冷弯薄壁檩条设计原理和计算实例
冷弯薄壁檩条设计原理和计算实例
第一节 有效宽度法的基本概念
冷弯薄壁型钢构件板件宽而薄，在压应力作用下，截面板件容易产生凸曲变形，发生局部失稳。但是板件在局部失稳后并不立即丧失承载能力，而仍能承担一定的荷载增量直至构件整体失效，这个过程称为屈曲后强度的利用。可以采用有效宽度法或有效截面法概念利用板件或截面的屈曲后强度。
冷弯薄壁型钢由于自由扭转刚度小，而且大多数截面剪心和形心不重合，因此构件中存在弯曲和扭转的共同作用。弯扭屈曲是其常见的破坏形式，必须在设计中加以防止。除了采用更好的截面形式(双轴对称，闭合构件)外，常见的构造措施有增加支座和跨中处的侧向支承，比如端加劲肋、凛托、撑杆等。
一、有效宽度的概念
设计冷弯薄壁型钢构件允许考虑构件的屈曲后强度。不同边缘支承的板件屈曲应力和屈曲后的性能不同，截面内板件一般分类如下(图1):
1、加劲板件
加劲板件也称两边支承板件，如C形、Z形构件的腹板。
2、未加劲板件
未加劲板件是一边支承、一边自由的板件，如无卷边的C形构件的翼缘。
3、部分加劲板件
部分加劲板件包括边缘加劲板件和中间加劲板件。边缘加劲板件是指一边支承、一边带卷边的板件，如卷边C形、Z形构件的翼缘部分;中间加劲板件是指两边支承且带中间加劲肋的板件，如许多压型钢板。
图1 截面板件的分类
图2 各种类型板件的有效宽度分布
有效宽度得到后还需要定义有效宽度的分布。对于均匀受压板件，有效宽度对称分布在加劲板件的两侧，分布在非加劲板件中加劲边的一侧，根据卷边加劲刚度按比例分布在边缘加劲板件两侧;对于非均匀受压板件，受拉区全截面有效，受压区根据应力分布按比例分布在板件受压区两边。图2给出了有效宽度的分布示意。
二、有效宽度计算
现行规范对各类板件的有效宽度定义了一套统一的公式，如所示：
αρ18≤t b 时，t
b t b
c e = (1-1) αραρ3818< ????????=1.08.21αρ (1-2) αρ38≥t b 时，t b t b t b c e ?=αρ25 (1-3) 式中；b 代表板件宽度；t 为板件厚度；为板件有效宽度；e b α为计算系数，按下式取值: Ψ?=15.015.1α，且15.1≤α (1-4) 这里，Ψ[psi:]表示压应力分布不均匀系数，max min σσ=Ψ，max σ和min σ分别为受压板件边缘最大压应力和另一边缘的应力，以受压为正，受拉为负。 1、的取用 c b 在式(1-1)～(1-3)中，为板件受压区宽度，按下式取用: c b 0≥Ψ 时，b b c = 0<Ψ时， )1/(Ψ?=b b c (1-5) 2、1σ的取用 式(1-1)～(1-3)中的ρ为计算系数 11205σρk k = (1-6) 式中1σ叫为板件最大设计应力，可根据下述情况取用： (1)轴心受压构件，根据等稳原则，f Φ=1σ，Φ[fai]为根据构件毛截面的最大长细比求得的稳定系数； (2)压弯构件，根据等强原则，f =1σ (3)拉弯构件和受弯构件，由内力M 、N 按毛截面计算最大压应力1σ (4)板件的受拉部分全部有效。 3、的取用 k 式(1-6)中为单板受压屈曲系数，可按以下情况取用： k ⑴加劲板件： 01>Ψ≥时， (1-7) 235.415.88.7Ψ+Ψ?=k 10?≥Ψ≥时， (1-8) 278.929.68.7Ψ+Ψ?=k (2) ⑵部分加劲板件： ①最大压应力在支承边[图3(a)]： 1?≥Ψ时， (1-9) 268.659.1189.5Ψ+Ψ?=k ②最大压应力在部分加劲边[图3(b)]： 1?≥Ψ时， (1-10) 2045.022.015.1Ψ+Ψ?=k (3)非加劲板件: ①最大压应力在支承边[图3(c)]： 01>Ψ≥时， (1-11) 275.1025.370.1Ψ+Ψ?=k 4.00?>Ψ≥时， (1-12) 25575.170.1Ψ+Ψ?=k 14.0?≥Ψ≥?时， (1-13) 233.851.907.6Ψ+Ψ?=k ②最大压应力在自由边[图4-5(d)]： 1?≥Ψ时， (1-14) 2071.0213.0567.0Ψ+Ψ?=k 1?<Ψ时，式（1-7）至式（1-13）的值均按k 1?=Ψ取用。 图3 部分加劲板件和非加劲板件的应力分布示意 4、的取用 1k 式(1-6)中为受压板件的板组约束系数。对于图4中的卷边槽钢截面，板件和若考虑板组相关约束影响，其条件是相邻两板件临界应力必须相等，即 1k 1b 2b 2212122 221121????????=?????????=?????????=b b k k b t k b t k cr cr σσ。 图4 板组相互作用 令111b k k η=，222b k k η=，其中，1η、2η分别为板、的约束系数 ，、分别 为板、单板的屈曲系数。于是，1b 2b 1b k 2b k 1b 2b 2 2112212212211)/(??? ?????=?=b b k k b b k k b b b b ηηηη。令212ηηξ=，则????????=2112b b k k b b ξ。 根据以上说明，现行规范规定： 1.1≤ξ时，ξ1 1=k (1-15) 1.1>ξ时，21)05.0(93.011.0?+ =ξk (1-16) c k k b c =ξ (1-17) 式中:c为计算板件相邻的板件宽度；k 、分别为计算板件及相邻板件为单板时的屈曲系数，对加劲板，对部分加劲板件c k 7.11≤k 4.21≤k ，对非加劲板31≤k 。 有了构件的有效宽度，还必须知道有效宽度的分布，图2中的有效宽度分布按以下公式计算： 对加劲板件： 0≥Ψ时，Ψ ?=521e e b b ，12e e e b b b ?= (1-18) 0<Ψ时，e e b b 4.01=，e e b b 6.02= (1-19) 对非加劲板件： e e b b 4.01=，e e b b 6.02= (1-20) 三、薄壁型钢檩条截面特性计算 ⑴ 卷边槽形冷弯型钢（厚度为t ） 全截面特性：可根据槽钢型号查表获得，图5表示槽钢的截面符号。 图5 卷边槽钢全截面 图6 卷边槽钢有效截面 有效截面特性： 在图6中，假设下翼缘受拉，令12111e e b b b b ??=，22212e e b b h b ??=，则 t b b A A en )(21+?= ??? ?????????????+++?=222123221312212141121b b h t b tb th b t b I I e x enx ??? ????????????++++?=20111131201322121121z b b t b tb tz b t b I I e y eny 2 /h I W enx enx = 0max z I W eny eny = 0 min z b I W eny eny ?= （1-21） ⑵ 卷边Z 形冷弯型钢（厚度为t ） 全截面特性：可根据槽钢型号查表获得，图7表示卷边Z 形钢的截面符号。 图7 卷边Z 形钢全截面 图8 卷边Z 形钢有效截面 有效截面特性： 令，11121e e b b b L ??=21222e e b b h L ??=，则 21121L b b D e x ??=，2 22211L b h D e y ??= t L t L A A en 21??= 212322131112 12121x x ex tD L tL t h t L bt I I ???????????= 32211311112 1121t L tD L tL I I y y ey ???= θθ2sin 2cos 2 2111111y ex ey ex ey ex ex I I I I I I ??++= θθ2sin 2cos 2 2111111y ex ex ey ey ex ey I I I I I I +?++= 11h I W x ex =； 22h I W x ex =； 11b I W y ey =； 2 2b I W y ey = （1-22） 四、强度设计: 檩条的强度计算应考虑檩条的有效截面，并按双向受弯的公式计算，如下所示： f W M W M ey y ex x ≤+ （1-23） 式中：、分别为对截面主轴 x 和y 的弯矩；、分别为对截面主轴x 和y 的有效截面模量。 x M y M ex W ey W 五、稳定设计： 对于屋面有很好的支撑、能够防止檩条的失隐和扭转的情况，可只按式(1-23)计算檩条的强度，否则还应按式（1-24）验算檩条的稳定性，稳定验算公式中也采用檩条的有效截面特性。 f W M W M ey y ex bx x ≤+? （1-24） 式中：bx ?为梁的整体稳定系数。 第二节 C形檩条设计计算实例 一、基本情况 屋面实腹式檩条，坡度0.1，选用冷弯C形卷边型钢160×60×20×2.5，跨度L =6m， 檩距为1.5m，中间设一道拉条，檩条及拉条钢材均为Q235,檩条截面如图9所示。 图9 檩条截面示意图 二、荷载及其效应组合 檩条上所承受的荷载：恒载0.3kN/m，活荷载0.75kN/m，风载-1.154kN/m。考虑检修荷载1kN/m。 荷载效应组合：1.2恒荷载+1.4活荷载；1.2恒荷载+1.4检修荷载。 三、内力计算 如图10所示，由y 平面内荷载引起的绕x 轴的弯矩，按单跨简支梁计算；由x 平面内荷载引起的绕y 轴的弯矩，考虑拉条作为侧向支撑点，按多跨连续梁计算。 y q x q 本例中，L =6m，L 1=3m，A =748mm 2，I x =2881300mm 4，I y =359600mm 4 。°=71.5α m kN q /41.175.04.13.02.1=×+×= m kN q q x /14.0)71.5sin(41.1sin =°×=×=α m okN q q y /4.1)71.5cos(41.1cos =°×=×=α 计算表明: 1.2恒荷载+1.4活荷载的荷载效应组合引起的内力起控制作用，弯矩如图10所示。 图10 檩条弯矩示意图 起控制作用的内力,檩条跨中截面的内力为: m kN L q M y x .3.664.18 18122=××== m kN L q M x y /158.0614.032 132122=××== 四、截面验算 1、有效面积 (1)计算截面应力分布：按照毛截面尺寸确定截面上的应力分布，经计算得到截面上的应力分布如图11所示。 2 661/68.15623.1892.174359600 5.4110158.022881300160103.6)5.1860(2160mm N I M I M y y x x =?=××?×××=?×?××=σ 2662/05.18313.892.174359600 5.1810158.022881300160103.65.182160mm N I M I M y y x x =+=××+×××=×+××=σ 2 663/79.16613.892.174359600 5.1810158.022881300160103.65.182160mm N I M I M y y x x ?=+?=××+×××? =×+××?=σ 2 664/15.19323.1892.1743596005.4110158.022881300160103.6)5.1860(2160mm N I M I M y y x x =??=××?×××?=?×?××?=σ 12 3 4 图11 檩条有效面积分布示意图 (2)确定各个板件上受压部分的有效宽度： 对于腹板，（压），（拉）； 2max /183mm N =σ2min /167mm N ?=σ对于上翼缘，（压），（压）； 2max /183mm N =σ2min /156mm N =σ腹板压应力分布不均匀系数0911.0183167max min Ψσσ， 上翼缘压应力分布不均852.0183 156max min ===Ψσσ。 腹板计算系数15.1=α， 上翼缘计算系数022.1852.015.015.115.015.1=×?=Ψ?=α。 腹板受压区宽度84911 .011601=+=Ψ?= b b c ， 上翼缘受压区宽度。 60=c b 腹板属于加劲板件，，腹板的稳定系数 0<Ψ66.2178.929.68.72=Ψ+Ψ?=k ； 上翼缘属于局部加劲板件，最大压应力在支承边，稳定系数为 864.0852.068.6852.059.1189.568.659.1189.522=×+×?=Ψ+Ψ?=k 考虑板组约束的影响，腹板的相邻板件为受压的上翼缘，腹板宽 b =160mm，上翼缘宽 c =60mm，则 1.1878.1864 .066.2116060>===c k k b c ξ 则板组约束系数为：388.0)05.0(93.011.021=?+ =ξk ，小于上限值1.7。 腹板计算系数ρ：9.2205 66.21388.020520511=××==σρk k 。其中考虑檩条为压弯构件，1σ取钢材强度设计值。 2/205mm N f =最后根据,64/=t b αραρ38/18< 45.321.0/8.21=??? ??????=t b t b t b c e αρ 上式说明:腹板上受压部分的有效宽度为mm b e 815.245.32≈×=。 同理可以计算得到上翼缘受压部分的有效宽度为mm b e 54=，下翼缘因为受拉，故全部有效。 (3)确定有效面积的分布并计算有效截面特性： 确定有效面积的分布情况，如图11所示。参考公式（1-21），由分布图可得到截面的有效面积和截面模量为： A =727mm 2，，，。 334717mm W ex =3max 19292mm W ey =3min 8600mm W ey =2、强度验算 强度验算按以下公式进行： 2/20583.19937.1846.181mm N f W M W M eny y enx x =<=+=+=σ 计算表明所选截面符合规程规定的强度要求。 第三节 Z形檩条设计计算实例 实例:屋面采用简支檩条，截面为实腹式冷弯直卷边Z形160×60×20×2.5。跨度L =6m，檩距为1.5m，中间设一道拉条。檩条及拉条钢材均为Q235。分别采用两种屋面坡度，第一种坡度为0.1，第二种坡度为0.3。檩条上所承受的荷载为恒载0.3kN/m，活载0.75kN/m。考虑一种荷载组合为1.2恒荷载+1.4活荷载。 1、内力计算 檩条对由y 平面内荷载引起的绕x 轴的弯矩，按单跨简支梁计算；由x 平面内荷载引起的绕y 轴的弯矩，考虑拉条作为侧向支撑点，按多跨连续梁计算。 y q x q 经计算可知，由荷载组合引起的内力弯矩如图10所示。图中L =6m， L 1=3m， m kN q /41.175.04.13.02.1=×+×= A =748mm 2，I x =2881300mm 4，I y =359600mm 4。°=71.5α 2、截面特性 冷弯直卷边Z形钢檩条160×60×20×2.5的截面特性如下 2748mm A =，，，43231300mm I x =4231400mm I y =°=20θ。 3max 44000mm W x =，，， 3min 34950mm W x =3max 9000mm W y =3min 8710mm W y =3136010mm W x =，。 319900mm W y =3、按不同坡度计算 (1)情况1：屋面坡度为0.1时，即°=71.5α,°=?=29.140αθα。 ①荷载：截面主轴 x 、y 方向的线荷载分量按下列公式计算： m kN q q x /35.0)29.14sin(41.1sin 0=°×=×=α m kN q q y /37.1)29.14cos(41.1cos =°×=×=α ②楔条跨中截面的内力： m kN L q M y x .165.6637.18 18122=××== m kN L q M x y /394.0635.032 132122=××== ③考虑屋面能阻止檩条失稳和扭转，按照公式(1-23) 进行强度度验算: f W M W M ey y ex x ≤+ 确定有效截面:按照毛截面尺寸确定截面上的应力，经计算得到截面上的应力分布如图12所示。 图12 檩条有效面积分布示意图（屋面坡度为0.1） 从图12中可以看出，在用毛截面惯矩计算的情况下，截面上的最大应力已经超过了钢材的设计强度，可知在屋面坡度为0.1的情况下，使用截面为冷弯直卷边Z 形钢160×60×20×2.5的檩条不能满足强度要求。 2/205mm N f =(2)情况2：屋面坡度为0.3时，即°=7.16α,°=?=3.30αθα。 荷载：截面主轴 x 、y 方向的线荷载分量按下列公式计算: m kN q q x /081.0)3.3sin(41.1sin 0=°×=×=α m kN q q y /408.1)3.3cos(41.1cos =°×=×=α 檩条跨中截面的内力: m kN L q M y x .336.66408.18 18122=××== m kN L q M x y /091.06081.032 132122=××== 考虑屋面能阻止檩条失稳和扭转，按照公式(1-23) 进行强度度验算: f W M W M ey y ex x ≤+ 强度验算，先按照毛截面尺寸确定截面上的应力分布，按公式(1-23)计算得到截面上 的应力分布如图13所示。再确定各个板件上受压部分的有效宽度。然后计算有效截面特性。 图13 檩条有效面积分布示意图（屋面坡度0.3） ①确定腹板的有效宽度： a.按公式(1-4)考虑计算系数α 腹板：（压），（拉），腹板压应力分布不均匀系数2max /139mm N =σ2min /139mm N ?=σ00.1139 139max min 139max min ===Ψσσ。 所以，腹板计算系数15.1=α。 b.按式(1-5)考虑受压区宽度。腹板受压区宽度801 11601=+=Ψ?=b b c c.按式(1-7)～(1-14)考虑受压板件稳定系数。腹板属于加劲板件，腹板的稳定系数 87.2378.929.68.778.929.68.72=++=Ψ+Ψ?=k 上翼缘为腹板相邻板件，最大压应力作用于部分加劲边，单板稳定系数为 02.172.0045.072.002.015.1045.022.015.122=×+×?=Ψ+Ψ?=k 。 d.按式(1-15)～(1-17)考虑板组约束的影响。腹板的相邻板件为受压的上翼缘，腹板宽 b =160mm，上翼缘宽 c =60mm，则 1.1814.102 .187.2316060>===c k k b c ξ 则板组约束系数为：409.0)05.0814.1(93.011.0)05.0(93.011.02 21=?+=?+=ξk ，小于上限值1.7。 e.按式(1-6)考虑腹板计算系数ρ：77.3139 87.23409.020520511=××==σρk k 檩条按受弯构件分析，根据公式(1-6)的第3条，最大压应力取毛截面计算的最大应力，按图13，上翼缘为，腹板为。 2/193mm N 2/139mm N f.按式(1-1)确定有效宽度: 04.7877.315.11818645 .2160=××=≤==αρt b 325 .280===t b t b c e ,即腹板上受压部分的有效宽度。 g·确定有效宽度的分布，如图13所示。 ②确定上翼缘受压部分的有效宽度: a.按公式(1-4)考虑计算系数α。 上翼缘：（压），（压）；上翼缘压应力分布不均2max /193mm N =σ2min /139mm N =σ720.0193 139max min ===Ψσσ。 所以，腹板计算系数 042.172.015.015.115.015.1=×?=Ψ?=α， b.按式(1-5)考虑受压区宽度。上翼缘受压区宽度mm b b c 60==。 c.按式(1-7) ～ (1-14)考虑受压板件稳定系数。 上翼缘属于部分加劲板件，最大压应力作用在部分加劲边，稳定系数为 02.172.0045.072.002.015.1045.022.015.122=×+×?=Ψ+Ψ?=k 。 腹板作为上翼缘相邻板件，属于加劲板件，且1?=Ψ，单板稳定系数为 87.2378.929.68.778.929.68.72=++=Ψ+Ψ?=k d.按式(115) ～(1-17)考虑板组约束的影响。上翼缘的相邻板件为腹板，腹板宽c =160mm，上翼缘宽 b =60mm，则 1.155.087 .2302.160160<=== c k k b c ξ 则板组约束系数为：35.155 .0111===ξ k ，小于上限值1.7。 e.按式(1-6)考虑腹板计算系数ρ： 21.1193 02.135.120520511=××==σρk k 檩条按受弯构件分析，根据公式(1-6)的第3条，最大压应力取毛截面计算的最大强度，按图13，上翼缘为，腹板为。 2/193mm N 2/139mm N f.按式(1-1)确定有效宽度: 69.2221.1042.11818245 .26091.4721.1042.13838=××=>==>=××=αραρt b 28.235.2601.05.26021.1042.18.211.08.21=×?????????????××=??????????? ??=t b t b t b c e αρ 即腹板上翼缘的有效宽度mm b e 2.585.228.23=×=。 g.确定有效宽度的分布，见图13。下翼缘因为受拉，故全部有效。 确定了各板件上受压部分的有效宽度后，确定有效面积的分布并计算有效截面特性。 按图13所示Z形截面的分布情况，按公式(1-22)计算有效的截面特性为: A =727mm 2，，， 。 3max 43962mm W ex =3min 34541mm W ex =3max 7979mm W ey =3min 7509mm W ey =按公式(1-23)进行强度的验算: 22 2/20542.19612.123.184mm N f W M W M ey y ex x =<=+=+=σ 截面强度满足要求。 从上例中可以看出，在同样的屋面均布荷载作用下，同样的檩条截面尺寸，当荷载作用方向靠近Z形截面的强主轴方向时，使用Z形截面作为屋面檩条较为合理和经济。