Maple在非线性方程求解中的应用

输入 ｐｌｏｔ（ ｆ１（ ｘ） ， ｘ＝１００．．ｉｎｆ ｉｎｉｔｙ） ， 显示如图 ４．
如图 ４ 所示， 当 ｘ＞１００ 时， （ １） 式没有其他解了． 那么 ｘ１＝－ ０．１６６ ２４８ ６９２ ５， ｘ２＝７１．８３９ ０８０ １８ 是否一定是
（ １） 式的解呢？ 这就需要进行验根． 方法很简单， 只要将上述数值代入函数ｆ１（ ｘ） ， 如果 ｆ１（ ｘｉ） － ０ ＜ε， （ ｉ＝１， ２）
达式， 从中很难得到有益的结果， 而函数ｆｓｏｌｖｅ（ ） 则可以找出这个非线性方程式的浮点数解（ 以下简称解） ．
输入ｆｓｏｌｖｅ（ ｘ－ （ ｘ／４） ＾４－ ｃｏｓ（ ｘ＾５） ＝０， ｛ｘ｝） ， 显示｛ｘ＝０．８７４４２６７２１７｝．
但是 ｆｓｏｌｖｅ（ ） 函数每次只能找到方程的一个解， 那么怎样尽可能找到方程的全部解呢？ 下面通过具体
而在数学上， ５ 次方以上的多项式未必会有根式解， 另外一些非线性方程也不一定有有理解， 这些数学
上的限制， 使得 ｓｏｌｖｅ（）函数无法找到方程的解， 例如要求方程
! " ｘ－
ｘ ４
４－ ｃｏｓ（ ｘ５） ＝０
的解， 在 Ｍａｐｌｅ 中输入以下命令ｓｏｌｖｅ（ ｘ－ （ ｘ／４） ＾４－ ｃｏｓ（ ｘ＾５） ＝０， ｛ｘ｝） 时， Ｍａｐｌｅ 则显示出一个非常复杂的解析表
６
２００７ 年 １１ 月
（ １）
４
２
－１
－ ０．５ ０
０．５
１
ｘ
－２
－４
－６
图 １ 函数 ｆ１（ ｘ） 在区间［－ １， １］上的图像
图 ２ 函数 ｆ１（ ｘ） 在区间［－ ∞， － ０．１７］上的图像
如图 １ 显示， （ １） 式确实有解为ｘ＝－ ０．１６６ ２４８ ６９２ ５． 但是（ １） 式只有这一个解吗？ 试着将搜寻的范围扩 大．
的例子， 寻找一种求非线性方程解的方法． 首先介绍一下将要用到的 Ｍａｐｌｅ 中的函数．
１ 本文用到的 Ｍａｐｌｅ 中的函数
ｓｏｌｖｅ（ ｅｑｎ， ｖａｒ） ， 求解 ｅｑｎ 中的未知数 ｖａｒ； ｆｓｏｌｖｅ（ ｅｑｎ， ｖａｒ） ， 求解 ｅｑｎ 中的未知数 ｖａｒ， 并返回一个浮点数解； ｆｓｏｌｖｅ（ ｅｑｎ， ｖａｒ＝ｘ０） ， 从 ｖａｒ＝ｘ０ 来搜寻 ｅｑｎ 的解， 并返回一个浮点数解； ｐｌｏｔ（ ｆ（ ｘ） ， ｘ＝ｘｍｉｎ…ｘｍａｘ） ， 从 ｘｍｉｎ 到 ｘｍａｘ 绘出 ｆ（ ｘ） 的函数图． 另外 Ｍａｐｌｅ 用 ｉｎｆ ｉｎｉｔｙ 表示无穷大． 关于这几个函数更多的用法见文献［５］． 接下来， 举几个例子．
图 ７ 函数 ｆ２（ ｘ） 在区间［－ ∞， ０．３］上的图像
图 ８ 函数 ｆ２（ ｘ） 在区间［０．２， ２］上的图像
图 ９ 函数 ｆ２（ ｘ） 在区间［２， ４］上的图像
８
石家庄学院学报
２００７ 年 １１ 月
输入 ｆｓｏｌｖｅ（ ｆ２（ ｘ） ＝０， ｘ＝１．４） ， 显示 １．４１２５２０９９４； 输入 ｐｌｏｔ（ ｆ２（ ｘ） ， ｘ＝２．．４） ， 显示如图 ９．
输入 ｆｓｏｌｖｅ（ ｆ３（ ｘ） ＝０， ｛ｘ＝－ １， ｙ＝０．７｝） ， 显示｛ｙ＝０．７０７１０６７８１２， ｘ＝１．２２４７４４８７１｝．
这样， 就找到了（ ３） 式的全部解， 仿照例 １ 与例 ２， 也可以进行验根， 这里从略．
３ 结论
通过上面的 ３ 个例子， 可以找到解非线性方程（ 或非线性方程组） 的一般方法， 步骤如下：
确实为（ １） 式的解．
那么， 为什么不一次绘出函数 ｆ１（ ｘ） 的全部图形来寻找方
程的解呢？ 不妨做个试验．
输入 ｐｌｏｔ（ ｆ１（ ｘ） ， ｘ＝－ ｉｎｆ ｉｎｉｔｙ．．ｉｎｆ ｉｎｉｔｙ） ， 显示如图 ５， 这时
Ｍａｐｌｅ 绘制的图形出现了失真现象．
例 ２ 求方程 ｓｉｎｈ２（ ｘ） ＋ｃｏｓｈ（ ｘ２） ＝６ｘ－ １ 的解． 解 首先， 将方程改写为
绘图功能和计算能力， 通过具体的例子， 寻找求解非线性方程的一般方法．
对于次数低于 ４ 的多项式方程， Ｍａｐｌｅ 提供的 ｓｏｌｖｅ（ ） 函数一般能解出其精确解或解析解． 例如要求方
程 ｘ３＋２ｘ２－ ５ｘ－ ６＝０ 的解， 就可以在 Ｍａｐｌｅ 中输入以下命令：
输入 ｓｏｌｖｅ（ ｘ＾３＋２＊ｘ＾２－ ５＊ｘ－ ６＝０， ｛ｘ｝） ， 显示｛ｘ＝－ １｝｛ｘ＝２｝｛ｘ＝－ ３｝．
图 ５ Ｍａｐｌｅ 绘制的（ － ∞， ＋∞） 上函数 ｆ１（ ｘ） 上的图像
ｓｉｎｈ２（ ｘ） ＋ｃｏｓｈ（ ｘ２） － ６ｘ＋１＝０．
（ ２）
设函数ｆ２（ ｘ） ＝ｓｉｎｈ２（ ｘ） ＋ｃｏｓｈ（ ｘ２） － ６ｘ＋１， 输入ｆ２∶＝ｓｉｎｈ（ ｘ） ＾２＋ｃｏｓｈ（ ｘ＾２） － ６＊ｘ＋１∶， 接着求（ ２） 式的一个解． 输入
本文仅从解非线性方程方面， 来探究 Ｍａｐｌｅ 在数学研究和教学中的应用． 求解一般的非线性方程（ 或非
线性方程组） ， 传统的方法是利用函数的一阶、二阶导数（ 或偏导数） 的判断单调性、凹凸性的几何方法， 以及
利用牛顿迭代法为代表的数值方法［４］， 它们分别存在精确度差和计算繁琐的缺点． 本文利用 Ｍａｐｌｅ 的强大的
则其即为（ １） 式的解， 这里 ε是一个足够小的正整数． 为此：
输入 ａｂｓ（ ｆ１（ － ０．１６６２４８６９２５） ） ， ａｂｓ（ ｆ１（ ７１．８３９０８０１８） ） ， 显 示 １， １０－１０， ２．５， １０－９．
上面的数据表明， ｘ１＝－ ０．１６６ ２４８ ６９２ ５， ｘ２＝７１．８３９ ０８０ １８
６） 将解代入函数 ｆ（ ｘ） 进行验根．
（ 下转第 ３６ 页）
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石家庄学院学报
２００７ 年 １１ 月
第９卷 第６期 ２００７ 年 １１ 月
石家庄学院学报 Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ
Ｖｏｌ．９， Ｎｏ．６ Ｎｏｖ．２００７
Ｍａｐｌｅ在非线性方程求解中的应用
岳崇山 １， 景海斌 ２， 张 贺 １
（ １．河北北方学院 数学系， 河北 张家口 ０７５０００； ２．河北建筑工程学院 数理系， 河北 张家口 ０７５０００）
输入 ｆｓｏｌｖｅ（ ｆ３（ ｘ） ＝０， ｛ｘ＝－ １， ｙ＝０．７｝） ， 显示｛ｙ＝０．７０７１０６７８１２， ｘ＝－ １．２２４７４４８７１｝；
输入 ｆｓｏｌｖｅ（ ｆ３（ ｘ） ＝０， ｛ｘ＝－ １， ｙ＝－ ０．７｝） ， 显示｛ｙ＝－ ０．７０７１０６７８１２， ｘ＝１．２２４７４４８７１｝；
ｆｓｏｌｖｅ（ ｆ２（ ｘ） ＝０， ｛ｘ｝） ， 显示｛ｘ＝０．３５６８２２４９３１｝； 其次， 再在不同的范围寻找（ １） 式的解： 输入 ｐｌｏｔ（ ｆ２（ ｘ） ， ｘ＝－ １．．１） ，
显示如图 ６．
图 ６ 函数 ｆ２（ ｘ） 在区间［－ １， １］上的图像
输入 ｐｌｏｔ（ ｆ２（ ｘ） ， ｘ＝ｉｎｆ ｉｎｉｔｙ．．０．３） ， 显示如图 ７； 输入 ｐｌｏｔ（ ｆ２（ ｘ） ， ｘ＝０．２．．２） ， 显示如图 ８；
设函数
Baidu Nhomakorabea
ｆ１（
ｘ）
＝
ｘ２ １２
－
６ｘ－
ｓｉｎ（
ｘ＋８）
，
输入
ｆ１∶＝ｘ－
＞ｘ＾２／１２－
６＊ｘ－
ｓｉｎ（
ｘ＋８）
，
再求（
１）
式的一个解．
输入ｆｓｏｌｖｅ（ ｆ１（ ｘ） ＝０， ｛ｘ｝） ， 显示｛ｘ＝－ ０．１６６２４８６９２５｝， 接着在不同的范围寻找（ １） 式的解． 先在区间［－ １， １］的范围内绘出函数ｆ１（ ｘ） 的图形： 输入 ｐｌｏｔ（ ｆ１（ ｘ） ， ｘ＝－ １．．１） ， 显示如图 １．
输入 ｐｌｏｔ（ ｆ１（ ｘ） ， ｘ＝－ ｉｎｆ ｉｎｉｔｙ…－ ０．１７） ， 显示如图 ２． 如图 ２ 显示， （ １） 式在 ｘ＜－ ０．１７ 时是无解的． 同样， 观察 ０．５≤ｘ≤１００ 时， 函数 ｆ１（ ｘ） 的图形． 输入 ｐｌｏｔ（ ｆ１（ ｘ） ， ｘ＝０．５．．１００） ， 显示如图 ３．
摘 要： 介绍了数学软件 Ｍａｐｌｅ 因式分解和解方程软件包 Ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ Ｓｏｌｖｉｎｇ Ｅｑｕａｔｉｏｎｓ 的部分函数， 并利用 Ｍａｐｌｅ 图形软件包 Ｇｒａｐｈｉｃｓ 的 ｐｌｏｔ 函数， 通过具体的数学实验， 给出了求解一 般非线性代数方程的比较快速的方法．
关键词： 非线性方程； Ｍａｐｌｅ； 浮点数解 中图分类号： Ｏ１５１．１ 文献标识码： Ａ 文章编号： １６７３－ １９７２（ ２００７） ０６－ ０００５－ ０４
１） 将方程化成 ｆ（ ｘ） ＝０（ 或 ｆ（ ｘ， ｙ） ＝０） 的形式， 再将方程左边设为一个函数 ｆ（ ｘ） ；
２） 运行指令 ｆｓｏｌｖｅ（ ｆ（ ｘ） ＝０， ｛ｘ｝） ， 求出方程的一个解 ｘ＝ｘ０；
３） 用函数 ｐｌｏｔ（ ） 在区间［ｘ０－ ε， ｘ０＋ε］内绘出函数 ｆ（ ｘ） 的图形， 观察函数图形与 ｘ 轴的交点的横坐标， 设为
输入 ｐｌｏｔｓ［ｉｍｐｌｉｃｉｔ］（ ｆ３（ ｘ） ， ｘ＝－ ２．．２， ｙ＝－ ２．．２， ｓｃａｌｉｎｇ＝ＣＯＮＳＴＲＡＩＮＥＤ） 显示如图 １０．
观察图 １０， 有：
图 １０ 方程组函数ｆ３（ ｘ） 在［－ ２， ２］×［－ ２， ２］上的图像
输入 ｆｓｏｌｖｅ（ ｆ３（ ｘ） ＝０， ｛ｘ＝－ １， ｙ＝－ ０．７｝） ， 显示｛ｘ＝－ １．２２４７４４８７１， ｙ＝－ ０．７０７１０６７８１２｝；
"１－ ｘ２＋ｙ２＝０
２－ ｘ２－ ｙ２＝０
（ ３）
的解．
解 设变量 ｆ３（ ｘ， ｙ） ＝｛１－ ｘ２＋ｙ２＝０， ２－ ｘ２－ ｙ２＝０｝．
输入 ｆ３∶＝｛１－ ｘ＾２＋ｙ＾２＝０， ２－ ｘ＾２－ ｙ＾２＝０｝∶， 在（ ｘ， ｙ） ∈［－ ２， ２］×［－ ２， ２］的范围内寻求（ ３） 式的解．
Ｍａｐｌｅ 是加拿大滑铁卢大学（ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ ｏｆ Ｗａｔｅｒｌｏｏ） 和 Ｗａｔｅｒｌｏｏ Ｍａｐｌｅ Ｓｏｆｔｗａｒｅ 公司注册的一套为微积
分、线性代数、微分方程、概率统计等数学分支研制开发的数学分析型的数学软件， 它的主要功能包括数学
图形的描绘、数值计算和符号处理等方面． 有不少文献对其进行了不同方面的论述， 如文献［１］， ［２］， ［３］．
收稿日期： ２００７－ ０５－ ２７ 作者简介： 岳崇山（ １９７９－ ） ， 男， 河北崇礼人， 助教， 硕士研究生， 主要从事微分几何、拓扑以及数学软件研究．
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石家庄学院学报
２ 例子
例 １ 求方程 ｘ２ － ６ｘ＝ｓｉｎ（ ｘ＋８） 的解． １２
解 将方程改写为
ｘ２ － ６ｘ－ ｓｉｎ（ ｘ＋８） ＝０． １２
如果继续扩大搜寻范围， Ｍａｐｌｅ 将提示数据溢出， 如：
输入 ｐｌｏｔ（ ｆ２（ ｘ） ， ｘ＝２．．１３０） ， 显示 Ｅｒｒｏｒ， Ｆｌｏａｔｉｎｇ ｐｏｉｎｔ ｏｖｅｒｆｌｏｗ． Ｐｌｅａｓｅ ｓｈｏｒｔｅｎ ａｘｅｓ． 这表明当 ｘ→∞ 时，
函数 ｆ２（ ｘ） 增长得非常快， 与 ｘ 轴没有交点． 下面进行验根： 输入 ａｂｓ（ ｆ２（ ０．３５６８２２４９３１） ） ， ａｂｓ（ ｆ２（ １．４１２５２０９９４） ） 显示 ０， １， １０－１０． 上面的数据表明， ｘ１＝０．３５６ ８２２ ４９３ １， ｘ２＝１．４１２ ５２０ ９９４ 确实为（ ２） 式的解． 例 ３ 求方程组
图 ３ 函数 ｆ１（ ｘ） 在区间［０．５， １００］上的图像
图 ４ 函数 ｆ１（ ｘ） 在区间［１００， ＋∞）上的图像
第６期
岳崇山， 景海斌， 张 贺： Ｍａｐｌｅ 在非线性方程求解中的应用
７
如图 ３ 所示， （ １） 式在 ｘ＝８０ 附近还有一个解．
输入 ｆｓｏｌｖｅ（ ｆ１（ ｘ） ＝０， ｘ＝８０） ， 显示 ７１．８３９０８０１８． 那么， 当 ｘ＞１００ 时， （ １） 式还有其他解吗？
ｘ１， ｘ２， ｘ３…；
４） 运行指令 ｆｓｏｌｖｅ（ ｛ｆ（ ｘ） ＝０｝， ｘ＝ｘｉ） ， 求出方程 ｆ（ ｘ） ＝０ 的精确解 ｘ＝ｘｉ， ｉ＝１， ２， ３…；
５） 利用 ３） 和 ４） 的结果改变 ｘ０ 及 ε的值， 重复步骤 ３） 和步骤 ４） ， 直到找到方程 ｆ（ ｘ） ＝０ 的全部的解；