学习分形心得体会
《分形学》读后感
《分形学》读后感各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢《分形学》读后感原创：周川川很显然，分形是很难通过看两本书就能理解，也很难通过一篇文章就能解释的。
总的来说，就是整体和局部具有相似性。
比如以下图案，你不断的放大，看任何一个局部，它都和整体是一样的结构。
我们的公司组织架构，我们的血管，甚至一棵树，一片叶子，或者一个花菜，都是有这种分形的结构。
在粗浅的认识情况下，我们能用分形学来做什么？我想也许对我们的思维是一种新的启发，因为分形的自相似性，会让你的研究变得更简单，更轻松，在产业研究时，研究集成商和供应商的关系，但你很快就会发现供应商本身也是一个集成商，它也有自己的供应商。
当你研究一个模块的时候，你发现模块内部也是由很多模块组成的。
与其挨个研究一遍，不如研究一下它们的共性，找出它们的规律来，特别是汽车和消费电子产业链。
这也是有人提出来，用分形的办法，可以很快的提高数据的压缩效率。
关于分形还有很多有意思的事情，我们通过几个有趣的例子来说明比如关于英国的海岸线有多长这是很多介绍分形的书会提到的，关于测量海岸线长度，英国政府多次派人去测，结果测的结果都很不一样，随着测量精度的提高，长度越长，甚至到后来测出来的长度比最早的要长很多。
因为海岸线并不是一个光滑的曲线，是一个很不规则的图形，复杂图形层层嵌套，每测一层只能得到这一层复杂程度所对应的长度。
同时也引入了我们对线本身的疑惑，现实中它不是连续的，有时候你看上去觉得连续，是因为你站在很远的地方看它，当你走近看，会发现它有很多复杂的内部结构，再走近看一点，发现内部结构更复杂。
高中的时候我经常拿题目为难物理老师，他有一天问我有没有学微积分，我说只是学了一点微元法而已，但是微元法的原理还不是很理解。
大一的时候终于正经的学微积分，结果反而学的很痛苦，我到近期才大概的想明白为什么，这跟我在财大学计量经济学一样，微积分计算的基础是连续可微的，这在数学里是没有问题的，可是我们偏偏学的是物理，在现实世界里，绝对的连续可微不一定存在。
《分形学》读后感
《分形学》读后感《分形教》读后感文/周川川很隐然，分形是很易经由过程看二原书模板便能了解，也很易经由过程一篇文章便能诠释的。
总的去说，便是零体战部分具备类似性。
好比如下图案，您一直的搁年夜，看任何一个部分，它皆战零体是同样的构造。
咱们的私司组织架构，咱们的血管，甚至一棵树，一片叶子，或者一个花菜，皆是有那种分形的构造。
正在浅显的意识状况高，咱们能用分形教去作甚么？尔念兴许对咱们的思想是一种新的启示，果为分形的自类似性，会让您的钻研变失更简略，更沉紧，正在财产钻研时，钻研散成商战供给商的闭系，但您很快便会领现供给商自身也是一个散成商，它也有本人的供给商。
当您钻研一个模块的时分，您领现模块外部也是由不少模块构成的。
取其打个钻研一遍，没有如钻研一高它们的共性，找没它们的纪律去，出格是汽车战生产电子财产链。
那也是有人提没去，用分形的规定，能够很快的进步数据的紧缩效力。
闭于分形另有不少有意义的工作，咱们经由过程几个无味的例子去注明好比闭于英国的海岸线有多少那是不少引见分形的书模板会提到的，闭于丈量海岸线少度，英国当局屡次派人来测，成果测的成果皆很纷歧样，跟着丈量粗度的进步，少度越少，甚至到厥后测没去的少度比最晚的要少不少。
果为海岸线其实不是一个润滑的直线，是一个很没有划定规矩的图形，庞大图形层层嵌套，每一测一层只能失到那一层庞大水平所对应的少度。
异时也引进了咱们对线自身的纳闷，现真外它没有是间断的，有时分您看下来感觉间断，是果为您站正在很近之处看它，当您走远看，会领现它有不少庞大的外部构造，再走远看一点，领现外部构造更庞大。
下外的时分尔时常拿标题问题尴尬物理教师，他有一地答尔有无教微积分，尔说只是教了一点微元法罢了，然而微元法的本理借没有是很了解。
年夜一的时分末于邪经的教微积分，成果反而教的很疾苦，尔到远期才大略的念大白为何，那跟尔正在财年夜教计质经济教同样，微积分计较的根底是间断否微的，那正在数教面是出有答习题的，否是咱们偏偏偏偏教的是物理，正在现真世界面，续对的间断否微纷歧定存正在。
我学习姚老师《N型结构分形分析理论》的心得体会
我学习姚老师《N型结构分形分析理论》的心得体会今天外出办事，偷懒一下，转载姚工老师学员的一篇文章。
有什么疑问，可以先留言，后面我们再交流。
一、我对老师《N型结构分形分析理论》的粗浅理解和学习心得体会（一）《N型结构分形分析理论》简介“N型结构是一种具有生命特征的“自组织”结构”，是股价走势的“根本结构”，是一种原始参照系（N2，Nbc）,N型结构是个纲，对股价走势的分析具有纲领性作用。
N型结构分为上升N型（N123）和下降N型（Nabc）。
N型结构及其嵌套规律的发现，是老师对市场技术分析的历史性贡献。
老师的《N型结构分形分析理论》的理论基础是20世纪60年代开始出现的三大理论（以下简称“三论”）：1.耗散结构理论（创始人是伊里亚·普里戈金(Ilya Prigogine)教授），2.混沌理论（起始者，阿兰.图灵）3.分形理论（本华·曼德博罗（法语：Benoit B. Mandelbrot））“三论”是“非线性动力学”的三个分支，作为当代人类认识世界的最前沿的科学理论，“三论”就是为找到“非线性系统”（复杂系统）的规律。
我们每天面对的股市就是一个典型的非线性系统”，所以三论的研究方法和规律当然适用于对股市的研究。
非线性系统是复杂的，是非线性。
世界上没有两片完全一样的树叶，英国海岸线也没有两段是完全一样的。
股市中，也没有两个走势完全一样的股票，同一个股票没有两段走势是完全一样的。
那如何来研究这些看似“杂乱无章”的“非线性系统”呢？他们有规律吗？答案是肯定的。
（二）“三论”的三大重要概念一套理论要对研究对象进行研究（观察、描述等），必须有一套完整的理论体系和相关的概念，公式和结论等。
就我对“三论”的学习，简单讲一下我对“三论”中三个重要概念的粗浅理解：1. “非线性系统”的“阈值”。
用于描述“非线性系统”的非线性强度。
非线性强度越大，阈值越高。
实际研究中找极端情形（极值）。
2. 耗散结构的“熵”：用于表示任何一种能量在空间中分布的均匀程度，能量分布的越均匀熵就越大。
李善友分形创新 课后感悟
李善友分形创新课后感悟李善友分形创新课后感悟篇1根据公司培训学习安排，听了专家教授关于“创新经营”的专题讲座，李善友分形创新课后感悟体会。
通过学习，我对经营和管理及创新经营的概念有了更清晰地认识和理解：一、经营和管理的区别：1.管理不是管理，也不是传统意义上的销售。
销售只是商品经营中的一个环节。
包括商品管理、资产管理和资本管理；管理的内容是制度管理、机制管理和企业文化管理。
2.管理是企业经济法特有的概念。
解决了企业发展的方向、市场、战略、效益问题。
管理指标是效益；这是管理企业内部组织的常见概念。
它解决的是企业的秩序、纪律、积极性和效率问题，管理的指标就是效率。
3.做好一个企业是一个系统工程。
其内涵是:市场是企业的龙头，管理是企业的龙头，管理是企业的基础，技术是企业的工具。
前有管理，后有管理，管理相辅相成，交替推进。
二、关于创新经营的体会：1.创新管理的核心必须体现在创新上。
没有创新就意味着走向衰落。
观念的落后是最大的落后。
思路决定行动，思路决定出路。
很多时候，我们并不知道我们在工作中的观念是落后的，我们在不断的重复这些错误，导致我们的工作思路逐渐出问题，失去机会，耽误发展。
2、下步对公司经营搞活方面，公司除从加大经营管理方面入手外，还必须培育并打造创新品牌。
品牌应包括公司形象品牌和经营品牌。
公司品牌方面：我认为公司将“房地产作为主导产业”是十分重要和必要的，也充分体现了创新意识。
首先，其市场潜力巨大。
由于娄底房地产市场开发潜力巨大，庞大的市场资源有必要让我们去认真开发和拥有，对公司下步的发展和必然的经营结构调整都具有重大的意义。
我们应采取最低成本策略，保证公司近期产业经济效益，为公司下步发展打下坚实的基矗。
三、学习的重要性：公司组织的培训学习安排，对提高各级管理人员的综合能力和水平非常有利。
只有不断的学习各方面的知识，吸收更多的新思想来充实自己，才能不断的得到提升，在工作中有更好的大局感和正确的思路，不断的创新让自己的思想不落后。
分形的感受和理解
我对分形的认识和感受
白丹丹 12计应三 12051433
首先，分形是具有以非整数维形式充填空间的形态特征的数学工具。
我们身处的大自然不规则的显现普遍存在。
如果任由其自由发展不去探索我们肯定是一无所得的除了从自然获取养分之外。
因此被称为描述大自然的分形几何学肯定是要应运而生的。
像其他科学一样分形的提出便很快得到了社会的各个科学领域的关注。
我想，而且在实用上分形几何都具有重要价值。
著名的物理学家惠勒说过这样一句话：“谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识。
”足见分形在科学领域的的重要性。
它的出自现描述了然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规的几何对象。
例如，弯弯曲曲的海岸线、令人眼花缭乱的满天繁星等。
它们的特点都是，极不规则或极不光滑。
直观而粗略地说，这些对象都是分形。
想到分形我的第一印象就是花菜，因为花菜的特征完全符合曼德勃罗给分形下过的定义：部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。
分形从上世纪80年代初开始便经久不息。
它作为一种新的概念和方法，正在许多领域开展应用探索。
分形几何不仅展示了数学之美，也揭示了世界的本质，还改变了人们理解自然奥秘的方式；可以说分形几何是真正描述大自然的几何学，对它的研究也极大地拓展了人类的认知疆域。
2024年听三角形的分类的心得体会范本(2篇)
2024年听三角形的分类的心得体会范本在2024年的今天，我有幸参加了一场关于三角形分类的讲座。
今天，我将分享我对这场讲座的心得体会。
三角形是几何形状中的一种重要形式，它是由三条线段相互连接而成的。
在讲座中，讲师向我们介绍了三角形的基本定义和性质，并详细讲解了三种常见的三角形分类：按边长分类、按角度分类和按角的大小分类。
按边长分类是最为简单直观的一种分类方式。
三角形按边长可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
等边三角形的三条边长度完全相等，等腰三角形的两条边长度相等，普通三角形的三条边长度都不相等。
通过这种分类方式，我们能够快速了解一个三角形的边长特点，从而更好地应用于解题和实际问题的解决。
按角度分类是对三角形进行的另一种常见分类方式。
三角形按角度可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
锐角三角形的三个角都是锐角，直角三角形的一个角为直角（90度），钝角三角形的一个角是钝角（大于90度）。
通过这种分类方式，我们可以快速判断一个三角形的角度特点，从而推导出一些性质和定理，进一步应用于解题。
按角的大小分类则更加复杂和有趣。
在讲座中，讲师详细介绍了三角形的各个角度之间的关系和性质。
三角形的内角和外角之和是固定的，总是等于180度。
三角形的三个内角的大小关系也有一定的规律，比如对于锐角三角形，三个内角都小于90度；而对于钝角三角形，三个内角都大于90度。
通过这种分类方式，我们可以更深入地理解三角形的角度特性，从而在解题中灵活运用。
通过参加这次讲座，我对三角形分类有了更深入的了解和体会。
在课堂上，我还学到了一些三角形的基本定理和性质，如三角形内角和的性质、三角形外角的性质等。
这些定理和性质给我解决问题提供了很大的帮助和启发。
除了理论知识，讲师还通过一些实例和题目向我们示范了如何应用分类的方法来解题。
通过分析题目中给出的条件和要求，我们可以快速地将三角形进行分类，然后运用相应的定理和性质来解答问题。
分形学的感想
分形学对于分形学这门学科，开始的时候我还是比较感兴趣的。
因为它讲的主要就是一些图形，和这些图形的某一种变化无限下去所产生的新的复杂图形以及它的一些规律和性质，当然，这是我自己的理解。
我感觉这样的图形很好看，虽然它们在细小上有点重复，不过，也正是这样，犹如豹子身上的花纹一样，充满了吸引力。
就比如第一章第一节中就举了几个例子，像这样的图形，原图都是最简单的图形，但经过那些简单的多重变化以后，它就变得复杂好看了。
不过它们还是很有规律的。
在最初，我认为分形学就是这样，看着复杂，却又有简单的部分，就这样无限生成、复制下去。
当然，真正的分形学远不是这么简单的。
因为曼德勃罗曾经为分形下过两个定义：（1）满足下式条件Dim(A)>dim(A)的集合A，称为分形集。
其中，Dim(A)为集合A的Hausdorff维数（或分维数），dim(A)为其拓扑维数。
一般说来，Dim(A)不是整数，而是分数。
（2）部分与整体以某种形式相似的形，称为分形。
然而，经过理论和应用的检验，人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容。
实际上，对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义，正如生物学中对“生命”也没有严格明确的定义一样，人们通常是列出生命体的一系列特性来加以说明。
对分形的定义也可同样的处理。
（i）分形集都具有任意小尺度下的比例细节，或者说它具有精细的结构。
（ii）分形集不能用传统的几何语言来描述，它既不是满足某些条件的点的轨迹，也不是某些简单方程的解集。
（iii）分形集具有某种自相似形式，可能是近似的自相似或者统计的自相似。
（iv）一般，分形集的“分形维数”，严格大于它相应的拓扑维数。
（v）在大多数令人感兴趣的情形下，分形集由非常简单的方法定义，可能以变换的迭代产生。
也就是说，几乎自然界中的所有图形都可以归纳在分形学之中，那些图形如山峰的轮廓、海岸线等等几乎是毫无规律的，而我所认为的则是其中相对来说应该是很有规律了。
关于分形理论的哲学思考
关于分形理论的哲学思考李后强文章来源：摘自《自然辩证法研究》，1993年第4期来自科学哲学的情报表明，一些富于探索精神的哲学家们，正在试图把分形的概念和思想抽象为一种方法论，它是一种辨证的思维方法和认识方法。
部分与整体的关系是一对古老的哲学范畴，也是分形理论的研究对象。
把复杂事物分解为要素来研究是一条方法论原则——简单性原则。
哲学史上，人们很早就认识到，整体由部分组成，可通过认识部分来映象整体。
系统中每一个元素都反映和含有整个系统的性质和信息，即元素映现系统，这可能是分形论的哲学基础之一。
从分析事物的视角方面来看，分形论和系统论分别体现了从两个极端出发的思路。
它们之间的互补恰恰完整地构成了辨证的思维方法。
系统论由整体出发来确立各部分的系统性质，它是沿着宏观到微观的方向考察整体与部分之间的相关性。
而分形论则相反，它是从部分出发确立了部分依赖于整体的性质，沿着微观到宏观的方向展开的。
系统论强调了部分依赖于整体的性质，而分形论则强调整体对部分的依赖性质。
于是二者构成了“互补”。
分形论的提出，或许具有以下几个方面的意义。
首先，它打破了整体与部分之间的隔膜，找到了部分过渡到整体的媒介和桥梁即整体与部分之间的相似。
其次，分形论的提出，使人们对整体与部分的关系的思维方法由线性进展到非线性的阶段，并同系统论一起，共同揭示了整体与部分之间多层面、多视角、多维度的联系方式。
分形论从一个新的层面深化和丰富了整体与部分之间的辨证关系。
再次，分形论为人们认识世界提供了一种新的方法论，它为人们从部分中认知整体，从有限中认知无限提供了可能的根据。
最后，分形论的提出进一步丰富和深化了科学哲学思想中的关于普遍联系和世界统一性的原理。
这主要表现在两个方向：一是分形论从一个特定层面直接揭示了宇宙的统一图景，同时，分形论所揭示的整体与部分的内在联系方式，是对宇宙普遍联系与内在统一的具体机制的一种揭示。
恩格斯曾经把存在于自然、社会和思维中的普遍联系称之为“一幅由种种联系和相互作用无穷无尽地交织起来的画面。
浅谈数学怪物——分形
浅谈数学怪物——分形1 分形理论的产生分形（Fractal）理论是当今世界的新理论、新学科，其概念是美籍数学家曼德布罗特首先提出的.大自然中物体和现象的几何形状普遍具有复杂的不规则性, 传统的欧氏几何学在描述这样的自然现象时显得苍白无力,分形学的产生就是被用来描述这些不规则的欧氏几何无法描述的几何现象和物体的,它的产生使自然景物的描绘成为可能,这也是分形几何得到高度重视的原因之一.在分形理论真正发展起来的这十几年来,其研究倍受重视,分形的理论意义及实用价值深深吸引着人们寻求新规律、新特征存在的可能性.2 分形理论的发展分形理论的发展可以分为三个阶段[1](P114-115)：第一个阶段是从1827年到1925年,在此期间,数学家们构造并且研究了很多奇遇或病态的集合及其图象,还试图对这类集合与经典集合的差别进行了详细分析.1827年,维尔斯特拉斯证明的一种在任意一点都不具有有限或无限的导数的连续函数曾引起了极大的震动,虽然人们认为此函数是极为“病态”的，但人们还是从不同方面推广了它,并且还对这类函数的奇异性质作了深入的研究.1904年，瑞典的数学家科赫通过初等方法构造出了如今称之为科赫曲线的处处不可微的连续曲线,并且还对该曲线的性质加于研究,该曲线改变了连续不可微曲线的构造一定非常复杂的看法,这是第一个认为构造的具有局部与整体相似结构的曲线.1883年,德国数学家康托尔构造了一类不连通的紧集s,s被称为康托尔三分集.在当时,它被认为在传统的研究中是可以忽略的,但现在它在非线性研究中却占有重要的意义.1890年,意大利数学家皮亚诺构造了能够通过某个正方形内所有点的曲线,这种奇怪的曲线曾使人们对以往的长度与面积等概念重新进行认识,并使数学界大吃一惊.在此基础上，1901年,闵可夫斯基引入了闵可夫斯基容度,1919年,豪斯道夫引入了豪斯道夫测度和豪斯道夫维数.总之,在此阶段,人们已经提出了典型的“分形”对象和相关问题,并为研究此类问题提供了最基本的数学工具.第二阶段大致是从1926年到1975年,在此阶段,人们对分形的性质作了深入研究,特别是对维数理论的研究已获得了丰富的成果.这一阶段对第一阶段的思想进行了系统、深入的研究,不仅逐渐使其形成了理论,而且将研究范围扩大到了数学的许多分支之中.庞特里亚金、贝塞克维奇等研究的曲线的维数,分形集的局部性质,分形集的结构以及其在数论、调和分析、几何测度论中的应用,这些都极大地丰富了分形几何理论.列维在这一阶段的工作极为重要,首先,他第一个系统地研究了自相似集,现在研究的许多自相似性都可以追溯到他的工作中;其次,他建立了分数布朗运动的理论,成为随机分形理论系统研究的重要先驱者之一.在这一阶段,绝大部分从事这一领域工作的人还局限于纯的数学理论的研究,而未与其他学科发生联系.在物理、地质、天文学和工程学等学科已产生了大量与分形有关的问题的形势下,这就迫切需要新的思想与有力的工具来处理.曼德布罗特以独特的思想, 研究了海岸线的结构、具有强噪音干扰的电子通讯、月球的表面、地貌几何性质等典型的自然界的分形现象,并取得了一系列令人瞩目的结果.第三阶段是从1976 年至今,这是使分形在各个领域的应用取得全面发展,并使之形成独立学科的阶段.3 分形的特征及有关概念3.1分形的特征通常人们认为分形具有以下几个特征[1](P116):具有精细的结构,也就是说在任意小的尺度下,它总是有复杂的结构;具有不规则性,它的整体与局部不能用传统的几何语言来描述;具有自相似形式,这种自相似可以是近似的或统计意义的;一般地,分形图形在某种意义下的维数大于它的拓扑维数;在大多数情况下,分形图形可以用非常简单的方法产生.3.2有关概念概念一 分形曼德勃罗最先提出的分形[2]（Fractal ）具有不规则、支离破碎等意义.他曾经为分形下过两个定义[1](P116)：（1）满足下式条件()()A A Dim dim > 的集合A ,称为分形集.其中,()A Dim 为集合A 的Hausdoff 维数（或分维数）,()A dim 为其拓扑维数.一般说来,()A Dim 不是整数,而是分数.（2）部分与整体以某种形式相似的形,称为分形.然而,经过理论和应用的检验,人们发现这两个定义很难包括分形如此丰富的内容.实际上,对于什么是分形，到目前为止还不能给出一个确切的定义.但是自然界中有很多分形的例子,例如:羊齿植物、菜花以及许多其他植物,它们的每一分支和嫩枝都与其整体非常相似.大自然中的山、树、云、海岸线也都可以看成是分形.下面给出大家两个分形图形:左图是一棵厥类植物，仔细观察，我们就会发现,它的每一个枝杈都在外形上和整体相同，仅仅是在尺寸上小了一些,而枝杈的枝杈也和整体相同,只是变得更加小了一些.右图是数学家们构造的Kohn （克赫）曲线.概念二 维数为什么说分形是数学中的怪物呢?这是由于它的维数不是人们通常用的整数而是分数.长期以来在欧氏空间中,人们习惯于将点定义为零维,直线定义为一维,平面定义为二维,空间定义为三维,爱因斯坦在相对论中引入时间维,就形成四维时空.但通常人们习惯于整数的维数.分形理论把维数视为分数为了定量地描述客观事物的“非规则”程度.1919年,数学家从测度的角度引入了维数概念,将维数从整数扩大到分数,从而突破了一般拓扑集维数为整数的界限.分形维数,作为分形的定量表征和基本参数,是描述分形的重要参数,能够反映分形的基本特征,但由于侧重面不同,有多种定义和计算方法.常见的有以下几种[3](P44-46):相似维数s D 我们画一个边长都是1的线段、正方形和立方体.将它们的边长二等分,此时,原图的线段长均缩小为原来的12,而将原图等分为若干个相似的图形.其线段、正方形、立方体分别被等分为12、22和32个相似的子图形,其中的指数321、、,正好等于与图形相应的经验维数.一般说来,如果某图形是由把原图缩小为1a的相似的b 个图形所组成,有:b a s D =,a b D s ln ln =的关系成立,则指数s D 称为相似性维数,s D 可以是整数,也可以是分数.容量维数c D 容量维数是利用相同大小形状的小球或立方体包覆几何对象而定义的维数,由著名苏联数学家科尔莫哥诺夫提出的.设一几何对象s ,若用直径为ε的小球为标准去覆盖s ,所需的小球的最小数量为()εN ,则s 的容量维数为:)1ln()(ln lim 0εεεN D c →=. 豪斯道夫 (Hausdorff)维数H D 设一个整体s 划分为N 个大小和形态完全相同的小图形,每一个小图形的线度是原图形的r 倍,则豪斯道夫维数为:()⎪⎭⎫ ⎝⎛=→r r N D r H 1ln ln lim 0. 计盒维数b D 将用边长为21 的封闭正方盒子覆盖s ,若s 中包含的小方盒数量()n M ,则计盒维数为: ()2ln ln lim n n M D n b ∞→= . 除上述定义的几种分形维数外,还有信息维数、谱维数、模糊维数、拓扑维数、广义维数、微分维数、分配维数、质量维数、填充维数等.4 分形理论的应用分形的应用很广,在各个方面都有其应用,如在数学、物理学、化学、生物科学、地质科学等各个领域都已得到了极为广泛的应用.4.1 在数学中的应用例1[4](P9) 计算Koch 曲线的相似维数：则分别有：1 3ln 4ln =s D 2 232ln 2ln 4ln 8ln 23===s D 3 6ln 18ln =s D 4 4ln 7ln =s D 例2 计算Koch 曲线的容量维数：根据Koch 曲线的构造过程,如右图:第一次线段长度311=ε,只要四段即可覆盖住点集,所以()41=εN ,第二次线段长度912=ε,用十六段才可覆盖住点集,第n 次,n n 31=ε,()n n N 4=ε,因此3ln 4ln 3ln 4ln lim 3ln 4ln lim ===∞→∞→n n D n n n n c . 例3 Cantor 集[4](P2),如右图:取单位长线段[]1,0,三等分然后舍弃中间一段⎪⎭⎫ ⎝⎛32,31,再将剩下两段⎥⎦⎤⎢⎣⎡31,0,⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,32分别三等分并舍弃中间的⎪⎭⎫ ⎝⎛92,91和⎪⎭⎫ ⎝⎛98,97两段,在剩下的四段⎥⎦⎤⎢⎣⎡91,0,⎥⎦⎤⎢⎣⎡31,92,⎥⎦⎤⎢⎣⎡97,32,⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,98中用同样的办法,每一段都三等分去掉中间一段,如此继续下去直到无穷,最后所得到的点集就称为Cantor 三分集,或简称Cantor 集.在实变函数中介绍它的Hausdorff 维数是3ln 2ln =H D .现在我们来计算一下它的容量维数:根据构造过程,第一次线段长度311=ε,只要两段即可覆盖住点集,所以()21=εN ,第二次线长度2231=ε,用四段可覆盖住点集,第n 次,n n 31=ε,()n n N 2=ε,因此 3ln 2ln 3ln 2ln lim 3ln 2ln lim ===∞→∞→n n D n n n n c . 由它的构造过程我们还可以把它每一步的相似维数求出来,第一步是把原图缩小为31的相似的2个图形,所以3ln 2ln =s D ,…,第n 步是把原图缩小为n 31的相似的n 2个图形,所以 3ln 2ln 3ln 2ln 3ln 2ln ===n n D n n s . 经计算每步的相似维数得出它们都相等并且都是3ln 2ln . 猜想:相似维数用于按一定规律进行有限次的改变而形成的分形中,而容量维数则是用于按一定规律进行无限可列次的改变而形成的分形中,它通常以极限的形式出现.如对同一个图按同一个规律改变,那么每次改变后所得到的分形图形的相似维数与无限可列次的改变后所得到的分形图形的容量维数是相等的.分形将作为一门课程进入高中.其实不知不觉分形几何已进入了我们的考试中:例4[5](P44) 在2002年全国高中数学联赛试题中就有这样一道题：如下图:有一列曲线0P ,1P ,2P ,…,已知0P 所围成的图形是面积为1的等边三角形,(1)k P +是对k P 进行如下操作得到:将k P 的每条边三等分,以每边中间部分的线段为边,向外作等边三角形,再将中间部分的线段去掉()Λ,3,2,1=k .记 n S 为曲线n P 所围成图形的面积.(1)求数列{}n S 的通项公式;(2) 求 n n S ∞→lim .这是一道以分形几何为背景的试题,主要考查的是与数列相关的基础知识,同时考查阅读理解能力,立意新,落点实,体现了研究性学习的深入和数形结合思想的应用.随着考试改革的深化,在试题设计上,更加注重能力立意,强调对学生思维品质、创新能力和学习潜能的考查.而以分形几何为背景的试题,新颖鲜活而有创意,富有时代气息,恰好体现了这方面的要求,因此备受青睐,使“怪物”焕发出亮丽的风采.同时,也让学生感受到分形几何无穷的美学魅力,激发学生对这门新兴学科的学习兴趣.4.2 在物理学中的应用分形学的问世给物理学的研究注入了新的活力,因而分形在物理学中得到了广泛的应用,其中比较成功的应用包括以下方面.在分形凝聚[6](P81-82)方面,人们提出的具有多重分形的受限扩散凝聚(DLA)模型和动力学集团凝聚(KCA)模型;在固体物理方面,用于准晶态的扩散,薄膜的研究,如在气相物理沉淀、非晶态薄膜的晶化、溶液膜中的晶体生长、液体界面上的电解沉淀、气态电解质膜中的电击穿等过程中都可出现分形图样;分形理论已用于纳米半导体薄膜、超导薄膜、各种薄膜生长和超薄金属膜生长的研究之中.用于湍流的研究,分子光谱(分子线谱和分子能量状态具有分形结构),电磁散射(由于粗糙分形表面引起的),材料断裂表面和边界、以及碎块的大小和频度具有分形规律,材料力学行为和材料弹塑性断裂研究;在粒子物理中的应用,高能粒子碰撞中的阵发现象具有分形结构,分形理论用于解释碰撞的机制,为粒子物理打开一个新的领域;在流体粘性指进现象中的应用,粘性指进是指两种具有不同粘性的流体相遇时,在其界面形成的具有分形结构的奇特形状,该形状与受限扩散凝聚(DLA)模型相似;在放电式样研究中的应用、相变分析.超微粒及其聚集体,及其在粒径、熔化、磁性、电导及生长过程中均具有分形特征.有人对超导现象研究后发现,材料微观结构的分形维数与其超导电性密切相关.分形学也用于布朗运动分析、非晶态半导体的研究、引力波的研究、电子在固体中的散射、多孔介质中的声传播、激光全息防伪等领域.4.3 在化学中的应用[7](P207)分形理论在化学中也有很广泛的应用,如:在多相催化体系中的应用,催化剂颗粒是一个分形体,不仅疏松的衬底和分布在其上作为催化物质的颗粒表面可以用分维表征,而且起主要催化作用的颗粒的亚微观结构也具有分形特征.研究表明,在分形介质中进行分散和反应都与表面分维数有关.此外,分形理论还在生物催化方面有应用.在宏观化学动力学方面,远离平衡态的化学过程往往产生具有分数维的表面结构.在颜料表面改性方面的应用,颜料粒子的表面形貌是一个影响颜料性能的很重要的因素,研究结果表明,表面分形维数、粒子表面形貌与颜料某些性能之间确实存在很好的对应关系.目前,分数维方法在化学中各个领域的应用也正在开展之中.例如:沉积物的形成、表面吸附、高分子溶液、晶体结构以及高分子凝胶等方面.此外,薄膜分形、断裂表面分形以及超微粒聚集体分形等领域的研究已日趋活跃,在准晶和非晶态固体的描述、气固反应模型等也有应用.4.4 在生物医药中的应用[8](P423-428)分形学在药学领域的应用以药剂学最吸引人.如用分形维数表征粉粒状药物、多孔固体制剂、混悬剂和乳剂、气溶胶、微乳剂等结果,可更好地研究药剂表面结构与药物性能的关系.在生物药剂学和药物动力学也有许多潜在用途,如用分形表示药物溶出动力学曲线、分形反应维数在药物膜通透速率中的应用、吸附剂表面吸附程度以及血药水平和尿排泄曲线等.在生理学方面,各种组织和器官在微观结构上是分形的,同样组织中发生的功能性事件也具有非线性动力学特征.分形和非线性动力学的概念提供了一种描述由于疾病或药物毒性导致的功能失调以及药理学中常遇到的许多现象的灵敏方法.如药物 - 受体相互作用、细胞膜表面的分形维数及离子通道动力学模型、跨膜转运、神经系统和功能、生物反应器.另外,分形在地质科学、社会科学、人文科学以及艺术等各个领域也都有应用.分形学是一门很年轻的科学,正处在不断发展之中.其应用研究已涉及几乎所有学科领域,我们必须以科学的态度对待这一新兴学科.分形几何的创立为描述存在的不规则图形和现象提供了思想方法,为解决传统科学中的难题提出了新的思路,已成为当代科学最有影响的基本概念之一,其深远的理论意义和巨大的实用价值在众多学科领域日益凸显.。
初中数学“等腰三角形分割”的学习心得
初中数学“等腰三角形分割”的学习心得通过对“等腰三角形分割”的课堂学习，使我受益匪浅。
在学习过程中，教师为提高我们的学习兴致，吸引我们的注意力，采用了多媒体教学手段和情境教学模式进行教学，将“等腰三角形分割”的相关知识讲解的极为细致。
通过本次学习，我的收获极多，不仅学习到了相应的数学知识，而且还提高了自身的数学素养。
总体来说，我的学习感想和心得体会可以概况为以下几点。
1.通过“等腰三角形分割”的课堂学习，使我认识到数学方法的重要性，并掌握了解题技巧。
在等腰三角形分割相关知识讲授过程中，教师强调：“学生们可以通过画辅助线来求解。
但需要保证这一辅助线必须经过等腰三角形的某个顶点。
”通过教师的讲解和强调，我掌握了部分解题技巧，并了解到解题技巧也有自己的规则和规律。
同时，教师通过多媒体动画，讲解了黄金三角形知识点，即底边长度与腰的长度之比为0.618，随后，教师引申出黄金分割点的知识点。
通过对多媒体动画的观看，我掌握了这个重要知识点，这使我在接下来的学习和解答问题过程中效率更高、质量更好。
另外，在课堂结束前，教师针对班级学生的不同学习情况设置了不同的延伸作业，这会强化我们对知识的掌握，使我们对知识的应用达到事半功倍的效果。
因此，在教师讲授知识点时，我们必须要清晰地把握好数学知识主线和教师所要讲解的重点，通过对知识的学习和应用，加强引申思考，并在思考中找到属于自己的学习方式。
以此加强对数学方法和数学核心知识以及解题技巧的掌握，找到提高解题效率和学习效果的突破口。
2.在“等腰三角形分割”的课堂学习过程中，我深感发挥出教师的引导作用具有重要意义。
首先，在教师讲解“等腰三角形分割”知识点前，教师要对教材和学生的实际情况进行分析，制定出教学计划和方案。
而教学方案和教学计划对我们的学习会产生直接影响。
其次，在本次学习过程中，教师充分尊重了我们的主体作用，并尊重了我们的个体差异性。
例如，教师在讲黄金分割线时，教师针对学习能力较强的学生，让他们进行自主计算和训练，针对学习能力较差的学生，为他们重复讲解黄金分割线的知识内容。
分形感受
分形感受11安防陈祥11057031 由于数学比较难，所以很多人都不喜欢学数学，当然，这许多人中也包括我，因为数学不仅难而且还枯燥，所以不喜欢学习数学，于是呢！直接导致数学成绩不理想，但是今天看过分形过后，我突然发现，原来数学还可以这么漂亮，这么令人感兴趣。
和以前的思想比较，这简直太不可思议了！我想，每个看过分形图片的人都会改变他们以前对数学的看法。
原来，数学并不是想象中的那么枯燥。
分形，是以非整数维形式充填空间的形态特征。
分形可以说是来自于一种思维上的理论存在。
1973年，曼德勃罗在法兰西学院讲课时，首次提出了分维和分形几何的设想。
分形一词，是曼德勃罗创造出来的，其原意具有不规则、支离破碎等意义，分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。
我们再看一下分形的历史。
在传统的几何学中，人们研究一个几何对象，总是习惯于在Euclid空间对其研究和度量，其中字母n表示空间的维数，通常为整数，如n分别为1、2、3时，对应的空间为线性空间、平面空间、立体空间，在相应的空间中，我们可以测得几何对象的长度、面积、体积等。
但是大约在1个世纪前，在数学领域，相继出现了一些被称为数学怪物的东西，在传统的Euclid领域，人们无法用几何语言去表述其整体或局部性质从“谁不知道熵概念就不能被认为是科学上的文化人，将来谁不知道分形概念，也不能称为有知识。
”我们很清楚的看出分形在现在乃至将来在生活中的重要性。
它所占的比重也将雨来越大。
所以我们更有必要把数学学号，以此来增加我们的知识。
下面我们分形的应用：分形诞生在以多种概念和方法相互冲击和融合为特征的当代。
分形混沌之旋风，横扫数学、理化、生物、大气、海洋以至社会学科，在音乐、美术间也产生了一定的影响。
分形感想
美妙绝伦的分形几何学
“经典的欧几里德几何学里面的图形过于简 单，难以描述自然。分形几何学才更接近 大自然。分形几何学不仅仅提供美丽图案， 它还有许多实际应用，如大气物理。甚至 有研究者发现，古琴的韵律也是‘分形’ 有研究者发现，古琴的韵律也是‘分形’ 的。”——这段文字我也似懂非懂。 的。”——这段文字我也似懂非懂。
第一步靠近
曼德尔布罗特根据他 的观测结果，撰写了 《大自然的分形几何》 大自然的分形几何》 一书，该书发表于 1982年。在《 1982年。在《大自然 的分形几何》 的分形几何》一书中， 他创造了一个新词汇-他创造了一个新词汇-“分形”(fractal)。 分形”(fractal)。 “fractal”来自拉丁文 fractal” “fractus”，原意为 fractus” “碎片”。 碎片”
分形感想
20世纪70~80年代，数学出现了一个新的分 20世纪70~80年代，数学出现了一个新的分 支——分形几何学。我对于数学一窍不通，可 ——分形几何学。我对于数学一窍不通，可 是看了下面的图片，却平生第一次后悔自己没 好好学学数学。对于学美术的人来说，梦寐以 求的“ 求的“美”，原来在数学中比比皆是。
2024年听三角形的分类的心得体会模版(2篇)
2024年听三角形的分类的心得体会模版在____年，我有幸参加一场关于三角形分类的研讨会，通过参与互动和听取专家的讲解，我对三角形的分类有了更深入的了解和体会，下面是我在这场会议上得到的心得体会。
首先，我深刻认识到三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条边和三个角组成。
从形态上来看，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
其中，等边三角形是指三条边长度相等的三角形，它有着非常特殊的性质，例如它的三个角都是60度，且它的高、中线、角平分线都是重合的。
等腰三角形是指两条边长度相等的三角形，它的两个底角相等，顶角则是独立的。
而普通三角形则是指三条边长度都不相等的三角形，它没有特殊的性质，具有最普遍的特征。
其次，我了解到三角形也可以根据角度的大小来进行分类。
根据三个角的大小关系，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
锐角三角形是指三个角都小于90度的三角形，它的三个角都比较尖锐。
直角三角形则是指恰好有一个90度角的三角形，它的两个边相互垂直。
而钝角三角形则是指有一个角大于90度的三角形，它的一个角比较迟钝。
此外，我也了解到三角形还可以根据边长的关系来进行分类。
根据三个边的长度关系，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
等边三角形是指三条边长度相等的三角形，它有着非常特殊的性质。
等腰三角形则是指两条边长度相等的三角形，它的两个底角相等。
普通三角形则是指三条边长度都不相等的三角形，它没有特殊的性质，具有最普遍的特征。
通过参与这场研讨会，我对三角形的分类有了更加深入的了解。
我认识到三角形不仅仅是一个几何图形，它具有丰富的内涵和特性。
通过对三角形的分类，我们可以更好地理解三角形的性质和关系，有助于我们在解决几何问题时的思考和推理。
此外，这场研讨会还给我带来了一些启发。
我意识到，在学习三角形的分类过程中，我们不仅要了解每种分类的定义和特性，更重要的是要学会将这些分类综合应用，将其与其他几何概念相结合，从而更好地解决实际问题。
分形几何学：自然界的复杂之美
分形几何学是一门独特而又神秘的数学学科，它研究的是自然界中那些看似无法描述的复杂结构。
从山脉的峰与谷到树叶的纹理，从雷电的闪电路径到心电图的波动曲线，我们可以在各个领域中发现分形的存在。
它的研究成果让我们深刻地感受到了自然界的复杂之美。
分形几何学的概念最早由波兰数学家曼德尔博士在20世纪70年代提出。
他研究了一个叫做“曼德勃罗集(Mandelbrot Set)”的特殊分形，这个集合包含了无穷多个复数点。
曼德勃罗集的图像以其形状复杂而美丽而著称于世。
看似小小的一个图案却包含了无穷多的细节，无论怎么进行放大，每一次放大都会揭示出更多的分形结构，仿佛进入了一个无限迷宫。
这个发现引起了人们对分形几何学的极大兴趣。
自然界中的分形结构十分常见，从大到小，无处不在。
比如我们常见的树枝结构，无论是从整体还是局部上看，都呈现出分形特征。
一棵大树的枝干不仅有树枝，树枝上还有更小的分支，这些分支上又有更细小的枝条，它们以类似的方式重复出现，形成了树的层级结构。
类似的分形结构还存在于河流的模式中，从主河道到支流再到小溪，每一级都是满足分形特征的。
即使在人类体内，血管、神经系统等也具备分形特征，这使得我们的身体更加灵活和高效。
分形结构不仅存在于自然界，还在科学和艺术领域产生了极大的影响。
科学家们发现，用分形几何学理论可以更好地描述许多自然现象，例如云的形状、风暴的路径等。
而在艺术创作中，分形图案被广泛应用，它们展示了令人惊叹的美感。
许多艺术家通过计算机生成算法来创造分形艺术作品，这些作品呈现出无限的细节和复杂性，使观众深陷其中。
然而，分形几何学的研究远远没有结束。
虽然我们已经在自然界和艺术中发现了许多分形结构，但这只是冰山一角。
未来还有许多未知的领域值得我们去探索。
随着计算机技术的进步，我们能够更深入地研究分形几何学。
通过模拟和计算，我们可以以更高的精度和更快的速度生成分形图像。
这将有助于我们更好地理解分形的本质和应用。
分形读书报告
读书报告近期,我阅读了一些有关于分形方面的文献，大致的了解了一下分形以及分形的量度——分数维，下面就是一些我对于分形的理解。
在经典的欧几里德几何中, 可以用直线、圆、球等这一类规则的形状去描述诸如墙、车轮、卫星等人造物体, 因为这些物体本来就是根据欧氏几何的规则图形生成的。
然而自然界中, 却存在着许许多多极其复杂的形状, 如: 山不是锥体, 云不是球体, 闪电不是折线, 雪花边缘也不是圆等等, 再如宇宙中点点繁星所构成的集合更非经典几何所能描述的, 它们不再具有人们早已熟知的数学分析中的连续、光滑(可导)这一基本性质了, 而是非线性的。
为了描述这些问题, 哈佛大学数学系教授曼德布罗特(BenoitB.Mandelbort) 在1975 年首次提出分形(Fractal)概念。
1982 年Mandelbrot 著作《The FractalGeometry of Nature》的出版, 标志着分形理论的产生。
分形理论的建立为研究无序结构和探索复杂事物提供了一极有力的工具。
分形理论与耗散结构理论、协同学、混沌理论都是同一时期在非线性科学研究中取得的重要成果。
所谓分形就是事物组成部分以某种方式与整体相似的形, 其整体具有自相似性。
分形研究的对象是具有自相似性的无序系统, 其维数的变化是连续的, 而非欧氏几何中的整数维, 如空间的欧氏维数是3。
(琚正挺,2006)从Mandelbrot在《英国的海岸线有多长》一文中提出分数维概念以后,分形几何学逐渐发展成为专门研究复杂、非规则现象的新理论,并已被证实在研究过去常被认为的无规律体,如地质体的内在规律方面行之有效,分形能够对自然世界和表面的复杂性作出更精确的表达。
分形具有自相似性和无标度性。
（1）自相似性：一个分形的某种结构或过程从不同的空间或时间尺度来看都是自相似的。
事实上,在标度区内具有对称性,即表征自相似系统或结构的定量性质,如分维数,并不会因为放大或缩小等而变化,所改变的只是系统的外部形式,即系统的部分和整体之间存在自相似性。
蝴蝶效应之谜—走进分形与混沌读后总结
蝴蝶效应之谜——走进分形与混沌读后随笔第一篇 美哉分形1.1有趣的分形龙（1）简单的迭代，进行多次之后，产生了越来越复杂的图形；（2）越来越复杂的图形表现出一种“自相似性”；（3）迭代次数较少时，图形看起来是一条折来折去的“线”，随着迭代次数的增加（迭代次数→无穷）最后的图形看起来像是一个“面”。
1.2简单的分形皮亚诺和space filling curve科赫曲线（雪花）；分形（fractals ）1.3分数维及其计算方法在经典几何中，是用拓扑的方法来定义维数的，即空间的维数等于决定空间中任何一点位置所需变量的数目。
德国数学家豪斯多夫（F. Hausdorff ）1919年给出了维数的新定义。
用自相似定义的维数可以如此简单而直观的理解：首先将图形按照1:N 的比例缩小，然后，如果原来的图形可以由M 个缩小之后的图形拼成的话，这个图形的维数d ，也叫豪斯多夫维数，即()()n M d ln ln = 1.4再回到分形龙1.5大自然中的分形分形具有以下特征：（1）分形具有自相似性。
（2）分形具有无穷多的层次。
（3）分形的维数可以是一个分数。
（4）分形通常可以由一个简单的递归、迭代的方法产生出来。
生成分形的三种方法简单的线性迭代法；线性迭代与随机过程相结合；非线性迭代法。
特例，一种很重要的与随机过程有关的分形：扩散置限凝聚。
（闪电、石头裂纹等）1.6分形之父的启示本华 曼德勃罗（B. Mandelbrot ）。
曼德勃罗集（非线性迭代）1.7魔鬼的聚合物——曼德勃罗集 朱利亚集都是复数，其中，C Z C Z Z n n +=+211.8朱利亚的故事西方谚语“在木匠看来，月亮也是木头做的”。
即每个人都用自己的方式来理解世界。
分形龙网址[OL]/cd/java/fractals.html曼德勃罗集和朱利亚集网址[OL] /cd/java/iterfrac.html第二篇 奇哉混沌2.1拉普拉斯妖混沌理论是研究一个动力系统的长期行为。
分形几何
大自然中的分形几何学
信息系10网络二班 杨 英
10054108
给你不一样的视觉享受……
关于分形几何：
分形几何学的基本思想是： 客观事物具有自相似的层次结 构，局部与整体在形态、功能、 信息、时间、空间等方面具有 统计意义上的相似性，成为自 相似性。例如，一块磁铁中的 每一部分都像整体一样具有南 北两极，不断分割下去，每一 部分都具有和整体磁铁相同的 磁场。这种自相似的层次结构， 适当的放大或缩小几何尺寸， 整个结构不变。
它 是 数 学 与 艺 术 结 合 的 明 珠 。
两名数学家的贡献：
在二十世纪七十年代，法国数学家芒德勃罗在他的著作中探讨了“英国的海岸线 有多长”这个问题。这依赖于测量时所使用的尺度。 如果用公里作测量单位，从几米到几十米的一些曲折会被忽略；改用米来做单位， 测得的总长度会增加，但是一些厘米量级以下的就不能反映出来。由于涨潮落潮使海 岸线的水陆分界线具有各种层次的不规则性。海岸线在大小两个方向都有自然的限制， 取不列颠岛外缘上几个突出的点，用直线把它们连起来，得到海岸线长度的一种下界。 使用比这更长的尺度是没有意义的。还有海沙石的最小尺度是原子和分子，使用更小 的尺度也是没有意义的。在这两个自然限度之间，存在着可以变化许多个数量级的 “无标度”区，长度不是海岸线的定量特征，就要用分维。 数学家柯赫(Koch)从一个正方形的“岛”出发，始终保持面积不变，把它的“海 岸线”变成无限曲线，其长度也不断增加，并趋向于无穷大。以后可以看到，分维才 是“Koch岛”海岸线的确切特征量，即海岸线的分维均介于1到2之间。 这些自然现象，特别是物理现象和分形有着密切的关系，银河系中的若断若续的 星体分布，就具有分维的吸引子。多孔介质中的流体运动和它产生的渗流模型，都是 分形的研究对象。这些促使数学家进一步的研究，从而产生了分形几何学。
听三角形的分类的心得体会范文（2篇）
听三角形的分类的心得体会范文三角形是几何学中最基本的形状之一，它在我们的日常生活中无处不在。
对于初学者来说，掌握三角形的分类是非常重要的，因为不同类型的三角形具有不同的性质和特点。
在我的学习过程中，我深入研究了各种三角形的分类，从而获得了更深入的理解和知识。
以下是我对三角形分类的心得体会。
首先，三角形可以根据边长的关系来进行分类。
根据边长的属性，三角形可以分为等边三角形、等腰三角形和普通三角形。
等边三角形是指三条边的长度都相等的三角形，它具有对称性和稳定性，是最简单的三角形之一。
等腰三角形是指两边的长度相等的三角形，它具有一条对称轴和一对等角，具有一些独特的性质和特点。
普通三角形是指三条边的长度都不相等的三角形，它具有无对称性和无等角，是最常见的三角形。
其次，三角形可以根据角度的关系来进行分类。
根据角度的属性，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
锐角三角形是指三个内角都小于90度的三角形，它具有尖锐的顶点和较长的边，常常出现在几何学的题目中。
直角三角形是指一个内角为90度的三角形，它具有一个直角和两个锐角，是我们最熟悉的三角形之一。
钝角三角形是指一个内角大于90度的三角形，它具有一条较长的边和两个较短的边，具有一些特殊的性质和特点。
此外，三角形还可以根据边与角的关系来进行分类。
根据边与角的属性，三角形可以分为边锐角三角形、边直角三角形和边钝角三角形。
边锐角三角形是指一个内角为锐角的三角形，它具有一个较长的边和两个较短的边。
边直角三角形是指一个内角为直角的三角形，它具有一个直角和两个较短的边。
边钝角三角形是指一个内角为钝角的三角形，它具有一个较长的边和两个较短的边。
最后，三角形还可以根据角的大小来进行分类。
根据角的大小，三角形可以分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。
锐角三角形是指三个内角都小于90度的三角形，它具有尖锐的顶点和较长的边。
直角三角形是指一个内角为90度的三角形，它具有一个直角和两个锐角。
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学习分形心得体会
经过三十六课时的学习，分形课结束了，似乎大家都感触颇深，这里想谈谈本人的一些学习心得和体会。
“分形”被认为是20世纪数学科学的最重要发现之一。
我们手中拿到的这本书是信息与计算科学专业系列丛书之一，具有该专业的特点。
信息与计算科学专业是以信息技术和计算机技术的数学基础为研究对象的理科类专业，其目标是培养学生具有良好的数学基础和数学思维能力，掌握信息与计算科学基础理论、方法与技能，受到科学研究的训练，能解决信息技术和科学与工程计算中的实际问题的高级专门人才。
基于以上认识，院系于是给我们信息与计算科学专业开了分形这门课。
这门课的任课老师是唐强教授，唐教授学识渊博、理论扎实、内容丰富多彩，特别能激发同学们学习的兴趣。
这本书的内容由浅入深，定理推导详略得当，语言通顺，内容新颖，很多都是近年来的新成果，书后并附有大量的彩插。
书中配以大量的例题和图片，以利于学生对内容有更好的理解；附录适当的C语言及BASIC程序，方便学生上机实践。
自从Euclid（欧几里得）在两千多年前创立几何学以来，在漫长的岁月里，自然科学研究人员与数学家们基本上都在Euclid空间进行研究和探索。
但Euclid 几何学不是万能的，大自然中的许多现象都不可能由Euclid几何来解释。
比如
树是三维空间的实物，但能由)
f
x
z 来描述吗？显然不能。
那么如何来描述
,
(y
大自然几何及其他许多Euclid几何所不能解决的问题呢？虽然历史上曾经出现像俄罗斯数学家Lobachevski（罗巴切夫斯基）创立的非欧几何，但其影响有限并且还不能解决我们当前所面临的许多问题。
分形的概念是美籍数学家曼德布罗特(B.B.Mandelbort)首先提出的。
1967年他在美国权威的《科学》杂志上发表了题为《英国的海岸线有多长?》的著名论文。
海岸线作为曲线,其特征是极不规则、极不光滑的,呈现极其蜿蜒复杂的变化。
我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质的不同,这种几乎同样程度的不规则性和复杂性,说明海岸线在形貌上是自相似的,也就是局部形态和整体形态的相似。
事实上,具有自相似性的形态广泛存在于自然界中,如:连绵的山川、飘浮的云朵、岩石的断裂口、布朗粒子运动的轨迹、树冠、花菜、大脑皮层……曼德布罗特把这些部分与整体以某种方式相似的形体称为分形(Fractal)。
后来，英国数学家法尔科内(Falconer)提出罗列分形集的性质，来给分形下定义。
如果集合F具有下面所有的或大部分的性质，它就是分形：（1）F具有精细的结构，即是说在任意小的尺度之下，它总有复杂的细节；
（2）F是如此的不规则，以至它的整体和局部都不能用传统的几何语言来描述；
（3）F通常具有某种自相似性，这种自相似性可以是近似的，也可能是统计意义上的；
（4）F在某种意义下的分形维数通常都大于它的拓扑维数；
（5）在多数令人感兴趣的情形下，F以非常简单的方法定义，或许以递归过程产生。
分形几何学是一门以非规则几何形态为研究对象的几何学。
由于不规则现象
在自然界是普遍存在的，因此分形几何又称为描述大自然的几何学。
分形几何建立以后，很快就引起了许多学科的关注，这是由于它不仅在理论上，而且在实用上都具有重要价值。
它的研究对象是不光滑的、不规则的，甚至支离破碎的空间几何形态。
比如分形的典型例子，Koch 曲线便是以初等数学方法构造的一个处处连续而点点不可微的函数曲线。
典型的“数学怪物”还有Sierpinski （希尔宾斯基）三角形，Cantor （康托尔）集等等。
第一章中的几个分形图形都是严格自相似的。
其中von Koch 曲线和Cantor 集都产生于一条称之为基线的单位长度线段。
然后遵循一个称之为主型（motif ）曲线所提供的生成法则，在主型的每条线段上按主型线段所示生成法逐步细化，最终生成一条分形曲线。
Levy 曲线，皇冠分形曲线，桧树分形小支还有其他由主型产生的分形曲线都是自相似的分形曲线。
第二章的后面几节作图法都与一种叫“逃逸时间法”的作图方法有关，而逃逸时间法是基于迭代法的一种画图法。
我们可理解为避域中的点轨道随时间变化是否逃出该区域。
1980年，Mandelbrot 给世人提供了一幅无与伦比的杰作：Mandelbrot 集。
现在我们看到的Mandelbrot 集，它具有多姿荆棘的圆盘，弯曲缠绕的螺线和细丝，挂着细微颗粒的鳞茎，无尽的斑斓色彩，意料外的精细结构，处处显示出分形奇特之美。
20世纪80年代后，Mandelbrot 集被人们当作分形学和混沌学的国际标志出现在许多国际性论文集和刊物的封面上，成了世界巡回展出的计算机艺术品。
课上，老师为我们展示了Mandelbrot 集的视频，它的层层嵌套中有无穷多的自相似部分，让人眼花缭乱。
实际上，Mandelbrot 集和同样震惊世界的Julia （茹利亚）集仅仅是映射),(2C c z c z z ∈+→的无穷次迭代。
这种由数学的内在美变成人们视觉上的美，简直是匪夷所思。
由于Mandelbrot 集和Julia 集都源于同一个变换，因此他们之间必定有非常复杂的关系。
由于每一个常数c 都对应一个c J ，而M —集上的每个点都是一个c ，
所以M —集合的所有点就对应着数以万计的c J 。
相近的c 值，对应的c J 也就较为相似。
紧接着老师为我们重点讲解了L —系统。
L —系统开始是作为描述植物的形态与生长的一种方法，继而发展成计算机图形学中一种模拟大自然景物的有效方法，当然也是一种重要的分形生成方法。
这里可分为：简单的向前生成单元格式，左右生成元的混合格式，分支结构的简单进退格式，分枝结构带空指令的进退格式还有随机L —系统。
第五章为我们介绍了几种重要的维数概念，什么是Hausdorff 维，什么是分形维，它们的关系以及它们们的测定。
这一章中我们还重点学习了重标极差分析，它是一种针对自然现象中长期记录的统计方法，有两个因素：一是R ，一是S 。
设时间区域（跨度）为T ，)(t ξ是离散整时间t 时的自然现象观察值。
记
∑==T t T t T 1
)(1ξξ
∑=-=t
u T u T t X 1])([),(ξ
ξ
),(min ),(max )(11T t X T t X T R T
t T t ≤≤≤≤-=
和 2112}])([1
{∑=-=T t T t T S ξ
ξ
则以实验为基础的关系式
H cT S R )(/=
是对自然界大数据量的一个很好的描述，通常称R/S 为重标极差。
式中H 为Hurst 指数，c 为常数。
有了以上认识后，我们迎来了学习分形以来的第一次上机实验：Hurst 指数计算，提供一个function(s),s;行向量。
虽然实验结果不是很理想，但是同学们亲自实践，将理论转化为操作，还是学到了不少东西。
最后几课时讲的是分形混沌动力系统，这就不得不提到著名的“蝴蝶效应”：一只蝴蝶在巴西轻轻扇动了一下翅膀，可以导致一个月后德克萨斯州的一场龙卷风。
这句话的来源，是由于美国气象学家Lorenz 制作了一个电脑程序，可以模拟气候的变化，并用图像来表示。
最后他发现，图像是混沌的，而且十分像一只蝴蝶张开的双翅，因而他形象的将这一图形以“蝴蝶扇动翅膀”的方式进行阐释，于是便有了上述的说法。
蝴蝶效应通常用于天气，股票市场等在一定时段难于预测的比较复杂的系统中。
此效应说明，事物发展的结果，对初始条件具有极为敏感的依赖性，初始条件的极小偏差，将会引起结果的极大差异。
在学习课程中，老师还花了几课时的时间跟我们讲解MATLAB 的基本知识
和操作，如数组的产生，矩阵的伸缩变换，一些常用的函数如：find 函数的作用与用法，size 函数，length 函数的用法，还有画图需要用到的plot 函数。
此外，还介绍了M 文件，命令文件，函数文件的知识，这些为我们熟练使用MATLAB 软件打下了基础。
还有我觉得比较欣赏老师的做法是，每次讲完课还有多余的时间，就为我们
展示一些科学家们鲜为人知的逸闻趣事，为枯燥的课堂平添了不少生动。
唐老师还特意从网上搜一些关于分形的课外资料有视频、歌曲给我们欣赏，可谓用心良苦，希望同学们不仅从课堂上学到了知识，更开阔了视野，培养兴趣，有机会的话还可以沿着科学之路坚定地走下去。
以前我老是觉得数学很枯燥乏味，就是一整堆的数字和公式，但是接触分形
以后，我就被它如此复杂而精细的结构震撼了！书本后面一幅幅绚丽多姿的彩插，仔细想一下，其背后永无止尽的细分再细分确实是难以简单的只用头脑去想象的。
这就需要我们编程然后依靠计算机来绘制图形。
所以呢，我们的数学之路并不会就此终结，相反还有很遥远的路途在等待着我们去前行、挖掘。
分形课结束了，似乎对它还有点恋恋不舍，希望以后有机会还可以再学习！。