结构力学第三章叠加法作弯矩图

切忌：浅尝辄止
本章内容
梁的内力计算回顾 用叠加法作弯矩图 多跨静定梁 静定平面刚架 静定平面桁架 组合结构 静定结构总论
几何特性：无多余联系的几何不变体系 静力特征：仅由静力平衡条件可求全部反力 内力 求解一般原则：从几何组成入手，按组成的 相反顺序进行逐步分析即可
§3-1
梁的内力计算回顾
一、内力的概念和表示
用区段叠加法画弯矩图 对图示简支梁把其 中的AB段取出，其隔 离体如图所示： 把AB隔离体与相 应的简支梁作一对 比： 显然两者是完全 相同的。
Fp
A
q
L B
M
q MA
A B
MB
FQBA
FQAB q MA
A
B
MB
MA
A
B
MB FYB
FYA
Fp
A
q
L B
M
因此上图梁中AB段的弯矩图可以用与简支梁 相同的方法绘制，即把MA和MB标在杆端，并连 以直线，然后在此直线上叠加上节间荷载单独作 用在简支梁上时的弯矩图，为此必须先求出MA 和MB。
2）弯距图上某点切线的斜率等于该点的剪力。 3）弯距图上某点的曲率等于该点的横向分布荷 载的集度，但正负号相反。 4）轴力图上某点的斜率等于该点轴向分布荷载 的集度 q x ，但正负号相反。
因此： 若剪力等于0，M 图平行于杆轴； 若剪力为常数，则 M 图为斜直线； 若剪力为x 的一次函数，即为均布荷载时， M 图为抛物线。
l
m l
m
铰支座有外 力偶,该截面弯矩 等于外力偶.
练习: 利用上述关系作弯矩图,剪力图
叠加法作弯矩图
几个力对杆件的作用效果，等于 每一个力单独作用效果的总和。
4kN· m
4kN
3m
3m
（1）集中荷载作用 下
6kN· m
注意:
是竖标相加,不 是图形的简 单拼合.
（2）集中力偶作用 下 4kN· m
16kN.m
G F 1m 1m RB=7kN
16
H
－ 7
7
26 4 M图（kN.m） 4
28
7
30
8
23
8 8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
8
利用上述关于内力图的特性和弯矩图的分 段叠加法，可将梁的弯矩图的一般作法归纳如 下： (1)选定外力的不连续点(如集中力作用点、 集中力偶作用点、分布荷载的起点和终点 等)为 控制截面，求出控制截面的弯矩值，连一虚线， 然后以该虚线为基线，叠加上简支梁在跨间荷 载作用下的弯矩图。 (2)分段画弯矩图。当控制截面间无荷载时， 根据控制截面的弯矩值，即可作出直线弯矩图。 当控制截面间有荷载时，根据控制截面的弯矩 值作出直线图形后，还应叠加这一段按简支梁 求得的弯矩图。
轴力FN----截面上应力沿轴线切向的合力,轴力以拉 力为正。 剪力FQ----截面上应力沿杆轴法线方向的合力,剪力以 绕隔离体顺时针转为正。 弯矩M----截面上应力对截面形心的力矩，不规定正 负，但弯矩图画在拉侧。 M FN
M
FQ
FQ dx
作图时，轴力图、 剪力图要注明正负号， 弯矩图规定画在杆件受 FN 拉的一侧，不用注明正 负号。
2kN· m
（3）叠加得弯矩图
4kN· m
4kN· m
MA A
MB
B
l
MB
MA
MA A
q B
MB
l
MA
ql 8
2
MB
8kN· m
2kN/m
3m
Hale Waihona Puke Baidu
3m
2m
（1）悬臂段分布荷载作用下
4kN· m
2kN· m
（2）跨中集中力偶作用下
4kN· m
4kN· m
（3）叠加得弯矩图
6kN· m
4kN· m
2kN· m
五、 集中力偶与内力之间的增量关系 m MB左 MB右 B FQB左 dx y FQB右 x
F
y
0
FQB右 FQB左
dx M B左 m M B右 ( FQB左 FQB右 ) 0 2 M B右 M B左 m
MB 0
小结： 1）集中力偶作用点左右截面的弯矩产生突变， M 图有台阶，台阶高度等于m。
四、 集中荷载与内力之间的增量关系 FP MB右 MB左 B
FQB左 dx y x
FQB右
F
M
y
0
FQB右 FP FQB左 0 FQB右 FQB左 FP
B
0
dx M B左 M B右 ( FQB左 FQB右 ) 0 2 M B左 M B右
小结： 1）在集中力作用点的左右截面，剪力有突变。 剪力图有台阶，台阶高度等于FP 。 2）M 图上有尖点，尖点指向同集中力的指向。
qL
＋ － FQ图 qL
10kN/m ↓↓↓↓↓↓↓ 2m 2m
60kN.m
15kN
2m
2m
55 30 20 30 5 m/2 M 图 (kN.m) 30
m
m/2
8kN
A B 1m RA=17kN 17 ＋ 9 FQ图（kN） 1m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
4kN/m
C 2m D 2m E
三、荷载与内力之间的微分关系
M FN
qy
qx dx dx
M+dM
FQ
FN+dFN FQ +dFQ
dM FQ , dx
dFQ dx
q y ,
dFN qx dx
dM FQ , dx
小结：
dFQ dx
q y ,
dFN qx dx
1）剪力图上某点切线的斜率等于该点横向分 布荷载的集度，但正负号相反。
q
A
ql2 8
B
l
F A B
a
l Fb l
＋
Fab l
b
－
Fa l
ql 2 / 2
M图
FQ图
A支座的反力 大小为多少, 方向怎样?
M图
FQ图
a m l m A
b m l
a b l
B
m l m l
－
m l
M图
FQ图
自由端有外 力偶,弯矩等于外 力偶
无剪力杆的 弯矩为常数.
m A
m B
m l m
第三章 静定结构的受力分析
基本要求：
理解恰当选取分离体和平衡方程计算
静定结构内力的方法和技巧，会根据几何 组成寻找解题途径。
掌握内力图的形状特征和绘制内力图
的方法， 静定平面刚架、多跨梁、三铰拱、 平面桁架及组合结构的内力计算。
熟练掌握叠加法作弯矩图。
容易产生的错误认识：
“静定结构内力分析无非就是 选取隔离体，建立平衡方程， 以前早就学过了，没有新东西”
作业
3-1 a d e
f h
区段弯矩图叠加法
q
A B
C
l/2
q
q
l/2 l/2
1 2 ql 16
q q
1 2 ql 16
1 2 ql 16
1 2 ql 16
l/2
区段弯矩图叠加法
ql
q D↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ E 2
ql2/8
A
B
ql2/4
F ql
ql /2
ql l/2
l/2
ql M图
l
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ql2/4 ql2/8
注意：
•1、弯矩图叠加是竖标相加，不是图形的拼合； •2、要熟练地掌握简支梁在跨中荷载作用下的弯矩图；
•3、利用叠加法可以少求或不求反力，就可绘制弯矩 图；
•4、利用叠加法可以少求控制截面的弯矩； •5、对于任意直杆段，不论其内力是静定的还是超静 定的；不论是等截面杆或是变截面杆；不论该杆段内 各相邻截面间是连续的还是定向联结还是铰联结弯矩 叠加法均适用
+
所以：M2＝375kN.m （左拉） FN1=141×0.707=100kN
FQ1= 50 +5×5 －141×0.707 =－25kN
(取外力矩逆时针转向为正方向) (下拉）
M1=125 +141×0.707×10－50×5－5/2×5²=812.5kNm
注意：外力矩的正负是为了区分它的两种不同的转向。
二、内力的计算方法
1.截面法
截取----将指定截面切开，任取一部分作为隔离体。 代替----用相应内力代替该截面的应力之和。 平衡----利用隔离体的平衡条件，确定该截面的内力。
2.直接计算法
轴力等于该截面一侧所有的外力沿杆轴切线方向的投影代数和； 剪力等于该截面一侧所有外力沿杆轴法线方向的投影代数和； 弯矩等于该截面一侧所有外力对截面形心的力矩的代数和。 以上结论是解决静定结构内力的关键和规律，应熟练掌握和应用。
2）左右截面剪力不变。
m
l /2 l /2 m/2
m/2
表3－1
FQ
六、内力图与支承、连接之间的对应关系
1、在自由端、铰结点、铰支座处的截面上无集中力偶作用时， 该截面弯矩等于零（如图1-(a)C右截面、图1-(b)A截面），有集 中力偶作用时，该截面弯矩等于这个集中力偶，受拉侧可由力偶 的转向直接确定（如图1-(a)C左截面和D截面）。 2、在刚结点上，不仅要满足力的投影平衡，各杆端弯矩还要 满力矩平衡条件∑M=0。尤其是两杆相交刚结点上无外力偶作用 时，两杆端弯矩等值，同侧受拉（如图1-(a)结点B、图1-(b)结点 B）。 3、定向支座、定向连接处FQ=0，FQ=0段M图平行轴线（如 图1-(a)AB杆端、图1-(b)BC、CD段）。
求截面1、截面2的内力
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
1 50kN 2
5kN/m
FN2=50 －141×cos45o =－50kN
FQ2= －141×sin45°＝－100kN (取外力矩顺时针转向为正方向) M2＝ 50×5 －125 －141×0.707×5
＝－375kN.m
45° 141kN
125kN.m 5m 5m