高数微积分极值与最值

说明一元函数 f ( x, y0 )在x x0处有极大值, 必有 f x ( x0 , y0 ) 0; 类似地可证 f y ( x0 , y0 ) 60.
推广: 如果三元函数u f ( x, y, z)在点 P( x0 , y0 , z0 ) 具有偏导数，则它在 P( x0 , y0 , z0 )有极值的必 要条件为 f x ( x0 , y0 , z0 ) 0， f y ( x0 , y0 , z0 ) 0，
当 A 0时有极大值， 当 A 0时有极小值；
（2） AC B2 0时没有极值；
（3） AC B2 0时可能有极值,也可能没有极值，
还需另作讨论．
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对这一定理不作证明,仅介绍它的记忆之法:
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例 4 求由方程 x2 y2 z2 2x 2 y
4z 10 0确定的函数z f ( x, y)的极值
解 将方程两边分别对x, y求偏导 2x 2z zx 2 4zx 0 2 y 2z zy 2 4zy 0
由函数取极值的必要条件知, 驻点为P(1,1),
将上方程组再分别对x, y 求偏导数,
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A
zxx
|P
2
1
z
,
B zxy |P 0,
故
AC
B2
1 (2 z)2
0
(z 2),
C
zyy
|P
2
1
z
,
函数在P 有极值.
将P(1,1)代入原方程, 有z1 2, z2 6,
当 z1
2 时， A
1 4
0,
所以z f (1,1) 2为极小值；
当z2
6 时， A
1 4
0,
所以z f (1,1) 6为极大值.
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求函数z f ( x, y)极值的一般步骤：(偏导存在条件下)
问题：如何判定一个驻点是否为极值点？
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定理 2（充分条件）
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内连续，
有一阶及二阶连续偏导数，
又 f x ( x0 , y0 ) 0, f y ( x0 , y0 ) 0， 令 f xx ( x0 , y0 ) A, f xy ( x0 , y0 ) B, f yy ( x0 , y0 ) C ， 则 f ( x, y)在点( x0 , y0 )处是否取得极值的条件如下： （1） AC B2 0时具有极值，
证: 不妨设z f ( x, y)在点( x0 , y0 )处有极大值, 则对于( x0 , y0 )的某邻域内任意 ( x, y) ( x0 , y0 ) 都有 f ( x, y) f ( x0 , y0 ), 故当 y y0， x x0时， 有 f ( x, y0 ) f ( x0 , y0 ),
fz ( x0 , y0 , z0 ) 0.
仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均 称为函数的驻点.
驻点
极值点(具有偏导数的函数)
例如, 点(0,0)是函数z xy 的驻点，但不是极值点.
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温馨提示：
偏导数不存在的点 也可能是函数的极值点。 例如：
Baidu Nhomakorabea不存在。
也不存在， 但是极大值点。
所以，与一元类似要想研究极值需找出所有驻点 导数不存在的点。
每天的收益为 f ( x, y) ( x 1)(70 5x 4 y) ( y 1.2)(80 6x 7 y)
求最大收益即为求二元函数的最大值.
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二、多元函数的极值
观察二元函数
z
xy e x2 y2
的图形
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1、二元函数极值的定义
设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 )的某邻域内有定义， 对于该邻域内异于( x0 , y0 )的点( x, y) ：若满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函数在( x0 , y0 )有极大值；若 满足不等式 f ( x, y) f ( x0 , y0 )，则称函数在( x0 , y0 )有
极小值； 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点.
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例1 函数 z x2 y2 例２ 函数 z x2 y2 在 (0,0) 处有极小值． 在 (0,0) 处有极大值．
例３ 函数 z xy 在 (0,0) 处无极值．
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2、多元函数取得极值的条件
定理 1（必要条件）
设 函 数 z f ( x, y) 在 点 ( x0 , y0 ) 具 有 偏 导 数 ， 且 在 点 ( x0 , y0 ) 处有极值，则它在该点的偏导数必然为零： f x ( x0 , y0 ) 0， f y ( x0 , y0 ) 0.
购买 x 张磁盘，y盒录音磁带达到最佳效果， 效果函数为 U ( x, y) ln x ln y．设每张磁
盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200 元以达到最佳效果．
问题的实质：求 U ( x, y) ln x ln y 在条 件 8x 10 y 200下的极值点．
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无条件极值：对自变量除了限制在定义域内以外，
第一步 解方程组 fx ( x, y) 0, f y ( x, y) 0
求出实数解，得驻点.
第二步 对于每一个驻点( x0 , y0 )，
求出二阶偏导数的值 A、B、C.
第三步 定出 AC B2的符号，再判定是否是极值.
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三、条件极值、拉格朗日乘数法
实例： 小王有200元钱，他决定用来购买两 种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他
第八节 多元函数的极值与最值
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一、问题的提出
实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每 瓶进价1元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估
计，如果本地牌子的每瓶卖 x 元，外地牌子的 每瓶卖 y 元，则每天可卖出 70 5x 4 y 瓶本 地牌子的果汁，80 6x 7 y瓶外地牌子的果汁
问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可 取得最大收益？
并无其他条件.
条件极值：对自变量有附加条件的极值．
解决办法： （1）化为无条件极值（用代入法） （2）直接求极值。（拉格朗日乘数法）
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一些较简单的条件极值问题可以把它转化为 无条件极值来求解——降元法，但这种方法需要 经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就 不容易作到，有时甚至是不可能的
解决条件极值问题的一般方法 是 Lagrange乘数法——升元法