D11_3格林公式

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∂P ∂Q = , 则 说明: 说明 根据定理2 , 若在某区域D内 ∂y ∂x 1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径; 2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算, 若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;
3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数: 取定点 ( x0, y0 ) ∈D及动点 ( x, y ) ∈D, 则原函数为 ( x, y ) y u( x, y) = ∫ P(x, y)dx + Q(x, y)dy y
C
∫
∫
C
C
yd x − xd y
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11.1.8、设C为分段光滑的任意闭曲线，ϕ(x)及ψ(y)为连续函数， 、 为分段光滑的任意闭曲线， 为连续函数， 为分段光滑的任意闭曲线
则
的值
B
(D)2π
(A)与C有关 (B)等于 (C)与ϕ(x)、ψ(x)形式有关 与 有关 等于0 与 等于
解： 由格林公式，原式 由格林公式，原式=0.
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11.2.3、设L是xoy平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线，且 、 平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线， 是 平面上沿顺时针方向绕行的简单闭曲线
所围成的平面闭区域D的面积等于 则L所围成的平面闭区域 的面积等于 所围成的平面闭区域 的面积等于______.
= ∫ P(x, y0 )dx +∫ Q(x, y)dy
x0
y
(x0 , y0 ) x
y
y0
或 u (x, y) = Q(x0, y)dy + P(x, y)dx ∫ ∫
y0 x0
定理2 目录
x
y0 O x0
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xx
结束
例4. 计算 圆周 从 O (0, 0) 到 A (4, 0).
其中L 为上半
∂Q ∂P ∫∫ ∂x − ∂y dxdy = ∫ Pdx +Qdy ( 格林公式 ) D L
或
∫∫ P
D
∂ ∂x
∂ ∂y
Q
dxdy = ∫ Pdx + Qdy
L
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证明: 证明 1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域 , 且 ϕ1(x) ≤ y ≤ϕ2(x) y E D: a ≤ x ≤b d
=
x 2 + y 2 ≤ R2
∫∫ ( x
2
+ y 2 )dσ =
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11.1. 6、用格林公式求由曲线 所围成区域 的面积 所围成区域D的面积 、用格林公式求由曲线C所围成区域 的面积A=
(A)
(C)
∫
1 2
C
xd y − yd x
xd y − yd x
(B) (D)
∫
1 2
C
yd x − xd y
y
B(0,1) A(1 1) ,
D
利用格林公式 , 有
y=x
O
=∫ =∫
∂D
x
xe
−y2
dy dy = ∫0 ye
1 −y2
OA
xe
−y2
dy
1 = (1− e−1) 2
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例3. 计算 的分段光滑正向闭曲线. 解: 令
其中L为一无重点且不过原点
则 x + y ≠ 0时 当 0时 ,
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(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 ∫ Pdx + Qdy ∆u ∂u
= P(x +θ ∆x, y)∆x
证明 (3) ⇒ (4) 设存在函数 u ( x , y ) 使得
则
du = P dx + Qdy ∂u ∂u = P(x, y), = Q(x, y) ∂x ∂y
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式
第十一章
二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 *三、全微分方程 三
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一、 格林公式
单连通区域 ( 无“洞”区 区域 D 分类 域 ) 多连通区域 ( 有“洞”区 域) 域 D 边界L 的正向 域的内部靠左 正向: 正向
L
D
定理1. 定理 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 则有
2 2
设 L 所围区域为D, 当 0,0) ∉D时由格林公式知 ( ,
y O
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L
x
结束
当 0,0) ∈D时 在D 内作圆周 l : x2 + y2 = r2, 取逆时 ( ,
针方向, 记 L 和 l ¯ 所围的区域为 D , 对区域 D 应用格 1 1 林公式 , 得
y
xdy − ydx −∫ 2 l x + y2 xdy − ydx =∫ − 2 = ∫∫ 0d xdy = 0 2 LUl x + y D 1
=∫
y 2 x y dy 0
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xd y − y d x 在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函 例6. 验证 2 2 x +y y 数 , 并求出它. (x, y) −y x , Q= 2 证: 令 P = 2 2 x +y x + y2 2 2 O (1,0) (x,0) x ∂P y −x ∂Q 则 = 2 = ( x > 0) 2 2 ∂x (x + y ) ∂y 由定理 2 可知存在原函数 定理
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11.3.17、计算曲线积分 、 其中L是正向椭圆
解： P = x + 3 y, Q = −5 x + 7 y,
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11.3.42、设L是xoy平面上任意的简单闭曲线，计算曲线积分 、
由格林公式
= ∫∫ −1 − ( −1) dσ = 0
D
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∂P ∂Q ≡ ∂y ∂x
利用格林公式 , 得 格林公式
D D′
L
证毕
∂Q ∂Q ∫L Pd x +Qd y = ∫∫D′ ( ∂x − ∂x )dxdy = 0
∂P ∂Q = . (4) 在 D 内每一点都有 ∂y ∂x (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有
∫L Pdx + Qdy = 0.
在 D 内是某一函数 ∂P ∂ d u(x, y) = Pdx + Qdy Q 即 从而在D内每一点都有 ∂P ∂= ∂y Q.∂x = (4) 在 D 内每一点都有 ∂y ∂x (3)
P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,
的全微分,
定理2
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证明 (4) ⇒ (1) 设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 D′ ⊂ D (如图) , 因 在D′上 此
=0 + x∫
y
0
dy x2 + y2
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或
y (1, y) (x, y)
dy =∫ 0 1+ y2
y
O (1,0)
(x,0)
x
π x = − arctan 2 y
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11.1.7、单连通域G内的函数 、单连通域 内的函数 内的函数P(x,y),Q(x,y)具有一阶连续偏导数， 具有一阶连续偏导数， 具有一阶连续偏导数 则 内与路径无关的充要条件是在G内恒有 在G内与路径无关的充要条件是在 内恒有 内与路径无关的充要条件是在
解: 为了使用格林公式, 添加辅助线段 AO,它与L 所围 区域为D , 则 原式 = ∫
LU LUAO
(x2 + 3y) dx + ( y2 − x) dy
OA
+ ∫ (x2 + 3y) dx + ( y2 − x) dy = 4∫∫ dxdy+
D
∫
4 2 x dx 0
y
L D Ax
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l
O D 1
L
x
=∫
2π 0
r2 cos2 θ + r2 sin2 θ r
2
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dθ = 2π
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11.1. 5、设C为沿 2+y2=R2逆时针方向一周，则用格林公式计算， 为沿x 逆时针方向一周，则用格林公式计算， 、 为沿
D
解：由格林公式
=
2
∫∫
x + y2 ≤ R
y 2 − ( − x 2 ) dσ 2
A D
ψ2 ( y) ∂Q ∂Q d 则 ∫∫ dxdy = ∫ dy∫ dx D ∂x ψ1( y) ∂x c
d d c c
B
c C Oa bx
= ∫ Q(ψ2 ( y), y ) dy − ∫ Q(ψ1( y), y ) dy
=∫
CBE
Q(x, y)dy + ∫
EAC
Q(x, y)dy
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
A
=∫
L1UL− 2
L 1
Pdx + Qdy
L2
(根据条件(1))
= ∫ Pdx + Qdy
(1) 沿D 说明: 中任意光滑闭曲线 L , 有 ∫L Pdx + Qdy = 0 说明 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 .
B (2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 ∫L Pdx + Qdy Pdx + Qdy = Pdx + Qdy AB 与路径无关, 只与起止点有关. A
d u(x, y) = Pdx + Qdy ∂P ∂Q = . (4) 在 D 内每一点都有 ∂y ∂x
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证明 (1) ⇒ (2) 设 L , L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲 1 B 线, 则 L2 Pdx + Qdy − ∫ Pdx + Qdy ∫
L1 L2
Pd x + Qdy = ∫
(x, y)
Pd x
L ∴ 与路径无关, x = lim P(x +θ ∆x, y) = P(x , y) = lim 只与起止点有关. ∂ x ∆x→0 ∆x ∆x→0 (3) 的全微分, ∂u 在 D 内是某一函数 同理可证 d= Q() = Pdx因此有 du = P dx + Qdy 即 ∂ y u(x, yx , y), + Qdy
即 同理可证
①
② ①、②两式相加得:
∂Q ∂P ∫∫D( ∂x − ∂y )dxdy = ∫L Pdx +Qdy
定理1
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∂Q ∂P − dxdy = ∫ Pdx + Qdy 格林公式 ∫∫ ∂x ∂y D L
推论: 推论 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积 1 A = ∫ xdy − y dx 2 L
∫
∫
定理2
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证明 (2) ⇒ (3) 在D内取定点 与路径无关, 有函数
和任一点B( x, y ), 因曲线积分
B(x, y )
A(x0, y0)
(x+∆x, y)
C(x + ∆x, y )
则
∆xu = u(x + ∆x, y) −u(x, y)
=∫
(x+∆x, y)
(x, y)
O
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例5. 验证 出这个函数.
2 2
是某个函数的全微分, 并求
∂P ∂Q = 2xy = 证: 设 P = xy , Q = x y,则 ∂x ∂y
由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使
du = xy2 dx + x2 ydy
(0,0)
(x, y)
=0 + ∫0
y
(x,0)
x2 y dy
0
∫∫ [0 − 0]dσ
D
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11.3.11、计算 、 的正向。
，其中C为椭圆
解：
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11.3.16、计算曲线积分 、 ，式中L为正向椭圆x2+4y2=1.
P = e , Q = x + cos y ,
x2 2
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11.3.26、利用曲线积分计算椭圆周 、 所围区域的面积。
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二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
定理2. 定理 设D 是单连通域 , 函数 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 在D 内
∫L Pdx + Qdy = 0.
L
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 与路径无关, 只与起止点有关. (3) 即 在 D 内是某一函数 的全微分,
x = acosθ (0 ≤θ ≤ 2π) 所围面积 例如, 例如, 椭圆 L : y = bsinθ
1 2π 2 2 = ∫ (abcos θ + absin θ ) dθ = πab 2 0
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例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
∫L 2xydx + x
2
dy = 0
证: 令 P = 2xy, Q = x2, 则
利用格林公式 , 得
∫L
2xy dx + x2 dy = ∫∫ 0dxdy = 0
D
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例2. 计算
−y2
其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解: 令P = 0, Q = xe ,则
解：由格林公式
∫∫ 4 − ( −2 )dσ
D
= ∫∫ 6dσ = 6 S = 9
D
3 S= 2
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11.2.5、设L是单连通域上任意简单闭曲线，a,b为常数，则 、 是单连通域上任意简单闭曲线， 为常数 为常数， 是单连通域上任意简单闭曲线
_______. 解：由格林公式 =0