金融数学课件(南京大学)
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2013-8-27 24
三、金融数学的结构框架
金 融 数 学
数
学
基
础
金融数学理论
金融数学应用
微
线 性
概
随 机
计 量 经
资 产 组 合 理 论
积 代 分 数
率 过 论 程
济 学
资 本 资 产 定 价 模 型
套 利 定 价 理 论
布 朗 运 动 与 伊 藤 方 程
布 莱 克 方 程
金 融 风 险 的 测 度 模 型
2013-8-27
23
二、金融数学的发展历程
1980年代以后，资产定价理论和不完全信息金融市场分析继续发展。 在资产定价理论方面，各种概念被统一到阿罗-德布鲁一般均衡框架下， 显得更为灵活和适用。鞅定价原理逐渐在资产定价模型中占据了中心位 置，达菲和黄(Duffle and Huang，1985)等在此基础上大大地推广了布莱 克-斯科尔斯模型。
与其说是一门独立学科，还不如说是作为一系列方法而存在 。
2013-8-27 12
一、金融与金融数学
金融数学 是金融经济学的数学化。金融经济学的主要
研究对象是在证券市场上的投资和交 易，金融数学则是通 过建立证券市场的数学模型，研究证券市场的运作规律。 金融数学研究的中心问题是风险资产（包括衍生金融产 品和金融工具）的定价和最优投资策略的选择，它的主要理
2013-8-27
6
一、金融与金融数学
金融是一个经济学的概念和范畴。通常，“金”是指资金，
“融”是指融通，“金融”则指资金的融通，或者说资本的 借贷，即由资金融通的工具、机构、市场和制度构成的有机 系统，是经济系统的重要组成部分。 金融核心：在不确定的环境下，通过资本市场，对资源进 行跨期（最优）配置。 如何理解其与传统经济学的联系与区别？
论有：资本资产定价模型，套利定价理论，期权定价理论
及动态投资组合理论。
2013-8-27
13
一、金融与金融数学
金融数学研究的主要内容：
风险管理
效用优化
金融数学的主要工具是随机分析和数理统计 （特别是非线性时间序列分析）。
2013-8-27 14
一、金融与金融数学
依据研究方法：
金融数学
规范金融数学
在非对称信息分析方面，非合作博弈论及新产业组织理论的研究方 法得到广泛应用。戴蒙德(Diamond，1984)在利兰-派尔模型基础上，进 一步揭示了金融中介因风险分散产生的规模经济利益，并提出了金融中 介代理最终贷款者监督借款企业的效率优势。戴蒙德和迪布维克 (Diamond and Dybvig，1983)建立了提供流动性调节服务的银行模型； 戴蒙德(1989)、霍姆斯特龙和梯罗尔(Holmstrom and Tirole，1993)又以 道德危险(moral hazard)现象为基础，解释了直接金融和中介金融共存的 理由。至此，金融中介最基本的经济功能得到了较为完整的模型刻画。
鲁理论在一些基本的金融理论问题中的应用，并在一般均衡
体系中证明了M-M定理，第一次将阿罗-德布鲁框架与套利 理论联系起来。
2013-8-27 19
二、金融数学的发展历程
第二个时期为1969-1979 年： 这一时期是金融数学发展的黄金时代，主要代表人 物有莫顿（R . Merton ）、布莱克（F . Black ）、斯科尔
学 学 学 学 理 价 金融经济学
商 投 微 风 险 业 资 观 管 银 银 银 理 与 行 行 行 保 学 学 学 险 金融机构学
货币银行学
一、金融与金融数学
微观金融分析和宏观金融分析分别从个体和整体角度研究金融
运行规律。 金融决策分析主要研究金融主体投资决策行为及其规律，服务 于决策的“金融理论由一系列概念和定量模型组成。” 金融中介分析主要研究金融中介机构的组织、管理和经营。包
2013-8-27
10
一、金融与金融数学
完整的现代金融学体系将以微观金融学和宏观金融
学为理论基础，扩展到各种具体的应用金融学学科，而数
理化（同时辅助以实证计量）的研究风格将贯穿从理论到 实践的整个过程。在现代金融学的发展历程中，两次华尔
街革命产生了一门新兴的学科，即金融数学。随着金融市
场的发展，金融创新日益涌现，各种金融衍生产品层出不 穷，这给金融数学的发展提出了更高的要求，同时也为金 融数学这一门学科的发展提供了广阔的空间。
史表明，伴随着金融学两个分支学科的深化与发展，金融数 学（Financial Mathematics）应运而生。
2013-8-27 3
导 论
如何理解：在不确定（uncertainty）的环境下，对资源
进行跨期的最优配置？
荒岛鲁宾逊传奇（Robinson Crusoe） 思路：求一个终身的跨期最优消费／投资问题； 工具：随机最优控制（Stochastic optimal control）
金
融
数
学
南京大学金融与保险学系
2013-8-27
1
金
导论
融
数
学
第一章 金融数学基础
第二章 金融市场 第三章 资产组合复制和套利
第四章 股票与期权的二叉树模型
第五章 连续时间模型和Black-Scholes公式 第六章 Black-Scholes模型的解析方法 第七章 对冲 第八章 互换 第九章 债券模型
实证金融数学
2013-8-27
15
一、金融与金融数学
规范金融数学： 强调运用高等数学、最优化、概率论、微分方程等 知识对金融原理进行推导。 如：第一次华尔街革命（资产组合问题、资本资产定价模 型）；第二次华尔街革命（期权定价公式）。 实证金融数学： 强调运用统计学、计量经济学、时间序列分析等知 识对金融原理进行假设检验，并得出一些经验结论。
如：资产定价模型的检验、行为金融学的检验。
2013-8-27 16
二、金融数学的发展历程
金融数学的研究历程大致可分为三个时期： 第一个时期为发展初期：
代表人物有阿罗（K . A rrow ）、德布鲁（G . Debreu ）、
林特纳（J . Lintner ）、马柯维茨（H . M . Markowitz ）、夏普
2013-8-27
21
二、金融数学的发展历程
1970年代最具革命性意义的事件无疑当数布莱克和斯科 尔斯(Black and Scholes，1973)推导出简单的期权定价公式， 以及莫顿(Merton，1973b)对该定价公式的发展和深化。 在这个阶段的后期，哈里森和克雷普斯(Harrison and Kreps，1979)发展了证券定价鞅理论(theory of martingale pricing)，这个理论在目前也仍然是金融研究的前沿课题。
马科维茨(H．Markowitz)1952年发表的那篇仅有14页的论文 既是现代资产组合理论的发端，同时也标志着现代金融理论的诞生。 稍后，莫迪利亚尼和米勒(Modigliani and Miller，1958)第一次应用 无套利原理证明了以他们名字命名的M-M定理。直到今天，这也 许仍然是公司金融理论中最重要的定理。同时，德布鲁(Debreu， 1959)和阿罗(Arrow，1964)将一般均衡模型推广至不确定性经济中， 为日后金融理论的发展提供了灵活而统一的分析框架。
（w . Sharp ）和莫迪利亚尼（F . Modigliani ）等。
2013-8-27
17
二、金融数学的发展历程
尽管早在1900年，法国人L· 巴恰利尔(Louis Bachelier)在一篇关 于金融投机的论文中，已经开始利用随机过程工具探索那时尚无实 物的金融衍生资产定价问题，但巴恰利尔仅是那个时代的一颗孤星， 因为在随后的半个世纪中，他的论文只是在几个数学家和物理学家 手中流传（奠定了现代金融学发展的基调）。
201百度文库-8-27
11
一、金融与金融数学
金融数学是金融学自身发展而衍生出来的一个新的分支，
是数学与金融学相结合而产生的一门新的学科，是金融学由
定性分析向定性分析与定量分析相结合，由规范研究向实证 研究为主转变，由理论阐述向理论研究与实用研究并重，金 融模糊决策向精确化决策发展的结果。
数学：研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。 金融学：研究运作“金钱”事务的科学。 金融数学：运用数学工具来定量研究金融问题的一门学科。
同一时期另一引人注目的发展是非对称信息分析方法 开始使用。
2013-8-27 22
二、金融数学的发展历程
金融数学发展的第三个时期：
1980 年至今是金融数学发展的第三个时期，是成果
频出、不断成熟完善的时期。该期间的代表人物有达菲 （D . Duffie ）、卡瑞撤斯（I . Karatzas ）、考克斯（J . Cox ）、黄（C . F . Huang ）等。
斯( M . Scholes ）、考克斯（J . Cox ）、罗斯
（Ｓ.Ross）、鲁宾斯坦（M . Rubinstein ）、莱克 (S.Lekoy）、卢卡斯（D . Lucas ）、布雷登（D . Breeden ）和哈里森（J . M . Harrison ) 等。
2013-8-27 20
二、金融数学的发展历程
2013-8-27
4
导
论
被萨缪尔森誉为金融理论“专家中的专家”、 站在众多“巨人肩上的巨人”的莫顿(Robert C ．Merton)曾这样说过： 优美的科学不一定是实用的，实用的科学也未
必给人以美感，而现代金融理论却兼备了优美和实
用。
2013-8-27 5
导论
一、金融与金融数学 二、金融数学的发展历程 三、金融数学的结构框架
2013-8-27 2
导 论
在人类发展史上，伴随着第一张借据的出现，金融
（finance）就产生了。时至今日，金融学已形成了宏观金融
学和微观金融学两个分支，其需要解决的核心问题是：如何
在不确定（uncertainty）的环境下，通过资本市场对资源进行
跨期的（intertemporally）最优配置（allocation）。金融发展
2013-8-27 18
二、金融数学的发展历程
这些基础性的工作在后来的10年内得到了两个重要的发
展：其一是，在马科维茨组合理论的基础上，夏普(Sharpe，
1964)、林特纳(Lintner，1965)和莫辛(Mossin，1966)揭示， 在市场出清状态，所有投资者都将选择无风险资产与市场组 合证券的线性组合；另一重要发展是对阿罗-德布鲁理论的 推广。赫什雷弗(Hirshleifer，1965，1966)显示了阿罗-德布
括对金融机构的职能和作用及其存在形态的演进趋势的分析；金融
机构的组织形式、经济效率、混业与分业、金融机构的脆弱性、风 险转移和控制等。
2013-8-27 9
一、金融与金融数学
宏观金融分析从整体角度讨论金融系统的运行规律，重点 讨论货币供求均衡、金融经济关系、通货膨胀与通货紧缩、金 融危机、金融体系与金融制度、货币政策与金融宏观调控、国 际金融体系等问题。 与经济学的发展历程相反，金融学是先有宏观部分再有微 观部分。
汇 率 测 度 与 定 价 模 型
市 场 有 效 性 测 度 与 分 析
2013-8-27
25
三、金融数学的结构框架
第一部分是金融数学方法篇，阐述了金融数学的基本数学方法 和计量经济学在金融数学中的应用，重点讲述了微积分、线性代数、 概率论、计量经济学在金融数学中的应用。 第二部分是金融数学方法核心篇，阐述了资本资产定价模型和 期权定价模型。 第三部分是金融数学应用篇，阐述了金融数学在货币市场、外汇 市场、证券市场的应用。
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金
融
学
理 论 层 次
宏观金融学
金融数学 金融计量经济学
微观金融学
金 融 决 策
金 融 中 介
中 应 用 层 次 央 银 行 学
货 币 政 策 分 析
金 融 监 管 学
国 际 金 融 学
证 公 金 金 金 金 券 司 融 融 融 风 投 财 市 工 险 资 务 场 程 管 融 资 产 定
首先，CAPM理论得到一系列的发展。在夏普-林特纳-莫辛单 期CAPM基础上，布莱克(Black，1972)对借贷引入限制，推导了无 风险资产不存在情况下的“CAPM”。萨缪尔森(1969)、鲁宾斯坦 (Rubinstein，1974，1976)、克劳斯和利曾伯格(Kraus and Litzenberger，1978)以及布伦南(Brennan，1970)等将马科维茨的静态 分析扩充至离散时间的多期分析，得到了跨期CAPM。莫顿(Merton， 1969，1971，1973a)则提供了连续时间的CAPM版本(称为ICAPM)。 罗斯(Ross，1976a)提出与CAPM竞争的套利定价理论(APT)。值得强 调的是，莫顿的这些文献不仅是建立了连续时间内最优资产组合模 型和资产定价公式，而且首次将伊藤积分引入经济分析。
三、金融数学的结构框架
金 融 数 学
数
学
基
础
金融数学理论
金融数学应用
微
线 性
概
随 机
计 量 经
资 产 组 合 理 论
积 代 分 数
率 过 论 程
济 学
资 本 资 产 定 价 模 型
套 利 定 价 理 论
布 朗 运 动 与 伊 藤 方 程
布 莱 克 方 程
金 融 风 险 的 测 度 模 型
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二、金融数学的发展历程
1980年代以后，资产定价理论和不完全信息金融市场分析继续发展。 在资产定价理论方面，各种概念被统一到阿罗-德布鲁一般均衡框架下， 显得更为灵活和适用。鞅定价原理逐渐在资产定价模型中占据了中心位 置，达菲和黄(Duffle and Huang，1985)等在此基础上大大地推广了布莱 克-斯科尔斯模型。
与其说是一门独立学科，还不如说是作为一系列方法而存在 。
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一、金融与金融数学
金融数学 是金融经济学的数学化。金融经济学的主要
研究对象是在证券市场上的投资和交 易，金融数学则是通 过建立证券市场的数学模型，研究证券市场的运作规律。 金融数学研究的中心问题是风险资产（包括衍生金融产 品和金融工具）的定价和最优投资策略的选择，它的主要理
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一、金融与金融数学
金融是一个经济学的概念和范畴。通常，“金”是指资金，
“融”是指融通，“金融”则指资金的融通，或者说资本的 借贷，即由资金融通的工具、机构、市场和制度构成的有机 系统，是经济系统的重要组成部分。 金融核心：在不确定的环境下，通过资本市场，对资源进 行跨期（最优）配置。 如何理解其与传统经济学的联系与区别？
论有：资本资产定价模型，套利定价理论，期权定价理论
及动态投资组合理论。
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一、金融与金融数学
金融数学研究的主要内容：
风险管理
效用优化
金融数学的主要工具是随机分析和数理统计 （特别是非线性时间序列分析）。
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一、金融与金融数学
依据研究方法：
金融数学
规范金融数学
在非对称信息分析方面，非合作博弈论及新产业组织理论的研究方 法得到广泛应用。戴蒙德(Diamond，1984)在利兰-派尔模型基础上，进 一步揭示了金融中介因风险分散产生的规模经济利益，并提出了金融中 介代理最终贷款者监督借款企业的效率优势。戴蒙德和迪布维克 (Diamond and Dybvig，1983)建立了提供流动性调节服务的银行模型； 戴蒙德(1989)、霍姆斯特龙和梯罗尔(Holmstrom and Tirole，1993)又以 道德危险(moral hazard)现象为基础，解释了直接金融和中介金融共存的 理由。至此，金融中介最基本的经济功能得到了较为完整的模型刻画。
鲁理论在一些基本的金融理论问题中的应用，并在一般均衡
体系中证明了M-M定理，第一次将阿罗-德布鲁框架与套利 理论联系起来。
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二、金融数学的发展历程
第二个时期为1969-1979 年： 这一时期是金融数学发展的黄金时代，主要代表人 物有莫顿（R . Merton ）、布莱克（F . Black ）、斯科尔
学 学 学 学 理 价 金融经济学
商 投 微 风 险 业 资 观 管 银 银 银 理 与 行 行 行 保 学 学 学 险 金融机构学
货币银行学
一、金融与金融数学
微观金融分析和宏观金融分析分别从个体和整体角度研究金融
运行规律。 金融决策分析主要研究金融主体投资决策行为及其规律，服务 于决策的“金融理论由一系列概念和定量模型组成。” 金融中介分析主要研究金融中介机构的组织、管理和经营。包
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一、金融与金融数学
完整的现代金融学体系将以微观金融学和宏观金融
学为理论基础，扩展到各种具体的应用金融学学科，而数
理化（同时辅助以实证计量）的研究风格将贯穿从理论到 实践的整个过程。在现代金融学的发展历程中，两次华尔
街革命产生了一门新兴的学科，即金融数学。随着金融市
场的发展，金融创新日益涌现，各种金融衍生产品层出不 穷，这给金融数学的发展提出了更高的要求，同时也为金 融数学这一门学科的发展提供了广阔的空间。
史表明，伴随着金融学两个分支学科的深化与发展，金融数 学（Financial Mathematics）应运而生。
2013-8-27 3
导 论
如何理解：在不确定（uncertainty）的环境下，对资源
进行跨期的最优配置？
荒岛鲁宾逊传奇（Robinson Crusoe） 思路：求一个终身的跨期最优消费／投资问题； 工具：随机最优控制（Stochastic optimal control）
金
融
数
学
南京大学金融与保险学系
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金
导论
融
数
学
第一章 金融数学基础
第二章 金融市场 第三章 资产组合复制和套利
第四章 股票与期权的二叉树模型
第五章 连续时间模型和Black-Scholes公式 第六章 Black-Scholes模型的解析方法 第七章 对冲 第八章 互换 第九章 债券模型
实证金融数学
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一、金融与金融数学
规范金融数学： 强调运用高等数学、最优化、概率论、微分方程等 知识对金融原理进行推导。 如：第一次华尔街革命（资产组合问题、资本资产定价模 型）；第二次华尔街革命（期权定价公式）。 实证金融数学： 强调运用统计学、计量经济学、时间序列分析等知 识对金融原理进行假设检验，并得出一些经验结论。
如：资产定价模型的检验、行为金融学的检验。
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二、金融数学的发展历程
金融数学的研究历程大致可分为三个时期： 第一个时期为发展初期：
代表人物有阿罗（K . A rrow ）、德布鲁（G . Debreu ）、
林特纳（J . Lintner ）、马柯维茨（H . M . Markowitz ）、夏普
2013-8-27
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二、金融数学的发展历程
1970年代最具革命性意义的事件无疑当数布莱克和斯科 尔斯(Black and Scholes，1973)推导出简单的期权定价公式， 以及莫顿(Merton，1973b)对该定价公式的发展和深化。 在这个阶段的后期，哈里森和克雷普斯(Harrison and Kreps，1979)发展了证券定价鞅理论(theory of martingale pricing)，这个理论在目前也仍然是金融研究的前沿课题。
马科维茨(H．Markowitz)1952年发表的那篇仅有14页的论文 既是现代资产组合理论的发端，同时也标志着现代金融理论的诞生。 稍后，莫迪利亚尼和米勒(Modigliani and Miller，1958)第一次应用 无套利原理证明了以他们名字命名的M-M定理。直到今天，这也 许仍然是公司金融理论中最重要的定理。同时，德布鲁(Debreu， 1959)和阿罗(Arrow，1964)将一般均衡模型推广至不确定性经济中， 为日后金融理论的发展提供了灵活而统一的分析框架。
（w . Sharp ）和莫迪利亚尼（F . Modigliani ）等。
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二、金融数学的发展历程
尽管早在1900年，法国人L· 巴恰利尔(Louis Bachelier)在一篇关 于金融投机的论文中，已经开始利用随机过程工具探索那时尚无实 物的金融衍生资产定价问题，但巴恰利尔仅是那个时代的一颗孤星， 因为在随后的半个世纪中，他的论文只是在几个数学家和物理学家 手中流传（奠定了现代金融学发展的基调）。
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一、金融与金融数学
金融数学是金融学自身发展而衍生出来的一个新的分支，
是数学与金融学相结合而产生的一门新的学科，是金融学由
定性分析向定性分析与定量分析相结合，由规范研究向实证 研究为主转变，由理论阐述向理论研究与实用研究并重，金 融模糊决策向精确化决策发展的结果。
数学：研究现实世界的空间形式和数量关系的科学。 金融学：研究运作“金钱”事务的科学。 金融数学：运用数学工具来定量研究金融问题的一门学科。
同一时期另一引人注目的发展是非对称信息分析方法 开始使用。
2013-8-27 22
二、金融数学的发展历程
金融数学发展的第三个时期：
1980 年至今是金融数学发展的第三个时期，是成果
频出、不断成熟完善的时期。该期间的代表人物有达菲 （D . Duffie ）、卡瑞撤斯（I . Karatzas ）、考克斯（J . Cox ）、黄（C . F . Huang ）等。
斯( M . Scholes ）、考克斯（J . Cox ）、罗斯
（Ｓ.Ross）、鲁宾斯坦（M . Rubinstein ）、莱克 (S.Lekoy）、卢卡斯（D . Lucas ）、布雷登（D . Breeden ）和哈里森（J . M . Harrison ) 等。
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二、金融数学的发展历程
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导
论
被萨缪尔森誉为金融理论“专家中的专家”、 站在众多“巨人肩上的巨人”的莫顿(Robert C ．Merton)曾这样说过： 优美的科学不一定是实用的，实用的科学也未
必给人以美感，而现代金融理论却兼备了优美和实
用。
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导论
一、金融与金融数学 二、金融数学的发展历程 三、金融数学的结构框架
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导 论
在人类发展史上，伴随着第一张借据的出现，金融
（finance）就产生了。时至今日，金融学已形成了宏观金融
学和微观金融学两个分支，其需要解决的核心问题是：如何
在不确定（uncertainty）的环境下，通过资本市场对资源进行
跨期的（intertemporally）最优配置（allocation）。金融发展
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二、金融数学的发展历程
这些基础性的工作在后来的10年内得到了两个重要的发
展：其一是，在马科维茨组合理论的基础上，夏普(Sharpe，
1964)、林特纳(Lintner，1965)和莫辛(Mossin，1966)揭示， 在市场出清状态，所有投资者都将选择无风险资产与市场组 合证券的线性组合；另一重要发展是对阿罗-德布鲁理论的 推广。赫什雷弗(Hirshleifer，1965，1966)显示了阿罗-德布
括对金融机构的职能和作用及其存在形态的演进趋势的分析；金融
机构的组织形式、经济效率、混业与分业、金融机构的脆弱性、风 险转移和控制等。
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一、金融与金融数学
宏观金融分析从整体角度讨论金融系统的运行规律，重点 讨论货币供求均衡、金融经济关系、通货膨胀与通货紧缩、金 融危机、金融体系与金融制度、货币政策与金融宏观调控、国 际金融体系等问题。 与经济学的发展历程相反，金融学是先有宏观部分再有微 观部分。
汇 率 测 度 与 定 价 模 型
市 场 有 效 性 测 度 与 分 析
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三、金融数学的结构框架
第一部分是金融数学方法篇，阐述了金融数学的基本数学方法 和计量经济学在金融数学中的应用，重点讲述了微积分、线性代数、 概率论、计量经济学在金融数学中的应用。 第二部分是金融数学方法核心篇，阐述了资本资产定价模型和 期权定价模型。 第三部分是金融数学应用篇，阐述了金融数学在货币市场、外汇 市场、证券市场的应用。
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金
融
学
理 论 层 次
宏观金融学
金融数学 金融计量经济学
微观金融学
金 融 决 策
金 融 中 介
中 应 用 层 次 央 银 行 学
货 币 政 策 分 析
金 融 监 管 学
国 际 金 融 学
证 公 金 金 金 金 券 司 融 融 融 风 投 财 市 工 险 资 务 场 程 管 融 资 产 定
首先，CAPM理论得到一系列的发展。在夏普-林特纳-莫辛单 期CAPM基础上，布莱克(Black，1972)对借贷引入限制，推导了无 风险资产不存在情况下的“CAPM”。萨缪尔森(1969)、鲁宾斯坦 (Rubinstein，1974，1976)、克劳斯和利曾伯格(Kraus and Litzenberger，1978)以及布伦南(Brennan，1970)等将马科维茨的静态 分析扩充至离散时间的多期分析，得到了跨期CAPM。莫顿(Merton， 1969，1971，1973a)则提供了连续时间的CAPM版本(称为ICAPM)。 罗斯(Ross，1976a)提出与CAPM竞争的套利定价理论(APT)。值得强 调的是，莫顿的这些文献不仅是建立了连续时间内最优资产组合模 型和资产定价公式，而且首次将伊藤积分引入经济分析。