应用随机过程全套教学课件

,
x0
2
称为自由度为n的 2分布.
10.d维正态分布：（略）
作业题：
1.设两两独立的随机事件A, B,C满足ABC ,
P( A) P(B) P(C) 1 ,且P( A B C) 9 ，
2
16
求P( A).
2.设随机变量X的概率分布函数
F
(
x)
A
Be
x2 2
,
0,
x 0, 求B. x 0,
(3)分配律 A (B C ) (A B ) (A C ) A (B C ) (A B ) (A C )
(4)对偶原则 (De Morgan律)
AB AB AB AB
Ai Ai
i 1
i 1
Ai Ai
i 1
i 1
定义1.1 设为样本空间，F是中的某些子集
组成的集合族，若满足：
定义1.4 设F是定义在样本空间上的事件 -
代数，P(A),A F是定义在F上的非负集函数，且满足
（1）对任意A F，有0 P(A) 1;
(2) P() 1;
（3）对任意Ai F，i 1,2, ,Ai Aj ,i j
P（ Ai）
P(Ai
)
i 1
i 1
则称P是(, F）上的概率，(, F, P)称作概率空 间，P( A)称为事件A的概率。
—随机试验
随机试验的结果 —基本事件或样本点。记作
所有可能的结果称为样本空间。 记作
的子集A由基本事件组成 —A称为事件。
事件的性质 假设A,B,C是任意事件，则他们满足：
(1)交换律 A B B A
(2)结合律 A (B C ) (A B ) C
A (B C ) (A B ) C
例1.3 对任意事件A ,F {,A,A,} 是事件 - 代数。
思考题： 随机试验: 掷一枚骰子，观察出现的点数， 样本空间 {1,2,3,4,5,6}，下列事件是否构成
- 代数？ (1) 事件类F {,,{1,2,3},{3,4,5,6}}; (2) 事件类F {,,{1,2,}{3,4},{5,6}};
多维随机变量： X ( X1, X 2,, X d )
— d维随机向量
多维随机变量联合分布函数：
F (x1, x2,, xd ) P( X1 x1, X 2 x2,, X d xd ), xk R 性质：若F (x1, x2,, xd )是联合分布函数，则
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(1) 0 F (x1, x2,, xd ) 1；
应用随机过程
Application of Stochastic Processes
数理科学与工程学院 应用数学系
范爱华
1.01365 27.8
1.02365 1377.4
成功的道路并不拥挤， 因为坚持到最后 的人并不是很多。
主要教学参考书
教材
《应用随机过程》
张波 张景肖 编 中国人民大学 出版社
“正面”}.
1.2 随机变量和分布函数
随机变量： 用实数来表示随机实验的各种结果. 定义1.6 设(, F, P)是概率空间，X是定义在上，
取值于实数集R上的函数( X ())，且对x R， { : X () x} F, 则称X ()是F上的随机变量。
关于随机变量的几点说明：
(1){ : X () a} F是指所有满足X () a,的样本 点的集合，定义要求{ : X () a}是(, F, P)中的
(8) 概率的连续性：
定理：若{An,n 1}是单调递增(或递减)的事件序列
则
lim
n
P(
An
)
P( lim
n
An
)
具体情况：
(1)若An F, 且An A,即An An1,且 An A
n1
P(
A)
lim
n
P(
An
)
P( lim
n
An
)
P( An
n1
)
(2)若An F, 且An A,即An An1,且 An A
i 1
i 1
(3)若果Ai
F ,i
1,2,
,则
Ai
F;
i 1
(4)若果A,B F ,则A B F ,B A F;
（5） - 代数必为代数.
例1.1 由的一切事件构成的事件类是事件 - 代数. (常常它为称为最广泛的 - 代数.)
例1.2 由F {,}， 则F是事件 - 代数。 称作平凡事件 - 代数.
概率的基本性质
(1) P() 0,
(2) 若A, B F, 则P( A B) P( A) P(B) P(AB)
(3) P( A) 1 P( A)
(4) A, B F, 若A B
P(A) P(B)
若A B
P(B A) P(B) P(A)
—单调性
(5) 若An F, n 1 则
n1
P( A)
lim
n
P( An
)
P( lim
n
An
)
P(
n1
An
)
事件列极限2：
（3）对于任意事件序列{An, n 1,2,}，
{ An,
k
1,2,}
nk
{
An,
k
1,2,}
nk
因而分别有极限.
定义1.5
lim inf
n
An
def
k 1
An
nk
limAn
— An 的下极限
lim sup
f
( x1,,
xd
)
d
F (x1, x2,, xd x1x2 xd
)
一些常见的分布：
1.离散均匀分布：
分布列：
pk
1 n
,
2.二项分布：
(k 1,2,,n)
分布列： 对固定的n和 0 p 1
pk Cnk pk (1 p)nk , (k 0) 称之为以n和p为参数的二项分布.
3.几何分布：
函数的性质：
(1) ( 1) ( );
(2) (1) 1;
(3) (1) ;
2 (4) (n 1) n!
8.指数分布： 在分布中，令 0， 0
f (x)
9. 2 分布：
ex ,
0,
x0 x0
在分布中，令 n 1，n为正整数， 1
2
2
f
(x)
n
[22
(n)]1
n1 x
x2e 2
x属于该序列的其余集合 .
关系：lim inf
n
An
lim
n
sup
An
例1.3：
{所以投掷硬币结果“正 面”和“反面”组成的 序列.}
F {的所有子集}，An {第n结果是“正面”}. 则
lim sup
n
An
有无限多次投掷的结果
是“正面”}
lim inf
n
An
{除有限多次外，其余投 掷的结果都是
例1.1：[0,1]上的Borel概率空间：设 [0,1], F B[0,1],
即B[0,1]是局限在[0,1]上的Borel - 代数, 称(, F )
([0,1], B[0,1])为[0,1]上的Borel可测空间.A [a,b] B[0,1] 定义P( A) b a,称(, F，P)为[0,1]上的Borel概率空间， 称P为[0,1]上的Borel概率测度.
一个事件，因而可以定义它的概率。
(2)定义中为自变量，为了书写方 便，简记 { : X () a}{X a} {X (,a]},以下把X ()记为X，
一般随机变量符号常用 大写字母X ,Y , Z等表示。
(3) X ()满足{ : X () a} F,则易证：
a,b R,{X a},{X a},{X a},{a X b}, {a X b},{a X b} F.
称为随机变量X的分布函数。
分布函数的含义：分布函数F (x)表示随机变量X取值
不超过x的概率 (x为任意实数).
分布函数 F(x)的性质： （1）0 F(x) 1；
(2) F (x)是非降函数， 即x1 x2 F (x1) F (x2);
(3) lim F (x) 0, lim F (x) 1;
(2) F (x1, x2,, xd )对每个变量都是单调的 ；
(3) F (x1, x2,, xd )对每个变量都是右连续 的；
(4) lim F(x1,, xi ,, xd ) 0,
xi
(i 1,2,,d)
lim
xi
F
(
x1,,
xi
,,
xd
)
1,
(5) F (x1, x2,, xd ) x1 x2 xd f (t1,t2,,td )dtd dt1
参考书 1.《应用随机过程》
林元烈 编著 清华大学出版社
2.《随机过程》
王风雨 编著 北京师范大学出版社
前
言
第1章 预备知识
1.1 概率空间
在自然界和人类的活动中经常遇到各种各样的现 象，大体上分为两类：必然现象和随机现象 。
具有随机性的现象—随机现象
对随机现象的观察或为观察而进行的实验
（有3个特征）
1.3 数字特征、矩母函数与特征函数
随机变量完全由它的概率分布（函数）描述，
而确定其分布函数一般来说是相当不容易的。在
密度函数
f (x)
1
2
exp[
(
x 2 2
)2
]
,xR
称之为参数为和 2的正态分布，也称为Gauss分布，
记作 X ~ N (, 2), X ~ N (0,1)称为标准正态分布.
7. 分布： 密度函数
f
(
x)
(
)
x
1ex
,
0,
x0 x0
（ 0）
称之为以，为参数的分布，函数定义为
( ) 0 x 1exdx （ 0）
i 1
i 1
1i jn
P( Ai Aj Ak ) (1)n1P( A1A2 An )
1i jk n
事件列极限1：假设事件序列Ai ,
(1) 如果A1 A2 An ,
则 lim
n
An
An
n1
An A
(2) 如果A1 A2 An , An A
则
lim
n
An
An
n1
结论： 单调事件(集合)序列必有极限.
P( An )
P( An )
n1
n1
—次可列可加性
(6) 设 i j, Ai Aj ,
Ai
i 1
则对任意事件A, 有
P( A)
P(A
Ai )
i 1
（7）性质(2)的推广，Jordan公式
对任意A1, A2,, An 有
n
P( Ai ) P( Ai ) P( Ai Aj )
(3) 事件类F {,,{1,3,5}{2,4,6}};
定义1.2 对于上任意包含事件A的最小的 - 代数， 称为事件A生成的 - 代数， 记作 ( A).
结论：设A是中的一个集系， 则包含A的最小的 - 代数 ( A)一定存在.
注：对于中的任意事件类A,必定存在含A的
最小事件 - 代数，并且等于上包含A的事件 代数Fi ,i 1,2,之交，即 ( A) Fi.
n
An
def
k 1
An
nk
limAn
— An 的上极限
例1.2： {x : x a} ___ {x : x a 1}
( A)
n
(B)
n1
n1
含义：(1)
x
lim
n
sup
An
意味着x属于{An}中无穷多个集合 .
(2)
x
lim inf
n
An
意味着除去{An，n 1,2,}中的有限多个集合外，
（1） F ；
（2）如果A F ，则 A F ；
（3）如果Ai F，i 1,2, ,则 Ai F .
i 1
那么，称F 为中的 - 代数.
( F , )为可测空间， F中的元素称为事件 .
性质 假 设F是中的任一事件 - 代数，则
(1) F;
n
n
(2)若果Ai F ,i 1,2, n,则 Ai F , Ai F;
x
x
(4)F (x)是又连续的, 即F(x 0) lim F(t) F(x).
tx
随机变量的类型：
离散型： P( X xk ) pk pk 1
k 1
F(x) P( X x) pk
xk x
连续型： F(x) P( X x) x f (t)dt
（其中f (x)为概率密度函数， f (x)dx 1） f (x) dF(x) dx
分布列： pk pqk1 , (k 1), p q 1
4.Poisson分布： 分布列： pk
k
k!
e
,
(k 0,1,),
0
____参数为 的 Poisson分布
5.均匀分布： 密度函数 f
(
x)
b
1
a
,
a x b （a b）
记作 X ~ U[a,b] 0, 其它
6.正态分布：
定理1.1：下列命题等价： (1) X是随机变量；
(2) { : X () a} F,a R； (3) { : X () a} F, a R； (4) { : X () a} F, a R.
定义1.7 设X ()是F上的随机变量，函数 F(x) P( : X () x), x
i1
定义1.3
设 R,由所有半无限区间(,a)生成的 - 代数 （即包含{(,a),a R}的最小 - 代数）,称为R上的
Borel - 代数,记作B(R)，其中的元素称为Borel集 合.类似可以定义Rn上的Borel - 代数,记作B(Rn ). 显然 B ((,a),a R).