北大随机过程课件：第 3 章 第 4 讲 排队过程
马尔可夫过程排队过程
1 排队过程的基本参数和问题
排队模型的一般描述：A/R/S/N
排队系统的基本参数
排队的基本问题
排队问题的李特公式
2．排队问题的分析方法
3. 排队问题的Little定律
4．排队问题举例：
例1 排队问题M/M/1/∞（无限队长）
ξ是一个参数连续状态离散的马尔可夫过程。
(1)()t
(2) 求解Q矩阵：
(3) 研究稳态t→∞的状态概率分布
(4) 达到稳定状态后，系统中顾客的平均数L，
(5) 达到稳定状态后，系统中排队等待顾客的平均值L Q，
(6) 达到稳定状态后，顾客在系统中的平均时间W，
(7) 达到稳定状态后，顾客在系统中等待的平均时间WQ：
(8) Little定律：
M/M/1/∞排队模型总结：
系统中平均的顾客数和平均延迟与负载的关系：例2 排队问题M/M/1/N（有限队长）
例3 顾客成批到达的排队问题
例4 电话交换问题（M/M/N/N）
例5 M/M/s/∞排队系统
例6 队长为k>s、s个服务员的排队问题M/M/s/k
例7 机器维修问题
1 排队过程的基本参数和问题
排队模型的一般描述：A/R/S/N
排队系统的基本参数
A ：顾客到达系统的规律（典型的是泊松到达率），
R ：顾客在系统中接受服务的规律（典型的是负指数分布）， S ：系统中服务人员的个数（典型的是一个服务员）， N ：系统中排队队长的限制（典型的有限队长N ）。
排队的基本问题
在排队系统的平均顾客数L ， 在排队等候的平均顾客数L Q ， 顾客在系统中平均花费的时间W ， 顾客在排队等候的平均时间W Q 。
排队问题的李特公式
W L λ=，Q Q W L λ=
2．排队问题的分析方法
马尔可夫模型的排队问题，M/M/……
确定：
系统状态转换图， Q 矩阵，
稳态的线性方程组，
得到：
稳态分布的递推关系和稳态解，
分析：
系统中的平均顾客数、平均队长、系统中的时间、平均等待时间、李特公式。
3. 排队问题的Little 定律
W L λ=，Q Q W L λ=
排队系统中普适性的定律，统计量服从的公式，对到达过程、服务时间分布、服务规则无特殊要求。
4．排队问题举例：
M/M/1/∞、M/M/1/N、M/M/S、M/M/N/N、M/M/s/∞、M/M/s/k(k>s)
机器维修问题
例1 排队问题M/M/1/∞（无限队长）
设有一个服务台，到达服务台的顾客数是服从泊松分布的随机变量，即顾客流是泊松过程。单位时间到达服务台的平均人数为λ。服务台只有一个服务员，对顾客的服务时间是负指数分布的随机变量，平均服务时间是1/μ。服务台空闲时间到达的顾客立刻得到服务，如果顾客到达时服务员正在为另一顾客服务，则他必须排队等候，加入排队行列。
在t 时刻服务台的顾客数组成一个生灭过程。求 （1）在排队系统的平均顾客数L ； （2）在排队等候的平均顾客数L Q ； （3）顾客在系统中平均花费的时间W ； （4）顾客在排队等候的平均时间W Q 。 解：
设)(t ξ代表在t 时刻系统内的顾客人数，则状态空间为I ：{0,1,2,3，……，}。
(1)()t ξ是一个参数连续状态离散的马尔可夫过程。
M/M/1/∞系统的状态转换图：
M/M/1/∞是一个生灭过程。
(2) 求解Q 矩阵：
根据系统顾客到达规律和服务时间的分布
状态数增加表示有新的顾客到来，系统状态数增加的强度是λ；
状态数减小表示有顾客接受服务完而离开系统，系统状态数减小的强度是μ； 系统同时增加或减小两个和两个以上的顾客的概率是趋于0 的。
t Δ时间内系统增加一个顾客的概率是：
,1()(),0,1,2,i i P t t o t i λ+Δ=?Δ+Δ="
则：,1,10
()
,0,1,2,lim
i i i i t P t q i t
λ++Δ?>Δ=
==Δ"
t Δ时间内，因服务完毕离开而减少一个顾客的概率是：
,1()(),1,2,3,i i P t t o t i μ?Δ=?Δ+Δ="
则：,1,10
()
,1,2,3,lim
i i i i t P t q i t
μ??Δ?>Δ=
==Δ"
而：系统同时增加或减小两个和两个以上的顾客的概率是趋于0 的,
,()(),0,1,2,(1)3123,0(1)i j P t o t i i j i j i Δ=Δ=+<≤=≤
则： ,0,0,1,2,(1)3123,0(1)i j q i i j i j i ==+<≤=≤
根据0ij
j
q
=∑，得
,,,,0,1,2,3,i i i j j I j i
q q i ∈≠=?
=∑
"
则：
因此，系统的Q 矩阵为：
00
()
00
()00()
λλμλμλμλμλμλμ???
???+????=?+???+??????
Q """""
"
"
"
" (3) 研究稳态t →∞的状态概率分布
稳态方程
0)()(==
?t w dt d
Q t w ， 即
()0k k n
k
w t q
?=∑，
0001100w q w q ?+?=
11110n n n n nn n n n w q w q w q ??++?+?+?=
即，
010w w λμ?+=
11()0,0n n n w w w n λλμμ?+??++?=>
由此可得，
10w w μλ=
1,1n n w w n μλ+?=?>
上述方程称为生灭过程的稳态平衡流方程。
达到稳定状态的概率分布记：n n w p =，满足以下关系
01p p μ
λ=
02
2p p ??
??????=μλ 0
00001
11n
n n
n n n p p p p p λμλλμμ
∞
∞
==??=??????===
??????
∑∑""
"
"
由此得到：
当λμ<时，系统稳态分布存在 M/M/1/∞系统的稳态分布为：
011,1n
n p p n λ
μ
λλμμ=?
????
=?>??
??????
(4) 达到稳定状态后，系统中顾客的平均数L ，
()()()()()
()01102
1111111111n
n n n n
n n n L n p n d n d d
d λρμ
λλ
ρρμ
μ
λ
ρμ
λλμμλλρρρμμρρρ
ρρρρρρ
ρλμλ
∞
∞
==∞∞===
===??
??
=?=????
????
??
????=??=?????????=?=???=
?=
?∑∑∑∑
(5) 达到稳定状态后，系统中排队等待顾客的平均值L Q ，
()()
()
1
1
02
1111Q n n n
n n n L n p n p p p λμλλ
λμλμλλ
μλ
μ
λμμλ∞∞∞
====??=??=
?????
??=????????????=
?
?=
?∑∑∑
(6) 达到稳定状态后，顾客在系统中的平均时间W ，
每个顾客的平均服务时间是1/μ，顾客到达系统时系统中有n 个顾客，它将在系统中停留（n+1）个顾客的服务时间。
()
1
1
1
111
1
n n
n
n n n W n p n p p μ
μ
μ
λ
μμλ
μ
μλ
∞
∞
∞
====+?=?+
=+
?=
?∑∑∑
(7) 达到稳定状态后，顾客在系统中等待的平均时间WQ ：
1
1
1Q n n
n n W n
p n p
μμ
λμμλ
∞
∞
===?=
?=
?∑∑
(8) Little 定律：
λ
μλ?=
L ，λ
μ?=
1
W ，W L λ= ()λμμλ?=2Q L ，λ
μλ
μ?=1Q W ，Q Q W L λ=
M/M/1/∞ 排队模型 总结：
泊松到达，到达率λ
指数分布服务时间，平均服务时间1/μ，
λ
ρμ
=
，系统负载因子，1ρ<时系统稳定 服务规则：FCFS ；
在排队系统的平均顾客数：1L λρ
μλ
ρ
=
=
??
在排队等候的平均顾客数：()()
22
1Q L λρμμλρ==
?? 顾客在系统中平均花费的时间(延迟时间)：1
W μλ
=
? 顾客在排队等候的平均时间：1Q W λ
μμλ
=
?
系统中平均的顾客数和平均延迟与负载的关系：
，负载因子，平均服务时间内到达的顾客数。
轻负载情况下λ<<μ，延迟近似为平均服务时间，基本是线性关系
负载较重时，系统不稳定，拐点之后的负载小变化导致系统滞留顾客数和延迟急剧增加；
λ≈μ，极度繁忙，几乎无限延迟
延迟时间的分布：
参数为μ-λ的指数分布，
例2 排队问题M/M/1/N（有限队长）
设有一个服务台，到达服务台的顾客数是服从泊松分布的随机变量，即顾客流是泊松过程。单位时间到达服务台的平均人数为λ。服务台只有一个服务员，对顾客的服务时间是负指数分布的随机变量，平均服务时间是1/μ。服务台空闲时间到达的顾客立刻得到服务；如果顾客到达时服务员正在为另一顾客服务，则他必须排队等候，加入排队行列；
如果服务台的顾客总数到达N 个，则新来的顾客将离去。在t 时刻服务台的顾客数组成一个生灭过程。求 在排队系统的平均顾客数L 在排队等候的平均顾客数L Q 顾客在系统中平均花费的时间W 顾客在排队等候的平均时间W Q 。 解：M/M/1/N 是一个生灭过程 （1） 绘出系统的状态转换图
（2）
（3） 列出Q 矩阵
（4） 给出稳态状态分布的线性方程组
给出系统达到稳定状态后的线性方程组
01
12
1k k N N
p p p p p p p p λμλμλμλμ+===="
"
达到稳定状态的概率分布，满足以下关系
01p p μ
λ= "
"
"
"
p p n
n ????????=μλ
1
00
0001
1
1111111N
N N n N N
n n n n
n N N p p p p p p p λμλμλλμμ
λ
λλμ
μ
μλλμμ+==++??=????
???????
??
===??????
??
??=
=??
??
????????????
??
∑∑
（4）达到稳定状态后，系统中顾客的平均数L ，
()
()
()()()10
1
1
111111N N
n
N n n n N N L n p n d d λρμ
λμλμλμρρρ
ρρρ
+==++=
??=?=?????
?=???∑∑
()()()
()()
11
2
111(1)1111(1)11N N
N N N
N N N N N λρμ
λρμ
ρρρρρ
ρρρρρρ++=
++=
+?+=???
?+?+=??
?
（5）达到稳定状态后，系统中排队等待顾客的平均值L Q ，
()()
1
1
011N N N
Q n n n
n n n L n p n p p L p ====??=??=??∑∑∑
（6）达到稳定状态后，顾客在系统中的平均时间W ：
每个顾客的平均服务时间是1/μ，顾客到达系统时系统中有n 个顾客，它将在系统中停留（n+1）个顾客的服务时间，而顾客到达时系统中最多有N-1个顾客，到达的顾客才会等待服务：
()
[]
N N N N N n n N n n
N n n
N n n p Np L p Np p n p
p
n p n W ?+?=???????+??=+
?=
?+=∑∑∑∑=?=?=?=11
111
1
1
1011
10
10
μ
μμ
μ
μ
（7）达到稳定状态后，顾客在系统中等待的平均时间W Q ，
[]
N N N n n N n n Q Np L Np p n p n W ?=?
??
?????=?=∑∑=?=μ
μμ1
11
01
0 L 和W 的关系：
μ
λρρρ
ρ
λ
μλμλμλμλ=
++==?+?+?=
???
?
????????????????
?
??????
??
?
?????=?=∑∑1
1
001)1(111N N
N N
n N n
n N
n N N n p n L
()()()()()()11111111
11111111111111111N N N N N N N N N N W L N p L N L N N L N N λ
ρμ
λρμ
λ
ρμ
ρρμμρρρρμρρρμρ+=+++=++=?
??=?++=?++?????????????=
???+++???????????=
?+?+???????
11L L L μλμλλ
???
=
?????=
L Q 和W Q 的关系：（略） 李特公式仍旧成立。
W L λ=
Q Q W L λ=
结论：排队问题的李特公式
W L λ=
Q Q W L λ=
例3 顾客成批到达的排队问题
设有一个排队服务系统，有一个服务人员。假设顾客成批到达服务点，每批的顾客数是常数K ，在（0，T ）时间间隔内到达的顾客批数是服从泊松分布的随机变量，单位时间内到达的平均批数为λ；假设服务员每次对一位顾客服务，平均服务时间是1/μ。 求在排队系统的平均顾客数L ，在排队等候的平均顾客数L Q ，顾客在系统中平均花费的时间W ，顾客在排队等候的平均时间W Q 。 解：
绘出系统的状态转换图：
给出系统达到稳定状态后的线性方程组：
01
110
(),1(1)(),1
n n n n k n n
n p p p p n k p p p n k p
λμλμμλμλμ??+∞
==+=≤≤?+=+≥=∑
由此解出系统的稳态分布。
例4 电话交换问题（M/M/N/N ）
某电话总机有n 条外线。在某一用户呼叫到来时，如果有空闲线路，则该呼叫占用其中某一空闲线路进行通话。如果通话结束，则该线路使用完毕而成为空闲线路，等待下一次呼叫。如果呼叫到来时遇到n 条线路均被占用，则该呼叫遭到拒绝。假设呼叫时按照泊松律到达，即在),(t t t Δ+内到达一次呼叫的概率是)(t o t Δ+Δ?λ，到达二次或二次以上呼叫的概率是)(t o Δ；假设某一线路在某时刻t 被占用，而这条线路在),(t t t Δ+时间间隔内空闲出来的概率是
)(t o t Δ+Δ?μ，即通话时间大于等于t 的概率
{}t r e t T P μ?=≥。
求k 条线路被占用的概率。 解：
设系统的状态用t 时刻占用线路数表示，系统的状态转换图为：
稳态解：
101,
1n n p p p p n N
n λ
μλμ
?=
=≤≤
考虑到上述递推关系和规一化条件：
01,
1!k
k p p k N k λμ??=≤≤????
10
=∑=n
k k
p
得：t 时刻k 条线路占线的概率
011!!k
j
N
k j p k j λλμμ=????=??
????
??
∑
阻塞概率：
N
2 (N-1)
011!!N
j
N
N j p N j λλμμ=??
??
=??????
??
∑
例5 M/M/s/∞排队系统
无限队长、s 个服务员的排队问题M/M/s/∞,求系统的稳态解，平均排队长度、系统中平均顾客数、顾客在系统中的平均时间、顾客在系统中的平均排队时间 解：
绘出系统的状态转换图：
M/M/s/∞排队系统是一个生灭过程，到达率和离去率为：
s
n if
s s n if n n n n ≥=<==,
,μμμμλ
λ 给出稳态的线性方程组，以及稳态概率的递推关系，
11002
201!11!11,!1!21p s s p p s s p s
k p k p p p p p r s r r
s s s k
k ++++???
?
????=???
?????=≤????
????=???
?
????==
μλμλμλμλμ
λ""""""
稳态概率：
1
100111!!1n s
s n p n s s λλλμμμ??=??
??????=+?????????????????
∑
001!1
!n
n n
n n s
p p n s
n p p n s
s s λμλμ???
=?≤??????=
?>?????
系统中的平均顾客数：
1
s
n n n
n n n s L np np np
∞∞
===+==+
∑∑∑
系统中的平均排队等待的顾客数：
1
()Q n
n s L n s p
∞
=+=
?∑
系统中的顾客平均排队等待的时间：
顾客等待时总有s 个服务员在为顾客服务，顾客平均离去率是s μ,等待一个顾客离开的时间是１/s μ, 则：
111(1)()Q n n n n s n s n s
W n s p n s p p s s s μμμ∞
∞∞
====?+=?+∑∑∑ 顾客在系统中的平均时间：
011
n n n s n n s W p p s μμ
∞
∞
==?+=+∑∑
例6 队长为k>s 、s 个服务员的排队问题M/M/s/k
队长为k>s 、s 个服务员的排队问题M/M/s/k,求系统的稳态解。 解：
系统的状态是I:0,1,2, s,s+1, k 。 系统是一个生灭过程。
k
n s s s n n n
k k n n n n n ≤≤=<<=≤=<≤=,0,,00,μμμμλλλ
例7 机器维修问题
设有M 台机器，在运行过程的任何时刻，都可能发生故障而需要维修。机器从开始运行到需要维修的时间间隔服从负指数分布的随机变量。某机器在时刻t 处于运行状态，而在（t,t+Δt ）需要维修的概率是λΔt+0(Δt)；反之，若机器在时刻t 处于维修状态，而在（t,t+Δt ）恢复运行状态的概率是μΔt+0(Δt)。为了管理机器配备一名维修工，那么有一台机器发生故障时，该机器可以立刻得到维修，当维修工正在维修某台机器时，新发生故障的机器排队等待维修。若发生故障的机器有n 台，则一台机器正在维修，而n －1台机器排队等待维修，系统处于状态n ；若所有机器处于运行状态，系统处于状态0。因此系统有M+1个状态：0，1，2， ，M 。 求 （1）系统处于稳态的概率分布；
（2）处于不工作状态机器的平均数； （3）处于等待维修状态机器的平均数。 解：
发生故障的机器有n 台，记系统处于状态n ，系统的工作过程是一个生灭过程，状态空间为{0，1，2，……，M}。 系统的状态转换图：
计算系统在稳定状态后的概率分布：
给出系统达到稳定状态后的线性方程组
()0111,
0n n M M
M p p M n p p n M p p λμλμλμ+?=?=≤<=""
""
由此可以得到，
()()10
00
11!n
n M
M p M p p M M M n p p M p λμλμλμ=??
=??+????
??=????
"
"
"""
利用归一化条件得到：
()()()0000!111!n
k
M
M
k k M p M M M k p M k λλμμ==????
??+==?????????∑∑"
()1
00!!k M k M p M k λμ?=??
??=????
???????∑ ()()0!!!!n
k M n k M M p M n M k λλμμ=??
????=????
??????
??????
∑
计算系统中不工作机器的平均值：
∑∑====M
n n M n n np np L 1
考虑到系统达到稳定状态后的线性方程组：
()1,
0n n M n p p n M λμ+?=≤<
即：
()11
10
M M n n n n M n p p λμ??+==?=∑∑
()()()
()
11
1
110
1
1
1
001
001()11M M n n n n M M M
n n n
n n n M M M
n n n n n n M M M n p p M p n p p M p n p p M p L Mp p L M p λμλλμμλμ
λ
μ
λ
??+==??===??===?=?=?=???=?=??∑∑∑∑∑∑∑∑
计算等待维修机器数的平均值：
())1()1(1001
1
1
p M p L p p n p n L M
n n
M n n M
n n
Q ?+?
=??=?=?=∑∑∑===λ
μ
λ
北大随机过程课件：第 3 章 第 2 讲 马尔可夫过程
马尔可夫过程 ?1马尔可夫过程概论 6 1.1马尔可夫过程处于某个状态的概率 6 1.2马尔可夫过程的状态转移概率 6 1.3参数连续状态离散马尔可夫过程的状态转移的切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 齐次切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 转移概率分布函数、转移概率密度函数 6 1.4马尔可夫过程状态瞬时转移的跳跃率函数和跳跃条件分布函数 瞬时转移概率分布函数 6 1.5确定马尔可夫过程Q矩阵 跳跃强度、转移概率Q矩阵 ?2参数连续状态离散马尔可夫过程的前进方程和后退方程 柯尔莫哥洛夫-费勒前进方程（利用Q矩阵可以导出、转移概率的微分方程）福克-普朗克方程（状态概率的微分方程） 柯尔莫哥洛夫-费勒后退方程（利用Q矩阵可以导出、转移概率的微分方程）?3典型例题 排队问题、机器维修问题、随机游动问题的分析方法 ?4马尔可夫过程的渐进特性 稳态分布存在的条件和性质 稳态分布求解 ?5马尔可夫过程的研究 1概论 1.1 定义及性质 1.2 状态转移概率 1.3 齐次马尔可夫过程的状态转移概率 1.5跳跃强度、转移概率Q矩阵 2 前进方程和后退方程 2.1 切普曼-柯尔莫哥洛夫方程 2.2柯尔莫哥洛夫-费勒前进方程 2.2福克-普朗克方程 2.3柯尔莫哥洛夫-费勒后退方程 3典型的马尔可夫过程举例 例1 例2 例3 例4，随机游动 4马尔可夫过程的渐进特性 4.1 引理1 4.2 定理2 4.3 定理
5马尔可夫过程的研究 6关于负指数分布的补充说明：
1概论 1.1定义：马尔可夫过程 ()t ξ： 参数域为T ，连续参数域。以下分析中假定[0,)T =∞； 状态空间为I ，离散状态。以下分析中取{0,1,2,}I ="； 对于T t t t t m m ∈<<<<+121"，若在12m t t t T <<<∈"这些时刻观察到随机过程的值是12,,m i i i "，则 1m m t t T +>∈时刻的条件概率满足: {}{}1111()/(),,()()/(), m m m m m m P t j t i t i P t j t i j I ξξξξξ++======∈" 则称这类随机过程为具有马尔可夫性质的随机过程或马尔可夫过程。 1.2 定义：齐次马尔可夫过程 对于马尔可夫过程()t ξ，如果转移概率{}21()/()P t j t i ξξ==只是时间差12t t ?=τ的函数,这类马尔可夫过程称为齐次马尔可夫过程。 1.３ 性质 马尔可夫过程具有过程的无后效性； 参数连续状态离散的马尔可夫过程的条件转移概率为： {}{}212112()/()0()/(),,P t j t t t P t j t i t t i j I ξξξξ′′=≤≤===≤∈ 马尔可夫过程的有限维联合分布律可以用转移概率来表示 {} {}{}{}32132211123(),(),()()/()()/()(),,,P t k t j t i P t k t j P t j t i P t i t t t i j k I ξξξξξξξξ=========≤≤∈ 马尔可夫过程的有限维条件分布律可以用转移概率来表示
第2章 随机过程习题及答案
第二章 随机过程分析 1.1 学习指导 1.1.1 要点 随机过程分析的要点主要包括随机过程的概念、分布函数、概率密度函数、数字特征、通信系统中常见的几种重要随机过程的统计特性。 1. 随机过程的概念 随机过程是一类随时间作随机变化的过程，它不能用确切的时间函数描述。可从两种不同角度理解：对应不同随机试验结果的时间过程的集合，随机过程是随机变量概念的延伸。 2. 随机过程的分布函数和概率密度函数 如果ξ(t )是一个随机过程，则其在时刻t 1取值ξ(t 1)是一个随机变量。ξ(t 1)小于或等于某一数值x 1的概率为P [ ξ(t 1) ≤ x 1 ]，随机过程ξ(t )的一维分布函数为 F 1(x 1, t 1) = P [ξ(t 1) ≤ x 1] (2-1) 如果F 1(x 1, t 1)的偏导数存在，则ξ(t )的一维概率密度函数为 1111111 (,) (, ) (2 - 2)?=?F x t f x t x 对于任意时刻t 1和t 2，把ξ(t 1) ≤ x 1和ξ(t 2) ≤ x 2同时成立的概率 {}212121122(, ; , )(), () (2 - 3)F x x t t P t x t x ξξ=≤≤ 称为随机过程ξ (t )的二维分布函数。如果 2212122121212 (,;,) (,;,) (2 - 4)F x x t t f x x t t x x ?=??? 存在，则称f 2(x 1, x 2; t 1, t 2)为随机过程ξ (t )的二维概率密度函数。 对于任意时刻t 1，t 2，…，t n ，把 {}n 12n 12n 1122n n ()(),(), ,() (2 - 5) =≤≤≤F x x x t t t P t x t x t x ξξξ，，，；，，，称为随机过程ξ (t )的n 维分布函数。如果 n n 12n 12n n 12n 12n 12n (x ) () (2 - 6)?=???F x x t t t f x x x t t t x x x ，，，；，，，，，，；，，， 存在，则称f n (x 1, x 2, …, x n ; t 1, t 2, …, t n )为随机过程ξ (t )的n 维概率密度函数。 3. 随机过程的数字特征 随机过程的数字特征主要包括均值、方差、自相关函数、协方差函数和互相关函数。 随机过程ξ (t )在任意给定时刻t 的取值ξ (t )是一个随机变量，其均值为 []1()(, )d (2 - 7)E t xf x t x ξ∞ -∞ =?
最新随机过程练习(第二章)
随机变量巩固练习―――重点：“函数的函数”相关运算 定理 1 设X 为连续型一维随机变量，其概率密度函数为()X f x ,则对于Y ＝g(X)的概率密度函数，有下列结果： （1）若g(x)是严格单调可微函数，则Y=g(X)的概率密度函数为 (())'(),()0, X Y f h y h y y I f y y I ?∈?=???? 其中h(y)是y=g(x)的反函数. (2)若g(x)不是严格单调可微函数，则将g(x)在其定义与上分成若干个单调分支，在每个单调分支上应用(1)的结果得Y=g(X)的概率密度函数为 1122(())'()(())'(),()0, X X Y f h y h y f h y h y y I f y y I ?++∈?=???? 其中I 是在每个单调分支上按照（1）确定的y 的取值公共部分。 练习1 设~[,],tan 22X U Y X ππ-=，试求Y 的概率密度函数()Y f y . 练习2 设 随机变量X 在(0,1)区间内服从均匀分布，试求 （1）X Y e =的概率密度函数 （2）2ln Y X =-的概率密度函数
随机过程巩固练习 1 设随机过程(),(0,),X t Vt b t b =+∈∞为常数，V 为服从正态分布N(0,1)的随机变量。求：X(t)的一维概率密度函数、均值和相关函数。 2 设随机变量Y 具有概率密度函数f(y),令 (),0,0Yt X t e t Y -=>> 求随机过程X(t)的一维概率密度函数、均值和相关函数。 3 设有随机过程()cos()sin()X t A wt B Wt = +，其中w 为常数，A ，B 是相互独立的且服从正态分布2(0,)N σ的随机变量。求随机过程的均值和相关函数。 4 已知随机过程X(t)的均值函数()X m t 和协方差函数12(,),()X B t t t ?为普通函数，令()()()Y t X t t ?=+，求随机过程Y(t)的均值和协方差函数。 5 设随机过程()cos()X t A wt =+Θ，其中,A w 为常数，随机变量Θ服从(,)ππ-上 的均匀分布。令2()()Y t X t = ，求(,)Y R t t s + 6 设X(t)为实随机变量，x 为任意实数，令 1,()()0,()X t x Y t X t x ≤?=?>? 证明随机过程 Y(t)的均值函数和相关函数分别是X(t)的一维和二维分布函数。
随机过程-习题-第4章-01
4.1 设有一泊松过程(){}0,≥t t N ，求： （1）()(){}2211,k t N k t N P ==，用21t t 、的函数表示之； （2）该过程的均值和相关函数。 问该过程是否为平稳过程？ (1) 解：首先， {}{}{}1111222211)()()()(,)(k t N P k t N k t N P k t N k t N P ====== 根据泊松过程的独立增量性质可知 {}{}) (1212121211221212!)()]([)()()(t t k k e k k t t k k t t N P k t N k t N P -----=-=-===λλ 于是， {}21 122! )(!)()(,)(1211122211t k k k k e k k k t t t k t N k t N P λλ----= == (2) 解：该过程的均值为 []()()t k t te e k t k t N E k k t k t k λλλλλλ=??? ? ??-==∑∑+∞=--+∞ =-110!1!)()( 根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为(12t t >) [] ()[])] ([)]()([)]([)()()()()()(12121112121t N E t N t N E t N E t N t N t N t N E t N t N E +-=+-= 其中， )()]()([1212t t t N t N E -=-λ 12 1212)]([t t t N E λλ+= 于是，12t t >时的相关函数为 []121212 12121221)()()(t t t t t t t t t N t N E λλλλλ+=++-= 同理可得21t t >时的相关函数为 []221221)()(t t t t N t N E λλ+=
随机过程习题第2章
2.1 设)(t ξ是一马尔可夫过程，又设k n n n t t t t t ++<<<<<<ΛΛ121。试证明： )/(),,/(1/1,,/11++++++=n n t t k n n n t t t x x f x x x f n n k n n n ΛΛ 即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。 证明：首先，由条件概率的定义式得 ) ,,(),,,(),,/(1,,1,,,1,,/111k n n t t k n n n t t t k n n n t t t x x f x x x f x x x f k n n k n n n k n n n ++++++++++++= ΛΛΛΛΛΛ 根据马尔可夫性将上式中的分子和分母展开，并化简得 ) () ()/()()/()/() ()/()/()/(),,/(11/112/1/1/12/1/1,,/11112111211+++++-+++++-+++++++++-+++++-++++== n t n t n n t t n t n n t t k n k n t t n t n n t t n n t t k n k n t t k n n n t t t x f x f x x f x f x x f x x f x f x x f x x f x x f x x x f n n n n n n n k n k n n n n n n k n k n k n n n ΛΛΛΛ 于是， )/() (),(),,/(1/11,1,,/1111++++++++++== n n t t n t n n t t k n n n t t t x x f x f x x f x x x f n n n n n k n n n ΛΛ 2.2 试证明对于任何一个马尔可夫过程，如“现在”的)(t ξ值为已知，则该过程的“过去”和“将来”是相互统计独立的，即如果有321t t t <<，其中2t 代表“现在”，1t 代表“过去”，3t 代表“将来”，若22)(x t =ξ为已知值。试证明： )/()/()/,(23/21/231/,2321231x x f x x f x x x f t t t t t t t = 证明：首先，由条件概率的定义式得 ) () ,,()/,(2321,,231/,2321231x f x x x f x x x f t t t t t t t = 然后，根据马尔可夫性将上式中的分子展开，并化简得 ) (),() /()() ()/()/()/,(221,23/2112/23/231/,22123211223231x f x x f x x f x f x f x x f x x f x x x f t t t t t t t t t t t t t t ==
随机过程-习题-第4章
设有一泊松过程(){}0,≥t t N ，求： （1）()(){}2211,k t N k t N P ==，用21t t 、的函数表示之； （2）该过程的均值和相关函数。 问该过程是否为平稳过程？ (1) 解：首先， {}{}{}1111222211)()()()(,)(k t N P k t N k t N P k t N k t N P ====== 根据泊松过程的独立增量性质可知 {}{}) (1212121211221212!)()]([)()()(t t k k e k k t t k k t t N P k t N k t N P -----=-=-===λλ 于是， {}21 122! )(!)()(,)(1211122211t k k k k e k k k t t t k t N k t N P λλ----= == (2) 解：该过程的均值为 []()()t k t te e k t k t N E k k t k t k λλλλλλ=??? ? ??-==∑∑+∞=--+∞ =-110!1!)()( 根据泊松过程的独立增量过程性质可得其相关函数为(12t t >) [] ()[])] ([)]()([)]([)()()()()()(12121112121t N E t N t N E t N E t N t N t N t N E t N t N E +-=+-= 其中， )()]()([1212t t t N t N E -=-λ 12 1212)]([t t t N E λλ+= 于是，12t t >时的相关函数为 []121212 12121221)()()(t t t t t t t t t N t N E λλλλλ+=++-= 同理可得21t t >时的相关函数为 []221221)()(t t t t N t N E λλ+=
第二章 随机过程汇总
第 2 章 随机过程 2.1 引言 ?确定性信号是时间的确定函数，随机信号是时间的不确定函数。 ?通信中干扰是随机信号，通信中的有用信号也是随机信号。 ?描述随机信号的数学工具是随机过程，基本的思想是把概率论中的随机变量的概念推广到 时间函数。 2.2 随机过程的统计特性 一.随机过程的数学定义： ?设随机试验E 的可能结果为)(t g ，试验的样本空间S 为{x 1(t), x 2(t)， …, x n (t),…}， x i (t) 是第i 次试验的样本函数或实现，每次试验得到一个样本函数，所有可能出现的结果的总体就构成一随机过程，记作)(t g 。 随机过程举例：
二.随机过程基本特征 其一，它是一个时间函数； 其二，在固定的某一观察时刻1t ，)(1t g 是随机变量。 随机过程具有随机变量和时间函数的特点。 ● 随机过程)(t g 在任一时刻都是随机变量； ● 随机过程)(t g 是大量样本函数的集合。 三.随机过程的统计描述 设)(t g 表示随机过程，在任意给定的时刻T t ∈1， )(1t g 是一个一维随机变量。 1.一维分布函数：随机变量)(t g 小于或等于某一数值x 的概率，即 })({);(1x t g P t x P ≤= 2.2.1 2.一维概率密度函数:一维概率分布函数对x 的导数. x t x P t x p ??= ) ;(),(11 2.2.2 3.对于任意两个时间1t 和2t ,随机过程的对应的抽样值)(1t g )(2t g 为两个随机变量.他们的联合分布定义为)(t g 的二维分布 })(;)({),;,(221121212x t g x t g P t t x x P ≤≤= 2.2.3 4.二维分布密度定义为 2 12121221212) ,;,(),;,(x x t t x x P t t x x p ???= 2.2.4 四.随机过程的一维数字特征 设随机过程)(t g 的一维概率密度函数为),(1t x p . 1.数学期望(Expectation) dx t x xp t g E t g );()]([)(1?∞ ∞ -==μ 2.2.5 2.方差(Variance)
北大随机过程课件：第 3 章 第 4 讲 排队过程
马尔可夫过程排队过程 1 排队过程的基本参数和问题 排队模型的一般描述：A/R/S/N 排队系统的基本参数 排队的基本问题 排队问题的李特公式 2．排队问题的分析方法 3. 排队问题的Little定律 4．排队问题举例： 例1 排队问题M/M/1/∞（无限队长） ξ是一个参数连续状态离散的马尔可夫过程。 (1)()t (2) 求解Q矩阵： (3) 研究稳态t→∞的状态概率分布 (4) 达到稳定状态后，系统中顾客的平均数L， (5) 达到稳定状态后，系统中排队等待顾客的平均值L Q， (6) 达到稳定状态后，顾客在系统中的平均时间W， (7) 达到稳定状态后，顾客在系统中等待的平均时间WQ： (8) Little定律： M/M/1/∞排队模型总结： 系统中平均的顾客数和平均延迟与负载的关系：例2 排队问题M/M/1/N（有限队长） 例3 顾客成批到达的排队问题 例4 电话交换问题（M/M/N/N） 例5 M/M/s/∞排队系统 例6 队长为k>s、s个服务员的排队问题M/M/s/k 例7 机器维修问题
1 排队过程的基本参数和问题 排队模型的一般描述：A/R/S/N 排队系统的基本参数 A ：顾客到达系统的规律（典型的是泊松到达率）， R ：顾客在系统中接受服务的规律（典型的是负指数分布）， S ：系统中服务人员的个数（典型的是一个服务员）， N ：系统中排队队长的限制（典型的有限队长N ）。 排队的基本问题 在排队系统的平均顾客数L ， 在排队等候的平均顾客数L Q ， 顾客在系统中平均花费的时间W ， 顾客在排队等候的平均时间W Q 。 排队问题的李特公式 W L λ=，Q Q W L λ= 2．排队问题的分析方法 马尔可夫模型的排队问题，M/M/…… 确定： 系统状态转换图， Q 矩阵， 稳态的线性方程组， 得到： 稳态分布的递推关系和稳态解， 分析： 系统中的平均顾客数、平均队长、系统中的时间、平均等待时间、李特公式。 3. 排队问题的Little 定律 W L λ=，Q Q W L λ= 排队系统中普适性的定律，统计量服从的公式，对到达过程、服务时间分布、服务规则无特殊要求。
《随机过程答案》第四章习题
第四章 二阶矩过程、平稳过程和随机分析 习题完整答案，请搜淘宝 1、 设∑=-=N k k k k n U n X 1)cos(2ασ ，其中k σ和k α为正常数，)2,0(~πU U k ，且相互 独立，N k ,,2,1 =，试计算},1,0,{ ±=n X n 的均值函数和相关函数，并说明其是否是平稳过程。 2、 设有随机过程))(cos()(t t A t X πηω+=，其中0>ω为常数，}0),({≥t t η是泊松过程， A 是与)(t η独立的随机变量，且2/1}1{}1{===-=A P A P 。 （1） 试画出此过程的样本函数，并问样本函数是否连续？ （2） 试求此过程的相关函数，并问该过程是否均方连续？ 3、 设}0),({≥t t X 是一实的零初值正交增量过程，且),(~)(2 t N t X σμ。令1)(2)(-=t X t Y ，0≥t 。试求过程}0),({≥t t Y 的相关函数),(t s R Y 。 4、 设有随机过程)sin(2)(Θ+=t Z t X ，+∞<<∞-t ，其中Z 、Θ是相互独立的随机 变量，)1,0(~N Z ，2/1)4/()4/(=-=Θ==ΘππP P 。问过程)(t X 是否均方可积过程？说明理由。 5、 设随机过程t Y t X t 2sin 2cos )(+=ξ，+∞<<∞-t ，其中随机变量X 和Y 独立同分 布。 （1） 如果)1,0(~U X ，问过程)(t ξ是否平稳过程？说明理由； （2） 如果)1,0(~N X ，问过程)(t ξ是否均方可微？说明理由。 6、 设随机过程});({+∞<<∞-t t X 是一实正交增量过程，并且0)}({=t X E ，及满足： {}+∞<<∞--=-t s s t s X t X E ,,)]()([2； 令：+∞<<∞---=t t X t X t Y ),1()()(，试证明)(t Y 是平稳过程。 7、 设0);sin()(≥=t Yt X t ξ，而随机变量X 、Y 是相互独立且都服从]1,0[上的均匀分布， 试求此过程的均值函数及相关函数。并问此过程是否是平稳过程，是否连续、可导？ 8、 设}),({R t t X ∈是连续平稳过程，均值为m ，协方差函数为ττb X ae C -=)(，其中:R ∈τ，0,>b a 。对固定的0>T ，令?-=T ds s X T Y 01)(，证明：m Y E =}{, )]1()()[(2)(21bT e bT bT a Y Var -----=。 9、 设),,,0,0(~),(2221ρσσN Y X ，令tY X t X +=)(，以及?=t du u X t Y 0)()(，
北大随机过程课件：第 3 章 第 6 讲 特征函数与母函数
特征函数、母函数、矩母函数 确定随机变量的概率密度函数/分布律 方便求解独立随机变量和的分布函数一类问题 可以通过微分运算求随机变量的数字特征 1．特征函数： 设随机变量ξ的分布函数为Ｆ(x), 概率密度函数为f(x), 称： (){}()()jt jtx jtx t E e e dF x e f x dx ξ∞∞?∞?∞ Φ===∫∫ 为随机变量ξ的分布函数的特征函数，或ξ的特征函数,特征函数是概率密度函数的付氏变换。 特征函数的性质： 1．特征函数与概率密度函数相互唯一地确定； 2．两个相互统计独立的随机变量和的特征函数等于各个随机变量特征函数的积； 3．特征函数与随机变量的数字特征的关系：()0()|{}k k k t t j E ξ=Φ= 典型随机变量的特征函数 1． 两点分布的特征函数：()jt t q pe Φ=+ 2． 二项式分布的特征函数：()()n jt t q pe Φ=+ 3． 几何分布：()1jt jt pe t qe Φ=? 4． 泊松分布(λ)：(1)()jt e t e λ??Φ= 5． 正态分布2(,)N σ?：22 ()exp{}2t t j t σΦ=?? 6． 均匀分布[0，1]：1()jt e t jt ?Φ= 7． 负指数分布：()t jt λ λΦ=?
2．母函数 研究分析非负整值随机变量时，可以采用母函数法： 对于一个取非负整数值n=0,1,2,……，的随机变量x ，，其相应的矩生成函数定义为： 0()()n n z p x n z ∞ =Φ==?∑ (1/)z Φ是序列()p x n =的正常的z 变换 母函数的性质： 1． 两个相互统计独立的随机变量和的母函数等于各个随机变量的母函数的积。 2． 随机个独立同分布的非负整值随机变量和的矩生成函数是原来两个母函数的复合(见附 合泊松过程的应用) 3．()000(),()!1,2,k k z z z p z k p k ==Φ=Φ==" 通过母函数有理分式的幂级数展开等方法，得到随机变量的概率分布表达式。 3． ()1(){(1)(1)}1,2,k z z E X X X k k =Φ=??+="" 通过矩生成函数的微分可以得到随机变量的数字特征： 均值： '1{}()|z E X z ==Φ 方差： 22''''2111{}{}[{}]()|()|[()|]z z z D X E X E X z z z ====?=Φ+Φ?Φ 典型随机变量的母函数 1． 两点分布的母函数：()z q pz Φ=+ 2． 二项式分布的母函数：()()n z q pz Φ=+ 3． 泊松分布(λ)：(1)()z z e λ??Φ= 4． 几何分布：()1pz z qz Φ=?
《随机过程》第二章题目与答案
第二章 一、填空题 1、随机过程若按状态空间与参数集分类可分为＿＿、＿＿、＿＿、＿＿四类. 2、＿＿是随机过程{X(t)，t∈T}在时刻t的平均值，＿＿是随机过程在时刻t对均值m x(t)的偏离程度，而＿＿和＿＿则反映随机过程{X(t)，t∈T}在时刻s和t 时的线性相关度. 3、若随机变量x服从（01）分布，即p k=p{x=k}=,k=0,1则其特征函数g(t)=＿＿. 4、若随机变量X服从参数为的指数分布，则其特征函数g(t)=＿＿. 5、若随机变量X服从退化分布，即p(X=c)=1，其中c为常数，则其特征函数g(t)=＿＿. 二、计算题 1、已知Γ分布，X～Γ(α，β)， 若 其中α，β>0，试求Γ分布的特征函数. 2、设随机变量X服从泊松分布,即p k=p(X=k)=,k=0,1,…,n,求其特征函数. 3、设随机过程X(t)=Y+Zt，t>0,其中Y，Z是相互独立的N（0，1）随机变量，求{ X(t)，t>0}的一，二维概率密度族.
4、设随机过程：0),sin()cos( )(>+=t t Z t Y t X θθ，其中Y 、Z 是相互独立的随机变量，且EY=EZ=0，DY=DZ=δ2，求{X(t)，t>0}的均值函数、协方差函数和方差函数. 5、设随机变量Y 具有概率密度f(y)，令 )0,0(,)(>>=-Y t t X e Yt ， 求随机过程X(t)的一维概率密度及EX(t)，R x (t 1,t 2). 6、设随机过程Z t =，t 0，其中X 1,X 2,…,X n 是相互独立的，且服从 N(0, )的随机变量，ω1, ω2,…, ωn 是常数，求{Z t ，t }的均值函数m(t)和相关函 数R(s,t).
第四章随机过程
（已经编辑到115页2008-3-20） 第四章随机过程 （电子版：盛艳霞OCR，编辑张学文2007.12 -2008.01） 1. 随机过程的概念及其分布律 原书91-132页90
第四章随机过程 为了从统计角度研究气象要素随时间和空间的变化,最好是利用近数十年发展起来的一个统计数学分支----随机过程和随机场理论。为研究气象信息随时间和空间的分布也要对随机过程有所了解。针对如上情况我们在这一章对随机过程的有关概念、性质和在气象上的个别应用作简要介绍。 1、随机过程的概念及其分布律 孤立的研究各点的气压、温度或风等气象要素时，我们把它看成随机变量（矢量）。这时可以分析它的期望值、方差、概率分布等等。 然而当把不同时刻的同一点的气压、温度或风连贯起来看时，这就是一连串的随机变量（矢量）。它们以时间为参数而有所变化。随机变量随某一参数（这里指时间）的变化给人们以过程的概念。所以就把随机变量随参数值的变化而变化的过程这一总体称为随机过程。 当掷骰子时，骰子出现的点数是随机变量。某次“3”点向上，就说这一次随机变量取值为3。而我们所谓的随机变量远不仅只有一个“3”，而应理解为很多次点子数的集合。同样地，随机过程一词也是指一个总体集合，而不是仅指某一时段的变量取值。例如说“春季北京的气温是一个随机过程”，则是指很多很多年的每年春季北京的气温的变化过程这个总体而言的。如1978年北京春季气温的变程仅是总体中的一个个例。它在随机过程中的地位和骰子为“3”点在随机变量中原书91-132页91
的地位是相当的。我们把这一条春季气温曲线称为这个随机过程的一个“现实”这样一个随机过程实际上是由无数具有同一的统计属性的现实组成的。 图4.1是乌鲁木齐冬季1月份的四年的气温曲线。它们就代表了1月气温这个随机过程的四个现实。而这一随机过程应为无数条这种曲线组成。如以T示表气温，y代表年代，d 代表日期，则一个随机过程可以表示为 T=T(y,d) （4．1） 图4.1 乌鲁木齐1月份气温曲线、 式中y有固定值时，例如y=1963年，则得到随机过程的一个现实。如d取固定值（如d=1）则T表示不同年份的这一天（元旦）的气温。这时同一d值不同y值的气温实为一随机变量。时常把这同一的时间d叫作“截口”。所以一个随机过原书91-132页92
随机过程作业题及参考答案(第二章)
第二章 平稳过程 P103 2. 设随机过程()sin X t Ut =，其中U 是在[]02π，上均匀分布的随机变量。试证 （1）若t T ∈，而{}12T =，，，则(){}12X t t =，，， 是平稳过程； （2）若t T ∈，而[)0T =+∞，，则(){} 0X t t ≥，不是平稳过程。 证明： 由题意，U 的分布密度为：()1 0220u f u π π?<
随机过程习题第2章
设)(t ξ是一马尔可夫过程，又设k n n n t t t t t ++<<<<<< 121。试证明： )/(),,/(1/1,,/11++++++=n n t t k n n n t t t x x f x x x f n n k n n n 即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。 证明：首先，由条件概率的定义式得 ) ,,(),,,(),,/(1,,1,,,1,,/111k n n t t k n n n t t t k n n n t t t x x f x x x f x x x f k n n k n n n k n n n ++++++++++++= 根据马尔可夫性将上式中的分子和分母展开，并化简得 ) () ()/()()/()/() ()/()/()/(),,/(11/112/1/1/12/1/1,,/11112111211+++++-+++++-+++++++++-+++++-++++== n t n t n n t t n t n n t t k n k n t t n t n n t t n n t t k n k n t t k n n n t t t x f x f x x f x f x x f x x f x f x x f x x f x x f x x x f n n n n n n n k n k n n n n n n k n k n k n n n 于是， )/() (),(),,/(1/11,1,,/1111++++++++++== n n t t n t n n t t k n n n t t t x x f x f x x f x x x f n n n n n k n n n 试证明对于任何一个马尔可夫过程，如“现在”的)(t ξ值为已知，则该过程的“过去”和“将来”是相互统计独立的，即如果有321t t t <<，其中2t 代表“现在”，1t 代表“过去”，3t 代表“将来”，若22)(x t =ξ为已知值。试证明： )/()/()/,(23/21/231/,2321231x x f x x f x x x f t t t t t t t = 证明：首先，由条件概率的定义式得 ) () ,,()/,(2321,,231/,2321231x f x x x f x x x f t t t t t t t = 然后，根据马尔可夫性将上式中的分子展开，并化简得 ) (),() /()() ()/()/()/,(221,23/2112/23/231/,22123211223231x f x x f x x f x f x f x x f x x f x x x f t t t t t t t t t t t t t t ==
第四章 平稳随机过程
第四章 平稳随机过程 第一节 平稳过程的概念 一、两类平稳过程 1.严平稳过程 定义1 设 为随机过程，如果对任意正整数n 及任意 ， 及任意实数τ, T t t t n ∈+++τττ,,,21 ，可使n 维随机变量 与())(,),(),(21τττ+++n t X t X t X 有相同的分布，即 的n 维分布函数Fn 满足： ),,,;,,,(),,,;,,,(21212121τττ+++=n n n n n n t t t x x x F t t t x x x F 对一切 ,2,1,=i x i 成立 则称 为严平稳过程，（强平稳过程，狭义平稳过程）。 定理1设 为严平稳过程，如果对任意 ，则有 证：首先利用柯西—许瓦兹不等式 可以证明 ，即自相关函数存在。 又由于 为严平稳过程，故对任意 有相同的分布， 所以
再由s 、t 的任意性可知 又对任意 及任意τ，使 T t s ∈++ττ,，有 ))(),(())(),((ττ++t X s X t X s X 与同分布，于是 []) ,()()()]()([),(ττττ++=++==t s R t X s X E t X s X E t s R X X )(),0(s t R s t R s X X ---=记令τ 2.宽平稳过程 定义2 设有随机过程 ，且对任意t ， ，如果 ) (),()(ττμX X X R t t R t =+=常数 则称 为宽平稳过程（弱平稳过程，广义平稳过程）。 以后涉及的平稳过程均指宽平稳过程。 严平稳过程与宽平稳过程的关系：严平稳过程不一定是宽平稳过程，宽平稳过程也不一定是严平稳过程，但对于二阶矩过程，严平稳过程就是宽平稳过程。正态过程的严平稳性与宽平稳性是等价的。 二、平稳过程的数字特征 设 为平稳过程，且 ，则 )]([t X E X =μ为常数，称其为均值。 )]()([)(ττ+=t X t X E R X 为其τ的一元函数， （自相关函数） )]([22t X E X =ψ为常数，（均方值）
第二章随机过程基本概念.
2随机过程的基本概念 §2.1 基本概念 随机过程是指一族随机变量 . 对随机过程的统计分析称为随机过程论 , 它是随机数学中的一个重要分支,产生于本世纪的初期 . 其研究对象是随机现象 ,而它特别研究的是随“ 时间” 变化的“ 动态” 的随机现象 . 一随机过程的定义 1 定义设 E 为随机试验, S 为其样本空间,如果 (1对于每个参数 t ∈ T , X(e,t为建立在 S 上的随机变量, (2对每一个 e ∈ S , X(e,t为 t 的函数,那么称随机变量族 {X(e,t, t∈ T, e∈ S}为一个随机过程,简记为 {X(e,t, t∈ T}或 X(t。 ((((({} {} [](为随机序列。时,通常称 , 取可列集合当可以为无穷。 通常有三种形式: 参数一般表示时间或空间, 或有时也简写为一个轨道。 随机过程的一个实现或过程的样本函数,或称随机的一般函数,通常称为为对于 :上的二元单值函数。 为即若用映射来表示注意:
t X T T T b a b a T T T T t X t X t e X T t e X S e S T t e X R S T t e X t 21321, , , , 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, , 3, 2, 1, 0T , . 4, . 3, , 2, :, . 1=---==??×?′?′L L L 为一个随机过程。则令 掷一均匀硬币, 例 , ( (cos (}, {1 t e X t X R t T e t H e t t X T H S =??íì====p2 随机过程举例 例 2:用 X(t表示电话交换台在 (0, t 时间内接到的呼唤的次数 , 则 (1对于固定的时刻 t, X(t为随机变量 , 其样本空间为{0, 1, 2, …..}, 且对于不同的 t, 是不同的随机变量 . (2对于固定的样本点 n, X(t=n是一个 t 的函数 . (即:在多长时间内来 n 个人 ? 所以 {X(t,t>0}为一个随机过程 . 相位正弦波。为随机过程,称为随机则令例 (
随机过程-习题-第4章-02
4.17 4.18 4.19 设有图题4-19所示的电路，其中W 0(t )为输入的随机过程，W 0(t )为标准维纳过程（即4.18中的z (t )，且其1=β）；其输出为)(t ξ=W 0(t )-W 0(t -1)。求)(t ξ的均值和相关函数。 图题4-19 解：由于W 0(t )为标准维纳过程，则E [W 0(t )]=0。因此 0)]1()([)]([00=--=t W t W E t E ξ )(t ξ的相关函数为 )]}1()()][1()({[),(2020101021----=t W t W t W t W E t t R ξ ) (t W
假设t 1
《随机过程》第4章离散部分习题及参考答案
湖南大学本科课程《随机过程》第4章习题及参考答案 主讲教师：何松华 教授 30．设X(n)为均值为0、方差为σ2的离散白噪声，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变离散时间线性系统，Y(n)为其输出，试证： 2[()()](0)E X n Y n h σ=，22 20 ()Y n h n σσ ∞ ==∑ 证：根据离散白噪声性质，2 2 0()[()()]()0 X m R m E X n m X n m m σσδ?==+==? ≠? ()()()()()m Y n X n h n X n m h m ∞ ==?=-∑ 220 [()()]{()()()][()()]() ()()()()(0) m m X m m E X n Y n E X n X n m h m E X n X n m h m R m h m m h m h σδσ∞∞ ==∞∞ ===-=-===∑∑∑∑ 1212122 2 11220 2 1 2 1 2 212100 00 [()]{()()()()] [()()]()()[()()]() Y m m m m m m E Y n E X n m h m X n m h m E X n m X n m h m h m m m h m h m σσ δ∞∞ ==∞∞∞∞ ======--= --=-∑∑∑∑∑∑ (对于求和区间内的每个m 1,在m 2的区间内存在唯一的m 2=m 1,使得21()0m m δ-≠) 12 2 2110 ()()()m n h m h m h n σ σ ∞ ∞ ====∑∑(求和变量置换) 31．均值为0、方差为σ2的离散白噪声X(n)通过单位脉冲响应分别为h 1(n)=a n u(n)以及h 2(n)=b n u(n)的级联系统(|a|<1,|b|<1)，输出为W(n)，求σW 2。 解：该级联系统的单位脉冲响应为 12121 1 1 00()()()()()()() 1(/)() 1/n m m m m m n n n n n n m m n n m m h n h n h n h n m h m a u n m b u m b b a a b a b a a u n a b a a b ∞ ∞ -=-∞=-∞+++-===?= -=---?? ==== ?--?? ∑ ∑∑∑ 参照题30的结果可以得到