(数学分析习题内容答案)第二章

第二章 数列极限

习题

2．按N -ε定义证明：

（1）1

1lim

=+∞→n n

n

证明 因为 n n n n 11111

<+=-+，所以0>∀ε，取ε1=

N ，N n >∀，必有ε<<-+n n n 111. 故1

1lim =+∞→n n n

（2）

23

123lim 22=-+∞→n n n n 证明 因为 n n n n n n n n n n n n n 3

2525)1(232)12(232231232

22222<=<-++<-+=--+

)1(>n ，于是0>∀ε，取}3,1max{ε=N ，N n >∀，有 ε<<--+n n n n 3231232

2. 所以

23123lim 22=-+∞→n n n n

（3）0!lim =∞→n n n n

证明 因为

n n n n n n n n n n n n n n n

n 11211)1(!0!≤⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅-==-ΛΛΛ，于是0>∀ε，取ε1

=

N ，N n >∀，必有ε<≤-n n n n

10!. 所以0!lim =∞→n n n n

（4）

sin

lim =∞

→n

n π

证明 因为

n n

n

π

π

π

≤

=-sin

0sin

，于是0>∀ε，取

επ

=

N ，N n >∀，必有

ε

π

π

<≤

-n

n

0sin

. 所以

sin

lim =∞

→n

n π

（5）)1(0lim

>=∞→a a n

n

n

证明 因为1>a ，设)0(1>+=h h a ，于是

2

22)1(2)1(1)1(h n n h h n n nh h a n n n -≥++-+

+=+=Λ，从而

2

2)1(2

2)1(0h n h

n n n a n a n n n -=

-≤=-，所以0>∀ε，取122+=h N ε，N n >∀，

有ε<-≤-2)1(20h n a n n . 故0lim =∞→n n a n

3．根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出哪些是无穷小数列：

（1）

n n 1

lim

∞

→；（2）n n 3

lim ∞

→；（3）3

1

lim

n n ∞→

（4）n n 31lim ∞→；（5）n n 21lim ∞→；（6）n n 10lim ∞→；（7）

n n 21lim ∞→ 解 （1）01lim 1lim 21==∞→∞→n n

n n （用例2的结果，21=a ），无穷小数列.

（2）13lim =∞

→n n ，（用例5的结果，3=a ）

（3）01

lim

3

=∞→n n ，（用例2的结果，3=a ），无穷小数列.

（4）031lim 31lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→∞→n

n n n ，（用例4的结果，31=q ），无穷小数列.

（5）021lim 21

lim =⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→∞

→n

n n n ，（用例4的结果，21=q ），无穷小数列. （6）110lim =∞→n n ，（用例5的结果，10=a ）.

（7）

121lim 21

lim

==∞→∞→n

n n

n ,（用例5的结果，21=

a ）. 4．证明：若a a n n =∞→lim ，则对任一正整数 k ，有a a k n k =+∞→lim

证明 因为a

a n n =∞

→lim ，所以

εε<->∀>∃>∀||,,0,0a a N n N n ，

于是，当N

k >时，必有N k n >+，从而有ε<-+||a a k n ，因此a a k n k =+∞→lim .

5．试用定义1证明：

（1）数列⎭⎬

⎫

⎩⎨⎧n 1不以1为极限；（2）数列

}{)1(n n -发散.

证明（用定义1证明） 数列}{n a 不以 a 为极限（即a a n n ≠∞→lim ）的定义是：00>∃ε，0>∀N ，N n >∃0，0||0ε≥-a a n

（1）取

21

0=

ε，0>∀N ，取N N n >+=20，有

002

1)1(212112111ε==++≥++=-+=-N N N N N n ，故数列⎭⎬

⎫⎩⎨⎧n 1不以1为极限.

另证（用定义1’证明） 取21

0=

ε，则数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1中满足2>n 的项（有无穷多个）

显然都落在1的邻域)23,21();1(0=εU 之外，故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n 1不以1为极限.

（2）数列

}{)1(n

n

-=},6,51

,4,31,2,1{Λ，对任何R a ∈，取10=ε，则数列

}{)1(n n -