2021届高考数学一轮复习训练第3讲圆的方程

第3讲 圆的方程
1．若点(1,1)在圆(x －a )2＋(y ＋a )2＝4的内部，则实数a 的取值范围是( )
A ．－1<a <1
B ．0<a <1
C ．a >1或a <－1
D ．a ＝±1
2．若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值是( )
A.5＋3 B ．6 5＋14
C ．－5＋3
D ．－6 5＋14
3．(2017年广东广州一模)已知圆C ：x 2＋y 2＋kx ＋2y ＝－k 2，当圆C 的面积取最大值时，圆心C 的坐标为( )
A ．(0,1)
B ．(0，－1)
C ．(1,0)
D ．(－1,0)
4．(2019年江西新余模拟)已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( )
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
5．(2017年天津)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若∠F AC ＝120°，则圆的方程为_______．
6．已知a ∈R ，方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
7．若方程x 2＋y 2－2x ＋2my ＋2m 2－6m ＋9＝0表示圆，则m 的取值范围是________；当半径最大时，圆的方程为________________．
8．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为______________．
9．(2018年江苏)在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l ：y ＝2x 在第一象限内的点，B (5,0)，
以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D .若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为________．
10．已知在直角坐标系xOy 中，A (4,0)，B ⎝⎛⎭
⎫0，32，若点P 满足OP ＝1，P A 的中点为M ，则BM 的最大值为__________．
11．(2014年新课标Ⅰ)已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为点M ，O 为坐标原点．
(1)求M 的轨迹方程；
(2)当|OP |＝|OM |时，求直线l 的方程及△POM 的面积．
12．在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．
第3讲 圆的方程 1．A 解析：∵点(1,1)在圆的内部，∴(1－a )2＋(1＋a )2<4，∴－1<a <1.
2．A 解析：将x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0转化为标准方程为(x ＋2)2＋(y －1)2＝32，x 2＋y 2的最大值是圆心到坐标原点的距离加半径，即(－2)2＋12＋3＝5＋3.故选A.
3．B 解析：圆C 的方程可化为⎝⎛⎭⎫x ＋k 22＋(y ＋1)2＝－34
k 2＋1，∴当k ＝0时圆C 的面积最大．故圆心C 的坐标为(0，－1)．
4．B 解析：方法一，由(x －3)2＋(y －4)2＝1，
知圆上点P (x 0，y 0)可化为⎩
⎪⎨⎪⎧
x 0＝3＋cos θ，y 0＝4＋sin θ. ∵∠APB ＝90°，即AP →·BP →＝0，
∴(x 0＋m )(x 0－m )＋y 20＝0，
∴m 2＝x 20＋y 20＝26＋6cos θ＋8sin θ
＝26＋10sin(θ＋φ)≤36⎝
⎛⎭⎫其中tan φ＝34， ∴0<m ≤6，即m 的最大值为6.故选B.
方法二，∵在Rt △APB 中，原点O 为斜边中点，|AB |＝2m (m >0)，∴m ＝|OP |≤|OC |＋r ，C (3,4)，r ＝1，∴|OP |≤6，即m ≤6.故选B.
方法三，根据题意，画出示意图，如图D178所示，
则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，
∵∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12
|AB |＝m . ∵|OC |＝32＋42＝5，∴|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，
即m 的最大值为6.
图D178 图D179
5．(x ＋1)2＋(y －3)2＝1 解析：如图D179，圆心C 的坐标设为(－1，b )，显然半径r ＝1，又∠F AC ＝120°，则∠F AO ＝30°.又OF ＝1，则OA ＝b ＝ 3.∴圆的方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝1.
6．(－2，－4) 5 解析：由题意，得a 2＝a ＋2，∴a ＝－1或2.当a ＝－1时，方程为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0，即(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，圆心为(－2，－4)，半径为5；当a ＝2时，方
程为4x 2＋4y 2＋4x ＋8y ＋10＝0，即⎝⎛⎭⎫x ＋122＋(y ＋1)2＝－54
，不表示圆． 7．2＜m ＜4 (x －1)2＋(y ＋3)2＝1 解析：∵原方程可化为(x －1)2＋(y ＋m )2＝－m 2＋6m
－8，∴r 2＝－m 2＋6m －8＝－(m －2)(m －4)＞0，∴2＜m ＜4.当m ＝3时，r 最大为1，圆的方程为(x －1)2＋(y ＋3)2＝1.
8．(x －1)2＋y 2＝2 解析：∵直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，∴圆心(1,0)到直线mx －y －2m －1＝0的最大距离为d ＝(2－1)2＋(－1－0)2＝2，∴半径最大时的半径r ＝2，∴半径最大的圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.
9．3 解析：设A (a,2a )(a >0)，则由圆心C 为AB 的中点，得C ⎝⎛⎭⎫a ＋52，a ，易得⊙C ：(x
－5)(x －a )＋y (y －2a )＝0，与y ＝2x 联立解得点D 的横坐标x D ＝1，∴D (1,2)．∴AB →＝(5－a ，
－2a )，CD →＝⎝⎛⎭⎫1－a ＋52，2－a .由AB →·CD →＝0，得(5－a )⎝
⎛⎭⎫1－a ＋52＋(－2a )(2－a )＝0，a 2－2a －3＝0，解得a ＝3或a ＝－1.∵a >0，∴a ＝3.∴A 的横坐标为3.
10．3 解析：由图D180和A (4,0)，B ⎝⎛⎭
⎫0，32，OP ＝1，则P 点轨迹为x 2＋y 2＝1，设M (x ，y )，则P (2x －4,2y )⇒(2x －4)2＋(2y )2＝1⇒(x －2)2＋y 2＝14，M 的轨迹为圆D (2,0)，半径为12，故BM 的最大值为|BD |＋12＝52＋12
＝3.
图D180
11．解：(1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，
∴圆心为C (0,4)，半径为4.
设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x,2－y )．
由题设知CM →·MP →＝0，
故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0，
即(x －1)2＋(y －3)2＝2.
由于点P 在圆C 的内部，
∴M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.
(2)由(1)知，M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心，2为半径的圆．由于|OP |＝|OM |，故点O 在线段PM 的垂直平分线上．
又点P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .
∵ON 的斜率为3，∴直线l 的斜率为－13
. 故直线l 的方程为y ＝－13x ＋83
，即x ＋3y －8＝0. 则点O 到直线l 的距离为d ＝|－8|12＋3
2＝4105. 又点N 到直线l 的距离为|1×1＋3×3－8|10
＝105， 则|PM |＝2 2－⎝⎛
⎭
⎫1052＝4105. ∴S △POM ＝12×4105×4105＝165
. 12．解：(1)令x ＝0，得抛物线与y 轴的交点是(0，b )，
令f (x )＝x 2＋2x ＋b ＝0，由题意，得b ≠0，且Δ＞0，解得b ＜1，且b ≠0.
∴b 的取值范围为(－∞，0)∪(0,1)．
(2)设所求圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，
令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0，且x 2＋Dx ＋F ＝0与x 2＋2x ＋b ＝0，是同一个方程，故D ＝2，F ＝b .
令x ＝0，得y 2＋Ey ＋b ＝0，此方程有一个根为b ，代入，得出E ＝－b －1.
∴圆C 的方程为x 2＋y 2＋2x －(b ＋1)y ＋b ＝0.
(3)圆C必过定点(0,1)和(－2,1)．
证明如下：将(0,1)代入圆C的方程，得
左边＝02＋12＋2×0－(b＋1)×1＋b＝0，右边＝0. ∴圆C必过定点(0,1)．
同理可证圆C必过定点(－2,1)．。