSED表 4、扩展节点2，生成后继节点4、5，并送到OPEN
表的末端 5、无叶节点，转到3步
OPEN= { 3, 4, 5 } CLOSED= { 1, 2 }
1、没有后裔的非终叶节点是不可解节点
2、如果某一个非终叶节点含有“或”后继节点， 那么，只要当所有的后继节点都不可解时，这一 个非终叶节点才是不可解的
3、如果某一个非终叶节点含有“与”后继节点， 那么，只要有一个后继节点是不可解的，这一个 非终叶节点就是不可解的
可解标志过程与不可解标志过程:
根据可解与不可解节点的递归定义，用递归的方 式作用于某一个与或图，以标出所有的可解节点 与不可解节点
注意
由于深度限制，深度优先搜索算法有可能找不 到解
例： 深度界限为4
√
1
√
√
2
6
√
3
ⅩA 7 √ C
Ⅹ
4
√
5
√
8
t√
ⅩB
t
t
t
t
√
√
√
√
注：后生成的节点画在左边
课堂练习：用宽度和深度优先搜索算法找出解树
提示：对于宽度优先搜索，先生成的节点画在左； 对于深度优先搜索，后生成的节点画在左
2 4
算法结束的条件：
➢ 若初始节点被标志为可解节点，算法成 功结束（有解）
➢ 若起始节点被标志为不可解节点，则搜 索失败结束（无解）
与或图的解图： 由最少的可解节点所构成的子图，这些节 点能够使问题的起始节点是可解的
chap3 算法与基本程序设计
C语言程序设计
第3章 算法与基本程序设计
3.2.3 I/O格式--格式字符
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 %d %o %x、%X %u %c %s %f %e、%E %g %% 十进制格式 八进制格式 十六进制格式 无符号的十进制格式 一个字符格式 字符串格式 实数格式 指数格式 e和f中较短一种格式 百分号本身
2
C语言程序设计
第3章 算法与基本程序设计
3.1 问题引入
#include <stdio.h> main( ) { double x; int a; scanf(“%lf”,&x); x=x*100+0.5; a=x; x=a/100.0;//why? printf(“%f”,x);}
3
试一下运行 时结果
特
束
C语言程序设计
第3章 算法与基本程序设计
3.2.1 字符数据的输入和输出
例: 将输入的大写字母转变为小写字母输出。
#include <stdio.h> main( ) { char ch; ch=getchar(); ch-=32; putchar(ch); }
7
运行时: a 结果: A
24
C语言程序设计
第3章 算法与基本程序设计
3.2.4 格式输入函数 scanf
可以按指定格式从键盘读入任意类型的数据。 格式：scanf( 格式字符串, 地址参数列表 );
格式 适用类型 格式 适用类型 变量的地址列表，可通过取地址运算符 &
%d获取变量地址 int %f float
%ld
%u %lu
123.456001, □□□□123.46, 123.46, 123.46
《信息技术基础》第三章 信息的加工算法及其实现
（２）第五节不是体育课，则采用错时制，单 月，高一准时下课就餐，高二高三延迟１０分钟， 再就餐．
（３）双月，高二高三准时下课就餐，高一延迟 １０分钟，再就餐．
针对生活学习中的一些小
问题，我们总能想到利用一定 的方法或一系列的具体步骤去 解决它．这些方法和步骤能够 清楚地反映出一步步“怎么做” 的过程．
思考:一个农夫带着一条狼、一头山羊和一篮
蔬菜要过河,但只有一条小船.乘船时,农夫只能 带一样东西.当农夫在场的时候,这三样东西相 安无事.一旦农夫不在,狼会吃羊,羊会吃菜.请设 计一个算法,使农夫能安全地将这三样东西带过 河.
第一步:农夫带羊过河;（剩狼、菜）
第二步:农夫独自回来;
第三步:农夫带狼过河;
1、求解某一类问题的算法是唯一的； 2、算法必须在有限步操作之后停止： 3、算法的每一步必须是明确的，不能有歧 义或模糊： 4、算法执行后一定产生确定的结果：
19
1、 算法是解决问题的( B ) A．程序代码 B． 方法与步骤 C. 计算公式 D. 最终结果
2.下列流程图符号属于输入输出框的是( A )
A.
B.
C.
D.
3.做匀加速直线运动物体的即时速度计算公式是vt = v0 + at，其中v0是初速度，a是加速度，t是时间。计算步骤有： ①用公式计算即时速度vt = v0 + at ②输入初速度v0、加速度a和时间t ③结束 ④输出结果vt 其正确的顺序是( A ) A.②①④③ B.①②③④ C.④②③① D.①④②③
《信息技术基础》
新闻背景:
重庆某重点中学，由于今年是高一入学高 峰期，学生人数剧增。每天中午第五节课 下课3000多名学生几乎同一时间涌进食堂 刷卡吃饭。其间，学生埋怨：从排队到吃 饭，时间长达约30分钟！针对这一棘手问 题，校方采取一系列的措施，努力改善这 一状况。
（３）双月，高二高三准时下课就餐，高一延迟 １０分钟，再就餐．
针对生活学习中的一些小
问题，我们总能想到利用一定 的方法或一系列的具体步骤去 解决它．这些方法和步骤能够 清楚地反映出一步步“怎么做” 的过程．
思考:一个农夫带着一条狼、一头山羊和一篮
蔬菜要过河,但只有一条小船.乘船时,农夫只能 带一样东西.当农夫在场的时候,这三样东西相 安无事.一旦农夫不在,狼会吃羊,羊会吃菜.请设 计一个算法,使农夫能安全地将这三样东西带过 河.
第一步:农夫带羊过河;（剩狼、菜）
第二步:农夫独自回来;
第三步:农夫带狼过河;
1、求解某一类问题的算法是唯一的； 2、算法必须在有限步操作之后停止： 3、算法的每一步必须是明确的，不能有歧 义或模糊： 4、算法执行后一定产生确定的结果：
19
1、 算法是解决问题的( B ) A．程序代码 B． 方法与步骤 C. 计算公式 D. 最终结果
2.下列流程图符号属于输入输出框的是( A )
A.
B.
C.
D.
3.做匀加速直线运动物体的即时速度计算公式是vt = v0 + at，其中v0是初速度，a是加速度，t是时间。计算步骤有： ①用公式计算即时速度vt = v0 + at ②输入初速度v0、加速度a和时间t ③结束 ④输出结果vt 其正确的顺序是( A ) A.②①④③ B.①②③④ C.④②③① D.①④②③
《信息技术基础》
新闻背景:
重庆某重点中学，由于今年是高一入学高 峰期，学生人数剧增。每天中午第五节课 下课3000多名学生几乎同一时间涌进食堂 刷卡吃饭。其间，学生埋怨：从排队到吃 饭，时间长达约30分钟！针对这一棘手问 题，校方采取一系列的措施，努力改善这 一状况。
AI第3章-确定性推理
③ 对那些先前已在G中出现过，并已经扩展了的M成员，确定是否 需要修改其若发生第③种情况，除了需要确定该子节点指向父节点 的指针外，还需要确定其后继节点指向父节点的指针。 其依据也是由原始节点到该节点的路径上的代价。 ⑸ 在搜索图中，除初始节点外，任意一个节点都含有且只 含有一个指向其父节点的指针。因此，由所有节点及其 指向父节点的指针所构成的集合是一棵树，称为搜索树。
① 按是否使用启发式信息可分为：
◇
盲目搜索
◇
启发式搜索
② 按问题的表示方式可分为：
◇
状态空间搜索
◇
与或树搜索
⑵、推理策略 包括推理方向控制、求解、限制、冲突消解等策略。 推理方向控制策略：用于确定推理的控制方向,可分为正向推理、
逆向推理、混合推理。
求解策略：指仅求一个解，还是求所有解或最优解等。 限制策略：指对推理的深度、宽度、时间、空间等进行的限制。 冲突消解策略：当推理过程有多条知识可用时，如何从多条可用
3.1 图搜索策略（GraphSearch）
图搜索控制可看成是一种在图中寻找路径的方法。 初始节点和目标节点分别代表初始数据库和满足终
止条件的目标数据库。
求得将一个数据库变换为另一数据库的规则序列问题, 等价于求得图中的一条路径问题。
1、图搜索的一般过程
⑴ 将初始节点S放入未扩展节点表OPEN表，并建立当前仅包含S的图G；
◇
◇
1、什么是推理
所谓推理，就是按照某种策略，由已知判断，推出另一
个判断的思维过程。 人工智能中，推理是由程序实现的，称之为推理机。 智能系统的推理过程实际上就是一种思维过程。 按照推理过程所用知识的确定与否，推理可分为：
◇ ◇
确定性推理（第3章） 不确定性推理（第4章）
《计算物理学》课件第3章
1[ 2
f
(x0 )
f
(x1)]x
1[ 2
f
(x1)
f
(x2 )]x
1[ 2
f
(xN 1)
f
(xN )]x
(3.3)
第3章 物理学中定积分的数值计算方法
积分近似计算公式为
I
b
a
f
(x)dx
N
Ci
f
( xi
)x
i0
其中，系数C0=CN=
1 2
，C1=C2=…=CN-1=1。
(3.4)
第3章 物理学中定积分的数值计算方法
以下给出三种基本数值方法计算
I
b
a
f
( x)dx
的程序。
第3章 物理学中定积分的数值计算方法
open(1,file=′int.dat′) write(*,*)′input a,b,N=?′ read(*,*)a,b,N ！ method 1： y1=0.0 do 10 j=0,N-1 x1=a x1=x1+float(j)*(b-a)/float(N) 10 y1=y1+f(x1)*(b-a)/float(N) write(1,*)N,y1
第3章 物理学中定积分的数值计算方法
【例3.2】 设有一长直导线均匀带电，线电荷密度为λ， 长度为2l。求空间任意一点P
解 建立如图3.6所示坐标系，在导线上取一小段dx，视 为点电荷，其电量为λdx，它在P(x0，y0)点产生的电势为
du
1 4πε0
dx
r
1 4πε0
[x0
dx
x2
y02
]1/2
第3章 物理学中定积分的数值计算方法
七年级上册数学第三章代数式知识点
七年级上册数学第三章代数式知识点一、代数式的概念。
1. 定义。
- 由数和表示数的字母经有限次加、减、乘、除、乘方和开方等代数运算所得的式子，或含有字母的数学表达式称为代数式。
例如：2x + 3，a^2 - b，(1)/(x)（x≠0）等都是代数式。
单独的一个数或者一个字母也是代数式，比如5，a等。
2. 代数式与等式、不等式的区别。
- 等式是表示两个代数式相等关系的式子，用“=”连接，如2x+3 = 5x - 1；不等式是表示两个代数式大小关系的式子，用“>”“<”“≥”“≤”连接，如3x+1>2x - 2。
而代数式不含有这些关系符号。
二、代数式的分类。
1. 整式。
- 单项式。
- 定义：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式。
例如：-3xy，4a，5等都是单项式。
- 系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
例如在单项式-3xy 中，系数是-3；在单项式4a中，系数是4；单项式5的系数就是5。
- 次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
例如在单项式-3xy中，x的次数是1，y的次数是1，所以单项式-3xy的次数是1 + 1=2；单项式4a的次数是1。
- 多项式。
- 定义：几个单项式的和叫做多项式。
例如2x+3y，x^2 - 2x + 1等都是多项式。
- 项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项。
例如在多项式x^2 - 2x+1中，x^2、-2x、1都是它的项，1是常数项。
- 次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。
例如在多项式x^2 - 2x + 1中，次数最高的项是x^2，其次数为2，所以这个多项式的次数是2。
2. 分式。
- 定义：一般地，如果A、B（B≠0）表示两个整式，且B中含有字母，那么式子(A)/(B)就叫做分式。
例如(1)/(x)，(x + 1)/(x - 1)等都是分式。
2024年秋新湘教版七年级上册数学教学课件 第3章 一次方程(组) 3.2 第3课时 去括号、去分母
x
=
-
1 5
应改为
x
=
-
4 3
2. 把下列方程化成x + a的形式.
（1） (4y+8)+2(3y-7)= 0 ； （2） 2(2x -1)-2(4x+3)= 7； （3） 3(x -4)= 4x-1.
解：（1） 去括号，得 4y+8+6y-14= 0，
移项，得 4y+6y = 14-8，
化简，得 10y = 6，
化简，得
- x = 11，
方程两边同除以 -11，得 x = -11.
C
D
6.把下列方程 化成x + a的形式：
(1) 2(x+3) =5x.
(2) 4x+3(2x-3)=12-(x+4).
解：(1)去括号，得 2x+6=5x. 移项，得 2x-5x=-6. 合并同类项， 得 -3x=-6. 系数化为1，得 x=2.
移项,得
6x-x=5-15,
合并同类项，得
5x=-10,
两边都除以5，得
x=-2.
上面运用乘法对加法的分配律， 将方程中的括号去掉，方程的这种变 形叫作去括号.
例题讲解
例4
去括号时,括号前的数要与括号内的每一项相乘.
在例4中，在原方程的两边都乘各个分母 的最小公倍数，从而将分母去掉，方程的这 种变形叫作去分母．
去
在方程两边同乘各分母的最小公倍数
去
分
括
母
号
不要漏பைடு நூலகம்不含分母的项
、
去
分
母
去
去括号，看符号： 是“十”，不变号； 是“－”，全变号
第3章 算法与输入输出
什么是算法? 什么是算法
为解决一个问题而采用的方法和步骤称为算法。 为解决一个问题而采用的方法和步骤称为算法。 对同一个问题，可以有不同的算法，但算法有优劣 同一个问题，可以有不同的算法， 之分，有的算法步骤少，有的算法步骤多。 之分，有的算法步骤少，有的算法步骤多。我们希望 得到方法正确，步骤少的算法。 得到方法正确，步骤少的算法。 种工具， 算法语言只是一 种工具，为实际问题设计算法才 是程序设计的核心。 是程序设计的核心。 因此，为了有效地进行解题， 因此，为了有效地进行解题，不仅需要保证算法 正确，还要考虑算法的质量，选择合适的算法。 正确，还要考虑算法的质量，选择合适的算法。
图3.5是当型循环的应用例子，图3.6是直到型循 环的应用例子。
图3.4
图3.5
图3.6
图3.5和图3.6的作用都是打印5个数：1，2，3， 4，5。可以看到， 对同一个问题既可以用当型循环 来处理，也可以用直到型循环来处理。 以上三种基本结构，有以下共同特点：
(1) 只有一个入口。 (2) 只有一个出口。请注意，一个菱形判断框 有两个出口，而一个选择结构只有一个出口。不 要将菱形框的出口和选择结构的出口混淆。 (3) 结构内的每一部分都有机会被执行到。对 每一个框来说，都应有一条从入口到出口的路径 通过它。图3.7中没有一条从入口到出口的路径通 过A框。 (4) 结构内不存在“死循环”(无终止的循环)。 图3.8就是一个死循环。
② 直到型(Until型)循环 见图3.4(b)。它的功能是先执行A框，然后判 断给定的p2条件是否成立，如果p2条件不成立， 则再执行A，然后再对p2条件作判断，如果p2条 A p2 p2 件仍然不成立，又执行A……如此反复执行A， 直到给定的p2条件成立为止，此时不再执行A， 从b点脱离本循环结构。
算法设计与分析4第三部分第三章
第三部分第三章 蛮力法
分析该算法的效率： 分析该算法的效率： S1：确定输入规模的参数为n S1：确定输入规模的参数为n S2：基本操作是内层循环体中的比较运算 S2： S3：基本操作次数的计算：外层循环执行次数为N S3：基本操作次数的计算：外层循环执行次数为N-1 内层循环执行次数为N 我们可以用求和公式给出： 次，内层循环执行次数为N-i-1次，我们可以用求和公式给出： =n(nC(n)= n − 2 n −1 =n(n-1)/2∈θ(n2)
第三部分第三章 蛮力法
排序问题是我们经常见到的，当前， 排序问题是我们经常见到的，当前，人们已经开 发出了几十种排序方法。 发出了几十种排序方法。 1、选择排序 排序思想：首先从要排序的数中选择最小的数与 排序思想： 第一个数交换位置， 第一个数交换位置，然后再从乘下的数中再 找出最小的数与第二个数交换位置， 找出最小的数与第二个数交换位置，直到剩 下两个数， 下两个数，我们选择较小的数放到倒数第二 个位置，经过n 轮这样的操作后， 个位置，经过n-1轮这样的操作后，数就按 从小到大的顺序排好了。 从小到大的顺序排好了。
第三部分第三章 蛮力法
第三，如果要解决的问题实例不多， 第三 ， 如果要解决的问题实例不多 ， 而且蛮力法可 以用一种能够接受的速度对实例求解，那么， 以用一种能够接受的速度对实例求解 ， 那么 ， 设 计一个更高效算法所花费的代价很可能是不值得 的。 第四，即使效率通常很低， 第四 ， 即使效率通常很低 ， 仍然可以用蛮力算法解 决一些小规模的问题实例。 决一些小规模的问题实例。 最后，一个蛮力算法可以为研究或教学目的服务， 最后 ， 一个蛮力算法可以为研究或教学目的服务 ， 可以用它来恒量同样问题的更高效的算法。 可以用它来恒量同样问题的更高效的算法。
第3章 算法与控制结构
4
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用伪代码描述的算法 【例3-1】判断一个正整数是否是素数。分别用自然语言、 BEGIN（算法开始） 流程图和伪代码来描述解决该问题的算法。 flag=true; 用自然语言描述的算法 输入n ; Step1：设置一个判断素数的标志量flag，初值为true（先假定 是一个素数） i=2 ; Step2：输入n的值（欲判断的数） do Step3：2赋给i（i作为除数） Step4：n被i除，得余数r{ 求n除以i的余数r ; if(余数r为0) flag=false ; Step5：如果r等于0，表示n能被i整除，n不是素数，置flag为 false i+1i ; Step6：使i自增1（i+1i） } Step7：如果flag为true而且i≤n-1，返回到Step4；否则执行下 一步 while (flag为true而且i≤n-1) 返回到do ; Step8：如果flag为true，打印“n是素数”，否则打印“n不是 if (flag为true) 输出打印“n是素数”; 素数” else 输出打印“n不是素数”; 算法结束 END（算法结束）
1)有穷性，指算法是有限的操作序列； 2)确定性，指每个操作有确定的含义，无二义性； 3)可执行性，指每个操作都是可以执行的； 4)有序性，指执行步骤严格按逻辑顺序进行； 5)可输入/输出信息，输入的信息是算法加工的对象， 而算法解决问题的结果应当输出
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2
三种基本控制结构
17
3.4 循环结构
在利用计算机解题时，往往可以把复杂的不容易
理解的求解过程转换为易于理解的操作的多次重 复，这就是循环。 在循环算法中，穷举与迭代(递推)是两类具有代 表性的基本算法。
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用伪代码描述的算法 【例3-1】判断一个正整数是否是素数。分别用自然语言、 BEGIN（算法开始） 流程图和伪代码来描述解决该问题的算法。 flag=true; 用自然语言描述的算法 输入n ; Step1：设置一个判断素数的标志量flag，初值为true（先假定 是一个素数） i=2 ; Step2：输入n的值（欲判断的数） do Step3：2赋给i（i作为除数） Step4：n被i除，得余数r{ 求n除以i的余数r ; if(余数r为0) flag=false ; Step5：如果r等于0，表示n能被i整除，n不是素数，置flag为 false i+1i ; Step6：使i自增1（i+1i） } Step7：如果flag为true而且i≤n-1，返回到Step4；否则执行下 一步 while (flag为true而且i≤n-1) 返回到do ; Step8：如果flag为true，打印“n是素数”，否则打印“n不是 if (flag为true) 输出打印“n是素数”; 素数” else 输出打印“n不是素数”; 算法结束 END（算法结束）
1)有穷性，指算法是有限的操作序列； 2)确定性，指每个操作有确定的含义，无二义性； 3)可执行性，指每个操作都是可以执行的； 4)有序性，指执行步骤严格按逻辑顺序进行； 5)可输入/输出信息，输入的信息是算法加工的对象， 而算法解决问题的结果应当输出
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2
三种基本控制结构
17
3.4 循环结构
在利用计算机解题时，往往可以把复杂的不容易
理解的求解过程转换为易于理解的操作的多次重 复，这就是循环。 在循环算法中，穷举与迭代(递推)是两类具有代 表性的基本算法。
第三章 计算机软件3.4 算法和计算机软件理论基础
空间复杂性(Space Complexity) ：
除原始数据之外，额外占用的存储空间的大小g(n)
算法分析
对一个正确的算法，分析其好坏时，应考虑以下因素：
算法是否易理解，是否易调试和易测试等 执行算法所要占用的计算机资源的多少，主要有时间复杂 度和空间复杂度两个方面。
两个度量特性
当问题的规模以某种单位由1增至n时 时间代价：解决该问题的算法运行所耗费的时间，以某种 单位由T(1)增至T(n)，则称该算法的时间代价为T(n)。 T(n)表示的是，当问题的规模n充分大时，运行该算法程序 所需时间的数量级表示 空间代价：解决该问题的算法实现时所占用存储空间也以
}
算法
什么是算法
算法体现了解决问题所需的智能。是一种将智能与他人共享的 途径 在计算机学科中 , 算法指的是 用于完成某个信 息处理任务的一组有序而明确的、可以由 计算机执行的操作 ( 或指令 ), 它能在有限时间内执行结 束并产生结果。这里所说的操作 ( 指令 )，必须是计算机 可以执行的而且是十分明确的( 什么样的输入一定得到什么 样的输出）。 计算机算法是一个有终结的过程 , 它必须在有限步瑕内 得到所 求问题的解答。
算法与程序的区别
虽然算法与计算机程序密切相关，但二者也存在区别： 计算机程序是算法的一个实例，是将算法通过某种计算 机语言表达出来的具体形式；同一个算法可以用任何一种计 算机语言来表达。 终止性区别：
一个程序不一定满足有穷性。例如一个操作系统程序。
能行性区别： 程序中的指令必须是具体机器可执行的，所有细节必须精 确描述； 对算法中的运算语句无此限制。可略过可实现的细节，采 用“伪代码”、流程图等方式来描述算法。
算法与程序
算法（Algorithm）：问题求解规则的一种过程描述。 在算法中要精确定义一系列规则，这些规则指定了相应的操作顺序， 目标是在有限的步骤内得到所求问题的解答。 算法设计方法：由粗到细，由抽象到具体的逐步求精方法
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8 1 2 6 3 7 5 4
a
2 8 1 4 6 3 7 5
b
1 2 3 8 4 7 6 5
Sg
s(a)=6,s(b)=13,s(sg)=0, h(a)=8+3*6=26,h(b)=9+3*13=48,h(sg)=0
2011-12-26 人工智能 13
3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（10） 3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（10） 启发式图搜索的 A*算法 利用上面定义的h（ ） 例：利用上面定义的 （x）解下列九宫重排问 题。
8 1 2 6 3 7 5 4
a
2 8 1 4 6 3 7 5
b
1 2 3 8 4 7 6 5
Sg
p(a)=8,p(b)=9 这种改进是对w(n)的启发信息有所增加，但仍未反映出两个 的启发信息有所增加， 这种改进是对 的启发信息有所增加 将牌对换位置的难易程度。 将牌对换位置的难易程度。
2011-12-26
2011-12-26 人工智能 5
3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（ 3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（2） 启发式图搜索的 A*算法
A算法
把附有f（S0）的初始节点 放入 的初始节点S0放入 步1 把附有 的初始节点 放入OPEN 表中； 表中； 步2 若OPEN表为空，则搜索失败，退出。 表为空，则搜索失败，退出。 表为空 移出OPEN表中第一个节点 表中第一个节点N放入 步3 移出OPEN表中第一个节点N放入 CLOSED表中，并冠以顺序编号 ； 表中， 表中 并冠以顺序编号n； 若目标节点Sg＝N，则搜索成功，结 步4 若目标节点 ，则搜索成功， 束。 不可扩展， 步5 若N不可扩展，则转步 ； 不可扩展 则转步2；
2 1 6 4 8 7 5 3
s0
1 2 3 8 4 7 6 5
Sg
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14
1 2 3 8 4 7 6 5 2 1 6 4 8 7 5 3 1 6 2 4 84 8 7 5 3 2 6 4 1 8 7 5 3 2 1 6 7 4 8 5 3 2 1 4 8 6 7 5 3
2 8 3 1 4 7 6 5
S0
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Sg
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8
扩展顺序
1
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f(x)值
3
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Sg
2 8 3 1 4 7 6 5
2
4
2 3 8 1 4 7 6 5
3
4
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5
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2 8 1 4 6 3 7 5
12
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18
45
8 4 1 2 3 7 6 5
46
8 1 2 4 3 7 6 5 8 1 3 2 4 7 6 5 8 1 3 2 4 7 6 5 1 3 8 2 4 7 6 5
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8 1 3 2 4 5 7 6 8 1 3 2 6 4 7 5
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3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（14） 3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（14） 启发式图搜索的 A*算法 修道士和野人问题。 例：修道士和野人问题。在河的左岸有五个修道 五个野人和一条船， 士、五个野人和一条船，修道士们想用这条船 将所有的人都运过河去， 将所有的人都运过河去，但受到以下条件的限 制： 修道士和野人都会划船，但船一次最 （1）修道士和野人都会划船，但船一次最 只能运三个人 运三个人； 多只能运三个人； 在任何岸边及船上野人数目 野人数目都 （2）在任何岸边及船上野人数目都不得超 过修道士，否则修道士就会被野人吃掉。 过修道士，否则修道士就会被野人吃掉。 假定野人会服从任何一种过河安排， 假定野人会服从任何一种过河安排，试规划 出一种确保修道士安全过河方案。 出一种确保修道士安全过河方案。请定义启发 函数，并给出相应的搜索树。 函数，并给出相应的搜索树。
5
8 3 2 1 4 7 6 5
5
2 8 3 7 1 4 6 5
6
2 3 1 8 4 7 6 5
4
4
5 3 1 8 4 7 6 5
6
1 2 3 8 4 7 6 5
5
4
1 2 3 8 4 7 6 5
6
1 2 3 8 4 7 6 5
6
4
3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（ 3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（6） 启发式图搜索的 A*算法
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人工智能
10
2 8 1 4 6 3 7 5 2 8 1 4 3 7 6 5 2 8 1 4 3 7 6 5 8 1 2 4 3 7 6 5 8 1 2 4 3 7 6 5 8 1 2 4 3 7 6 5 8 1 3 2 4 7 6 5 8 1 3 2 4 7 6 5 1 3 8 2 4 7 6 5
9
58
7
54
2 1 6 4 3 7 8 5 2 1 6 8 3 4 7 5
62
8 1 2 4 3 7 6 5 8 1 2 4 3 7 6 5 8 1 2 4 3 7 6 5
16
45
51
10
55
11
55
17
45
57
61
8 1 2 4 6 7 5 3
57
2 8 1 7 4 6 5 3
57
2 8 4 6 1 7 5 3
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12
3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（ 3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（9） 启发式图搜索的 A*算法
另一种改进 h(n)=p(n)+3s(n) s(n)是这样计算的：沿着周围那些非中心方格上依 是这样计算的： 是这样计算的 顺时针方向检查n格局上的每一个将牌 格局上的每一个将牌， 顺时针方向检查 格局上的每一个将牌，如果其后 紧跟着的将牌正好是目标格局中该将牌的后续者， 紧跟着的将牌正好是目标格局中该将牌的后续者， 则该将牌得0分 否则得2分 则该将牌得 分，否则得 分；在正中方格上有将牌 得1分，否则得 分。 分 否则得0分
1 3 8 2 4 7 6 5
1 2 3 8 4 7 6 5
3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（ 3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（8） 启发式图搜索的 A*算法
进行改进： 对w(n)进行改进： 进行改进
一种改进是令h(n)=P(n),而p(n)是n格局中每个将牌离家 而 一种改进是令 是 格局中每个将牌离家 中的位置） （在sg中的位置）的最短距离 中的位置
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7
3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（ 3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（4） 启发式图搜索的 A*算法 九宫重排问题把估计函数f 定义为f 例：九宫重排问题把估计函数f（x）定义为f ）＝d ）＋w （n）＝d（n）＋w（n） 其中d 表示节点深度； 其中d（n）表示节点深度； w(n)代表 的格局域目标节点格局相比， 代表n w(n)代表n的格局域目标节点格局相比， 位置不符的将牌数目。 位置不符的将牌数目。
b6
b2
a6
b3 a4
b4
b5
3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（ 3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（1） 启发式图搜索的 A*算法
估价函数
将启发函数与代价函数相结合， 将启发函数与代价函数相结合，为了防止在单独 利用启发函数的时候误入歧途。 利用启发函数的时候误入歧途。 ）＋h f（x） ＝g（x）＋h（x） 启发函数，有利于搜索纵向发展， h（x）启发函数，有利于搜索纵向发展，提高搜 索效率，但影响完备性。 索效率，但影响完备性。 代价函数，有利于搜索横向发展， g（x）代价函数，有利于搜索横向发展，提高搜 索的完备性，但影响搜索效率。 索的完备性，但影响搜索效率。 是初始节点S 到达节点x处已付出的代价与 f（x）是初始节点S0到达节点x处已付出的代价与 节点x 到达目标节点S 接近程度估计值总和。 节点x 到达目标节点Sg的接近程度估计值总和。是 g（x）与h（x）的折中。 的折中
8 3 2 1 4 7 6 5 8 1 3 7 2 4 6 5
41
47
22
27
29
1 3 8 2 4 7 6 5
23
27
1 2 3 8 4 7 6 5
24
18
1 3 8 2 4 7 6 5
29
3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（13） 3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（13） 启发式图搜索的 A*算法 A*算法 A*算法
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2
树形图树式搜索策略比较
考察标准
考察范围
全局 宽度优先搜索 全局择优搜索 分支界限法
局部 深度优先搜索 局部择优搜索 瞎子爬山法
深度d（ ） 深度 （n） 启发值h（ ） 启发值 （n） 代价值g（ ） 代价值 （n）
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3
S0
a1
b1
a2
a3
第3章 图搜索与问题求解
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 状态图知识表示（状态图搜索问题求解） 状态图知识表示（状态图搜索问题求解） 状态图搜索 与或图知识表示（ 与或图知识表示（与或图搜索问题求解 ） 与或图搜索 博弈树搜索
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1
3.2 状态图搜索 3.2.1状态图搜索 3.2.1状态图搜索 3.2.2穷举式搜索 3.2.2穷举式搜索 3.2.3启发式搜索 3.2.3启发式搜索 3.2.4加权状态图搜索 3.2.4加权状态图搜索 3.2.5启发式图搜索的 算法和A* 启发式图搜索的A A*算法 3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法 3.2.6状态图搜索策略小结 3.2.6状态图搜索策略小结
a
2 8 1 4 6 3 7 5
b
1 2 3 8 4 7 6 5
Sg
s(a)=6,s(b)=13,s(sg)=0, h(a)=8+3*6=26,h(b)=9+3*13=48,h(sg)=0
2011-12-26 人工智能 13
3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（10） 3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（10） 启发式图搜索的 A*算法 利用上面定义的h（ ） 例：利用上面定义的 （x）解下列九宫重排问 题。
8 1 2 6 3 7 5 4
a
2 8 1 4 6 3 7 5
b
1 2 3 8 4 7 6 5
Sg
p(a)=8,p(b)=9 这种改进是对w(n)的启发信息有所增加，但仍未反映出两个 的启发信息有所增加， 这种改进是对 的启发信息有所增加 将牌对换位置的难易程度。 将牌对换位置的难易程度。
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2011-12-26 人工智能 5
3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（ 3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（2） 启发式图搜索的 A*算法
A算法
把附有f（S0）的初始节点 放入 的初始节点S0放入 步1 把附有 的初始节点 放入OPEN 表中； 表中； 步2 若OPEN表为空，则搜索失败，退出。 表为空，则搜索失败，退出。 表为空 移出OPEN表中第一个节点 表中第一个节点N放入 步3 移出OPEN表中第一个节点N放入 CLOSED表中，并冠以顺序编号 ； 表中， 表中 并冠以顺序编号n； 若目标节点Sg＝N，则搜索成功，结 步4 若目标节点 ，则搜索成功， 束。 不可扩展， 步5 若N不可扩展，则转步 ； 不可扩展 则转步2；
2 1 6 4 8 7 5 3
s0
1 2 3 8 4 7 6 5
Sg
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人工智能
14
1 2 3 8 4 7 6 5 2 1 6 4 8 7 5 3 1 6 2 4 84 8 7 5 3 2 6 4 1 8 7 5 3 2 1 6 7 4 8 5 3 2 1 4 8 6 7 5 3
2 8 3 1 4 7 6 5
S0
1 2 3 8 4 7 6 5
Sg
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8
扩展顺序
1
2 8 3 1 4 7 6 5
f(x)值
3
1 2 3 8 4 7 6 5
Sg
2 8 3 1 4 7 6 5
2
4
2 3 8 1 4 7 6 5
3
4
2 8 3 1 4 7 6 5
5
2 8 3 1 6 4 7 5
57
2 8 1 4 6 3 7 5
12
55
18
45
8 4 1 2 3 7 6 5
46
8 1 2 4 3 7 6 5 8 1 3 2 4 7 6 5 8 1 3 2 4 7 6 5 1 3 8 2 4 7 6 5
18
45
19
36
8 1 3 2 4 5 7 6 8 1 3 2 6 4 7 5
47
20
27
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3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（14） 3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（14） 启发式图搜索的 A*算法 修道士和野人问题。 例：修道士和野人问题。在河的左岸有五个修道 五个野人和一条船， 士、五个野人和一条船，修道士们想用这条船 将所有的人都运过河去， 将所有的人都运过河去，但受到以下条件的限 制： 修道士和野人都会划船，但船一次最 （1）修道士和野人都会划船，但船一次最 只能运三个人 运三个人； 多只能运三个人； 在任何岸边及船上野人数目 野人数目都 （2）在任何岸边及船上野人数目都不得超 过修道士，否则修道士就会被野人吃掉。 过修道士，否则修道士就会被野人吃掉。 假定野人会服从任何一种过河安排， 假定野人会服从任何一种过河安排，试规划 出一种确保修道士安全过河方案。 出一种确保修道士安全过河方案。请定义启发 函数，并给出相应的搜索树。 函数，并给出相应的搜索树。
5
8 3 2 1 4 7 6 5
5
2 8 3 7 1 4 6 5
6
2 3 1 8 4 7 6 5
4
4
5 3 1 8 4 7 6 5
6
1 2 3 8 4 7 6 5
5
4
1 2 3 8 4 7 6 5
6
1 2 3 8 4 7 6 5
6
4
3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（ 3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（6） 启发式图搜索的 A*算法
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10
2 8 1 4 6 3 7 5 2 8 1 4 3 7 6 5 2 8 1 4 3 7 6 5 8 1 2 4 3 7 6 5 8 1 2 4 3 7 6 5 8 1 2 4 3 7 6 5 8 1 3 2 4 7 6 5 8 1 3 2 4 7 6 5 1 3 8 2 4 7 6 5
9
58
7
54
2 1 6 4 3 7 8 5 2 1 6 8 3 4 7 5
62
8 1 2 4 3 7 6 5 8 1 2 4 3 7 6 5 8 1 2 4 3 7 6 5
16
45
51
10
55
11
55
17
45
57
61
8 1 2 4 6 7 5 3
57
2 8 1 7 4 6 5 3
57
2 8 4 6 1 7 5 3
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12
3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（ 3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（9） 启发式图搜索的 A*算法
另一种改进 h(n)=p(n)+3s(n) s(n)是这样计算的：沿着周围那些非中心方格上依 是这样计算的： 是这样计算的 顺时针方向检查n格局上的每一个将牌 格局上的每一个将牌， 顺时针方向检查 格局上的每一个将牌，如果其后 紧跟着的将牌正好是目标格局中该将牌的后续者， 紧跟着的将牌正好是目标格局中该将牌的后续者， 则该将牌得0分 否则得2分 则该将牌得 分，否则得 分；在正中方格上有将牌 得1分，否则得 分。 分 否则得0分
1 3 8 2 4 7 6 5
1 2 3 8 4 7 6 5
3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（ 3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（8） 启发式图搜索的 A*算法
进行改进： 对w(n)进行改进： 进行改进
一种改进是令h(n)=P(n),而p(n)是n格局中每个将牌离家 而 一种改进是令 是 格局中每个将牌离家 中的位置） （在sg中的位置）的最短距离 中的位置
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3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（ 3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（4） 启发式图搜索的 A*算法 九宫重排问题把估计函数f 定义为f 例：九宫重排问题把估计函数f（x）定义为f ）＝d ）＋w （n）＝d（n）＋w（n） 其中d 表示节点深度； 其中d（n）表示节点深度； w(n)代表 的格局域目标节点格局相比， 代表n w(n)代表n的格局域目标节点格局相比， 位置不符的将牌数目。 位置不符的将牌数目。
b6
b2
a6
b3 a4
b4
b5
3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（ 3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（1） 启发式图搜索的 A*算法
估价函数
将启发函数与代价函数相结合， 将启发函数与代价函数相结合，为了防止在单独 利用启发函数的时候误入歧途。 利用启发函数的时候误入歧途。 ）＋h f（x） ＝g（x）＋h（x） 启发函数，有利于搜索纵向发展， h（x）启发函数，有利于搜索纵向发展，提高搜 索效率，但影响完备性。 索效率，但影响完备性。 代价函数，有利于搜索横向发展， g（x）代价函数，有利于搜索横向发展，提高搜 索的完备性，但影响搜索效率。 索的完备性，但影响搜索效率。 是初始节点S 到达节点x处已付出的代价与 f（x）是初始节点S0到达节点x处已付出的代价与 节点x 到达目标节点S 接近程度估计值总和。 节点x 到达目标节点Sg的接近程度估计值总和。是 g（x）与h（x）的折中。 的折中
8 3 2 1 4 7 6 5 8 1 3 7 2 4 6 5
41
47
22
27
29
1 3 8 2 4 7 6 5
23
27
1 2 3 8 4 7 6 5
24
18
1 3 8 2 4 7 6 5
29
3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（13） 3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法（13） 启发式图搜索的 A*算法 A*算法 A*算法
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2
树形图树式搜索策略比较
考察标准
考察范围
全局 宽度优先搜索 全局择优搜索 分支界限法
局部 深度优先搜索 局部择优搜索 瞎子爬山法
深度d（ ） 深度 （n） 启发值h（ ） 启发值 （n） 代价值g（ ） 代价值 （n）
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3
S0
a1
b1
a2
a3
第3章 图搜索与问题求解
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 状态图知识表示（状态图搜索问题求解） 状态图知识表示（状态图搜索问题求解） 状态图搜索 与或图知识表示（ 与或图知识表示（与或图搜索问题求解 ） 与或图搜索 博弈树搜索
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人工智能
1
3.2 状态图搜索 3.2.1状态图搜索 3.2.1状态图搜索 3.2.2穷举式搜索 3.2.2穷举式搜索 3.2.3启发式搜索 3.2.3启发式搜索 3.2.4加权状态图搜索 3.2.4加权状态图搜索 3.2.5启发式图搜索的 算法和A* 启发式图搜索的A A*算法 3.2.5启发式图搜索的A算法和A*算法 3.2.6状态图搜索策略小结 3.2.6状态图搜索策略小结