金融数学课件(南京大学)
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金融数学ppt课件
考虑T时刻到期的欧式期权，假定到期时，期 权的内在价值为V(T)=g(P(T));
设V(t,x)表示在t时刻股票价格为x时，期权的价值, 利用Ito公式可得到如下Black-Scholes方程
终V t端(t,条x 件) r V(T x x( ,tx,)x V ) g(1 2 x)2 x 2 V x(t x ,x ) r( V t,x () 5.2)
解上述联立方程可得
0 V S 1 1 ( ( H H ) ) V S 1 1 ( ( T T ) ) ,V 0 1 1 r 1 u r d d V 1 ( H ) u u ( 1 d r ) V 1 ( T ) *
注
0 称为套期保值比。 注意若取
向量自回归模型及其应用 14
1.投资组合理论简介
在投资活动中，人们发现，投资者手中持有多种 不同风险的证券，可以减轻风险带来的损失，对于投 资若干种不同风险与收益的证券形成的证券组称为证 券投资组合。
证券投资组合的原则是，组合期望收益愈大愈好， 组合标准差愈小愈好，但在同一证券市场中，一般情 形是一种证券的平均收益越大，风险也越大，因而最 优投资组合应为一个条件极值问题的解，即对一定的 期望收益率，选择资产组合使其总风险最小。
15
Markowitz 提出的证券组合均值方差问题，是证券 组合理论的基本问题，可描述为有约束的线性规划问
题
mi
n2p
mi w
nwTw
s.t. 1Tw1
E(Xp) E(X)Tw
解上述问题可得最优资产组合w*的表达式，且最 优资产组合的方差为
p 2 a 2 2 b c
诺贝尔经济奖简介（3）
2003年度诺贝尔经济学奖授予 Robert F.Engle和 Clive Granger。
金融数学完整课件全辑
风险管理政策
制定明确的风险管理政策和流程，确保业务 操作的合规性。
危机应对计划
制定应对重大风险的应急预案，确保在危机 发生时能够迅速、有效地应对。
05
投资组合优化
马科维茨投资组合理论
总结词
该理论是现代投资组合理论的基石，它通过 数学模型和优化技术，为投资者提供了构建 最优投资组合的方法。
详细描述
债券是一种常见的固定收益证券，其价格与利率之间存在密切关系。债券定价模型用于确定债券的理 论价格，通常基于现值计算方法。不同类型的债券（如国债、企业债等）具有不同的风险和收益特征 ，因此需要采用不同的定价模型。
复杂衍生品定价
总结词
概述了复杂衍生品定价的难点和方法， 包括信用衍生品、利率衍生品和商品衍 生品等。
数据清洗
对数据进行预处理，去除异常值、缺 失值和重复值，提高数据质量。
数据存储
采用分布式存储系统，高效地存储和 管理大规模金融数据。
数据可视化
通过图表、图像等形式直观地展示数 据分析结果，帮助用户更好地理解数 据。
机器学习在金融中的应用
风险评估
信贷审批
利用机器学习算法对历史金融数据进行分 析，预测未来市场走势和风险状况。
微积分
微积分是研究函数、极限、导数和积 分的数学分支。在金融领域，微积分 用于计算金融衍生品的价格和风险度 量。
线性代数
线性代数是研究线性方程组、矩阵和 向量空间的数学分支。在金融领域， 线性代数用于数据处理、模型建立和 优化问题求解等方面。
03
金融衍生品定价
期权定价模型
总结词
详细描述了期权定价模型的基本原理、应用场景和优缺点。
通过机器学习模型对借款人的信用状况进 行评估，提高信贷审批的效率和准确性。
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期次(半年)
票息
0
1
40.00
2
40.00
3
40.00
4
40.00
合计
160.00
利息收入 折价累计额
48.23 48.64 49.07 49.52 195.46
8.23 8.64 9.07 9.52 35.46
账面值
964.54 972.77 981.41 990.48 1000.00
例题5-3
例：债券的面值为1000元，年息票率为6% ，期限为3年，到期按面值偿还。市场利率 为8%，试计算债券在购买6个月后的价格 和帐面值。
解：已知： C = F= 1000 r = g = 6% n=3 i= 8% 所以债券在购买日的价格为
在购买6个月后的价格为
在购买6个月后的帐面值等于价格扣除 应计息票收入： 按理论方法计算
P Nr(1 t)a Cvn n
Nr(1 t)a K n
该公式称为计算债券价格的基本公式，债券价格 的计算还有另外两种变型公式：
（1）溢价/折价公式： P C [Nr(1 t) Ci]a n
（2）Makeham公式： P K g(1 t) (C K )
例：
面值1000元的五年期债券，票息率为每年 计息两次的年名义利率10%，可以面值赎 回，现以每年计息两次的年名义利率12% 的收益率购买，求分期偿债表中的总利息 收入。
SUCCESS
THANK YOU
•
5.1.3票息支付周期内债券的估价
债券的平价：债券购买日的实际交付款项 债券的市价：扣除应计票息后的买价 计算方法： 理论法 实务法 混合法
债券的面值N=1000 债券的收益率i=0.05
金融数学-第四章
1
3 ）所有利息之和等于还款额总和与原始贷款额之差， 即
利息理论应用
第二章-19
n
n
It nPt
1
1
4 ） 本金序列依时间顺序构成递增的等比级数
比值为(1+i )
Pt1(1i)Pt
5 ） 利息序列依时间顺序构成递减数列
It1 It iPt
结论： 在等额还款方式下 ， 前期的还款主要用 于偿还利息， 贷款本金 （余额） 的降低幅度不 大。
Bt (1i)Bt11
利息理论应用
第二章-9
情形2. 已知贷款金额:设原始贷款金额为L ,贷款 贷利率为i ,n 次还清
首先计算每次的还款额 R:
Ra L n |i
或
R L a
n| i
预期法:(付款现金流确定)
BtpRant
|
i
L ( )a
a nt|
i
a L nt
a
|
利息理论应用
第二章-3
§4.1 摊还表
计算未结贷款余额 (Outstanding loan balance)
注：“ 未结本金”、“ 未付余额”、“剩余贷款 债务”
“账面价值”。
实际背景:在贷款业务中,每次分期还款后,借款人的 未偿还的债务在当时的价值。例如：某家庭现有 一个三十年的住房抵押贷款的分期还贷款，在已 经付款12 年后因为意外的一笔收入，希望一次将 余款付清，应付多少？
It 1vnt1
利息理论应用
第二章-18
Pt vnt1
从而未结贷款余额为
B t B t 1 P t v 1 v 2 ... v n t
BnBn1Pn0
2） 所有本金之和等于原始贷款，即
金融数学课件(英文版)第1讲
Introduction General properties of arbitrage-free prices One-period binomial model
L1.11
Arbitrage
Prices which admit arbitrage are, in some sense, incorrect. Existence of arbitrage is a severe form of the inconsistency and mispricing that we want to avoid. Assume no arbitrage, unless otherwise indicated. Thus, when we try to price some security, we are looking for an arbitrage-free price. Some authors define arbitrage without “type 2”. The distinction between our definition and their definition is essentially harmless, because: If there exists an asset whose price is always nonnegative and not always zero, then type 1 arb exists whenever type 2 arb exists. Bj¨rk’s term for arbitrage is “arbitrage possibility.” o
Introduction General properties of arbitrage-free prices One-period binomial model
L1.11
Arbitrage
Prices which admit arbitrage are, in some sense, incorrect. Existence of arbitrage is a severe form of the inconsistency and mispricing that we want to avoid. Assume no arbitrage, unless otherwise indicated. Thus, when we try to price some security, we are looking for an arbitrage-free price. Some authors define arbitrage without “type 2”. The distinction between our definition and their definition is essentially harmless, because: If there exists an asset whose price is always nonnegative and not always zero, then type 1 arb exists whenever type 2 arb exists. Bj¨rk’s term for arbitrage is “arbitrage possibility.” o
Introduction General properties of arbitrage-free prices One-period binomial model
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n|
n|
若 g>i，则债券溢价发行；
若g< i，则债券折价发行。
债券的价格取决于各期票息的现值和赎回值的现 值。由于债券买价经常低于或者高于赎回值，因 而投资者在赎回日就有利润或者亏损，该利润或 者亏损在计算到期收益率时就反映在债券收益率 中。因此，应该将每期票息分成利息收入和本金 调整两个部分。
一般的，若面值不是1,是C，表中各值乘以 Ｃ即可．
溢价摊销 折价积累
例 购买的面值1000元的2年期债券，票息率为每年计息两次 的年名义利率为8%，收益率为每年计息两次的年名义利率 ６%，建立债券分期偿还表。
期次(半年) 0 1 2 3 4
合计
票息
40.00 40.00 40.00 40.00 160.00
用这种方法将债券价值从购买日的买价连续地调 整到赎回日的赎回值。这些调整后的债券价值被 称为债券的账面值。
考虑面值为1，以面值赎回的n期附息债券 在不同时刻的账面值、利息的收入和本金 的调整状况。
记第t期票息中的利息收入为It 记第t时刻的本金调整为Pt 买价记为1+p
期次 票息
(2)溢价/折价公式：
P C [Nr(1 t) Ci]a n 1050 (420.8 10500.05)12.46 814.46
(3) Makeham公式： P K g(1 t) (C K ) i 395.73 0.04 0.8(1050 395.73) / 0.05 814.46
5.1 债券
1、所得税后的债券价格
首先定义如下符号： P：债券价格； N：债券的面值； C：债券的赎回值； r ： 债券的票息率； Nr：票息额；
《金融数学》课件
，防范系统性风险等。
03
金融市场法规
为了实现监管目标，政府或监管机构会制定一系列的金融市场法规，包
括证券法、银行法、保险法等，对市场参与者的行为进行规范和约束。
CHAPTER
06
金融数学案例分析
基于金融数学的资产组合优化
总结词
通过数学模型和优化算法，对资产组合进行 合理配置，实现风险和收益的平衡。
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CONTENTS
目录
• 金融数学概述 • 金融数学基础知识 • 金融衍生品定价 • 风险管理 • 金融市场与机构 • 金融数学案例分析
CHAPTER
01
金融数学概述
定义与特点
定义
金融数学是一门应用数学方法来 研究金融经济现象的学科，旨在 揭示金融市场的内在规律和预测 未来的发展趋势。
数值计算方法
数值积分
数值积分是用于计算定积分的近似值的方法，它在金融领域中用于计算期权价格和风险 值等。
数值优化
数值优化是用于寻找函数最优解的方法，它在金融领域中用于投资组合优化和风险管理 等。
CHAPTER
03
金融衍生品定价
期权定价模型
总结词
描述期权定价模型的基本原理和计算方法。
详细描述
期权定价模型是金融数学中的重要内容，用于确定期权的合理价格。常见的期权定价模型包括Black-Scholes模 型和二叉树模型。这些模型基于无套利原则和随机过程，通过求解偏微分方程或递归公式，得出期权的理论价格 。
金融市场的分类
按照交易标的物，金融市 场可分为货币市场、资本 市场、外汇市场和衍生品 市场等。
金融市场的功能
金融市场的主要功能包括 价格发现、风险管理、资 源配置和宏观调控等。
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2013-8-27
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二、金融数学的发展历程
1980年代以后，资产定价理论和不完全信息金融市场分析继续发展。 在资产定价理论方面，各种概念被统一到阿罗-德布鲁一般均衡框架下， 显得更为灵活和适用。鞅定价原理逐渐在资产定价模型中占据了中心位 置，达菲和黄(Duffle and Huang，1985)等在此基础上大大地推广了布莱 克-斯科尔斯模型。
同一时期另一引人注目的发展是非对称信息分析方法 开始使用。
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二、金融数学的发展历程
金融数学发展的第三个时期：
1980 年至今是金融数学发展的第三个时期，是成果
频出、不断成熟完善的时期。该期间的代表人物有达菲 （D . Duffie ）、卡瑞撤斯（I . Karatzas ）、考克斯（J . Cox ）、黄（C . F . Huang ）等。
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10
一、金融与金融数学
完整的现代金融学体系将以微观金融学和宏观金融
学为理论基础，扩展到各种具体的应用金融学学科，而数
理化（同时辅助以实证计量）的研究风格将贯穿从理论到 实践的整个过程。在现代金融学的发展历程中，两次华尔
街革命产生了一门新兴的学科，即金融数学。随着金融市
场的发展，金融创新日益涌现，各种金融衍生产品层出不 穷，这给金融数学的发展提出了更高的要求，同时也为金 融数学这一门学科的发展提供了广阔的空间。
括对金融机构的职能和作用及其存在形态的演进趋势的分析；金融
机构的组织形式、经济效率、混业与分业、金融机构的脆弱性、风 险转移和控制等。
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一、金融与金融数学
宏观金融分析从整体角度讨论金融系统的运行规律，重点 讨论货币供求均衡、金融经济关系、通货膨胀与通货紧缩、金 融危机、金融体系与金融制度、货币政策与金融宏观调控、国 际金融体系等问题。 与经济学的发展历程相反，金融学是先有宏观部分再有微 观部分。
鲁理论在一些基本的金融理论问题中的应用，并在一般均衡
体系中证明了M-M定理，第一次将阿罗-德布鲁框架与套利 理论联系起来。
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二、金融数学的发展历程
第二个时期为1969-1979 年： 这一时期是金融数学发展的黄金时代，主要代表人 物有莫顿（R . Merton ）、布莱克（F . Black ）、斯科尔
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6
一、金融与金融数学
金融是一个经济学的概念和范畴。通常，“金”是指资金，
“融”是指融通，“金融”则指资金的融通，或者说资本的 借贷，即由资金融通的工具、机构、市场和制度构成的有机 系统，是经济系统的重要组成部分。 金融核心：在不确定的环境下，通过资本市场，对资源进 行跨期（最优）配置。 如何理解其与传统经济学的联系与区别？
斯( M . Scholes ）、考克斯（J . Cox ）、罗斯
（Ｓ.Ross）、鲁宾斯坦（M . Rubinstein ）、莱克 (S.Lekoy）、卢卡斯（D . Lucas ）、布雷登（D . Breeden ）和哈里森（J . M . Harrison ) 等。
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二、金融数学的发展历程
金
融
数
学
南京大学金融与保险学系
2013-8-27
1
金
导论
融
数
学
第一章 金融数学基础
第二章 金融市场 第三章 资产组合复制和套利
第四章 股票与期权的二叉树模型
第五章 连续时间模型和Black-Scholes公式 第六章 Black-Scholes模型的解析方法 第七章 对冲 第八章 互换 第九章 债券模型
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4
导
论
被萨缪尔森誉为金融理论“专家中的专家”、 站在众多“巨人肩上的巨人”的莫顿(Robert C ．Merton)曾这样说过： 优美的科学不一定是实用的，实用的科学也未
必给人以美感，而现代金融理论却兼备了优美和实
用。
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导论
一、金融与金融数学 二、金融数学的发展历程 三、金融数学的结构框架
如：资产定价模型的检验、行为金融学的检验。
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二、金融数学的发展历程
金融数学的研究历程大致可分为三个时期： 第一个时期为发展初期：
代表人物有阿罗（K . A rrow ）、德布鲁（G . Debreu ）、
林特纳（J . Lintner ）、马柯维茨（H . M . Markowitz ）、夏普
在非对称信息分析方面，非合作博弈论及新产业组织理论的研究方 法得到广泛应用。戴蒙德(Diamond，1984)在利兰-派尔模型基础上，进 一步揭示了金融中介因风险分散产生的规模经济利益，并提出了金融中 介代理最终贷款者监督借款企业的效率优势。戴蒙德和迪布维克 (Diamond and Dybvig，1983)建立了提供流动性调节服务的银行模型； 戴蒙德(1989)、霍姆斯特龙和梯罗尔(Holmstrom and Tirole，1993)又以 道德危险(moral hazard)现象为基础，解释了直接金融和中介金融共存的 理由。至此，金融中介最基本的经济功能得到了较为完整的模型刻画。
汇 率 测 度 与 定 价 模 型
市 场 有 效 性 测 度 与 分 析
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三、金融数学的结构框架
第一部分是金融数学方法篇，阐述了金融数学的基本数学方法 和计量经济学在金融数学中的应用，重点讲述了微积分、线性代数、 概率论、计量经济学在金融数学中的应用。 第二部分是金融数学方法核心篇，阐述了资本资产定价模型和 期权定价模型。 第三部分是金融数学应用篇，阐述了金融数学在货币市场、外汇 市场、证券市场的应用。
首先，CAPM理论得到一系列的发展。在夏普-林特纳-莫辛单 期CAPM基础上，布莱克(Black，1972)对借贷引入限制，推导了无 风险资产不存在情况下的“CAPM”。萨缪尔森(1969)、鲁宾斯坦 (Rubinstein，1974，1976)、克劳斯和利曾伯格(Kraus and Litzenberger，1978)以及布伦南(Brennan，1970)等将马科维茨的静态 分析扩充至离散时间的多期分析，得到了跨期CAPM。莫顿(Merton， 1969，1971，1973a)则提供了连续时间的CAPM版本(称为ICAPM)。 罗斯(Ross，1976a)提出与CAPM竞争的套利定价理论(APT)。值得强 调的是，莫顿的这些文献不仅是建立了连续时间内最优资产组合模 型和资产定价公式，而且首次将伊藤积分引入经济分析。
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导 论
在人类发展史上，伴随着第一张借据的出现，金融
（finance）就产生了。时至今日，金融学已形成了宏观金融
学和微观金融学两个分支，其需要解决的核心问题是：如何
在不确定（uncertainty）的环境下，通过资本市场对资源进行
跨期的（intertemporally）最优配置（allocation）。金融发展
论有：资本资产定价模型，套利定价理论，期权定价理论
及动态投资组合理论。
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一、金融与金融数学
金融数学研究的主要内容：
风险管理
效用优化
金融数学的主要工具是随机分析和数理统计 （特别是非线性时间序列分析）。
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一、金融与金融数学
依据研究方法：
金融数学
规范金融数学
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三、金融数学的结构框架
金 融 融数学理论
金融数学应用
微
线 性
概
随 机
计 量 经
资 产 组 合 理 论
积 代 分 数
率 过 论 程
济 学
资 本 资 产 定 价 模 型
套 利 定 价 理 论
布 朗 运 动 与 伊 藤 方 程
布 莱 克 方 程
金 融 风 险 的 测 度 模 型
（w . Sharp ）和莫迪利亚尼（F . Modigliani ）等。
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二、金融数学的发展历程
尽管早在1900年，法国人L· 巴恰利尔(Louis Bachelier)在一篇关 于金融投机的论文中，已经开始利用随机过程工具探索那时尚无实 物的金融衍生资产定价问题，但巴恰利尔仅是那个时代的一颗孤星， 因为在随后的半个世纪中，他的论文只是在几个数学家和物理学家 手中流传（奠定了现代金融学发展的基调）。
与其说是一门独立学科，还不如说是作为一系列方法而存在 。
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一、金融与金融数学
金融数学 是金融经济学的数学化。金融经济学的主要
研究对象是在证券市场上的投资和交 易，金融数学则是通 过建立证券市场的数学模型，研究证券市场的运作规律。 金融数学研究的中心问题是风险资产（包括衍生金融产 品和金融工具）的定价和最优投资策略的选择，它的主要理
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金
融
学
理 论 层 次
宏观金融学
金融数学 金融计量经济学
微观金融学
金 融 决 策
金 融 中 介
中 应 用 层 次 央 银 行 学
货 币 政 策 分 析
金 融 监 管 学
国 际 金 融 学
证 公 金 金 金 金 券 司 融 融 融 风 投 财 市 工 险 资 务 场 程 管 融 资 产 定
史表明，伴随着金融学两个分支学科的深化与发展，金融数 学（Financial Mathematics）应运而生。
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导 论
如何理解：在不确定（uncertainty）的环境下，对资源
进行跨期的最优配置？
荒岛鲁宾逊传奇（Robinson Crusoe） 思路：求一个终身的跨期最优消费／投资问题； 工具：随机最优控制（Stochastic optimal control）