如何证明尺规作图三等分一个角是不可能问题

如何证明尺规作图三等分一个角是不可能问题？

1）.先说明尺规作图可能问题：

一个作图题中的所作的未知量，若能由若干已知量经过有限次的有理运算及开平方算出时，这个作图题便能由尺规作出。

2）.定理：

一个一元三次方程若它没有有理根，则长度等于它的任何实数根的线段是不能用尺规作出的。

3）.证明尺规作图三等分任意角是不可能的：

如图：设已知角为3a ,平分后的每一个角为a ,作单位圆交角于A、B、C

过B作BD⊥OA于D，过C作CE⊥OA于E ，

令OD＝m ,OE=x ,则m=cos(3a) ,x=cosa ,代入三角恒等式中：

cos(3a)= 4*(cosa)^3 - 3*cosa 得：4x^3 -3x -m = 0

由于在一般的情况下4x^3 -3x -m = 0 不是都有有理根(艾森斯坦因判别法)

所以根据上面的定理，任意三等分角用尺规作出是不可能的。

林浩南