现代测试技术习题解答 第二章 信号的描述与分析 - 副本.

第二章 信号的描述与分析

补充题2-1-1 求正弦信号0()sin()x t x ωt φ=+的均值x μ、均方值2

x ψ和概率密度函数

p (x )。 解答： (1)0

00

11lim ()d sin()d 0T

T x T μx t t x ωt φt T

T →∞==

+=⎰

⎰

，式中02π

T ω

=

—正弦信号周期

(2)

2

222

2

2

0000

1

1

1cos 2()

lim

()d sin ()d d 22

T

T T x

T x x ωt φψx t t x ωt φt t T

T T →∞-+==

+=

=

⎰

⎰

⎰

(3)在一个周期内

012ΔΔ2Δx T t t t =+=

000

2Δ[()Δ]lim

x x T T T t

P x x t x x T T T →∞<≤+===

Δ0Δ000

[()Δ]2Δ2d ()lim

lim ΔΔd x x P x x t x x t t p x x T x T x →→<≤+====

正弦信号

x

2-8 求余弦信号0()sin x t x ωt 的绝对均值x μ和均方根值rms x 。

2-1 求图示2.36所示锯齿波信号的傅里叶级数展开。

2-4周期性三角波信号如图2.37所示，求信号的直流分量、基波有效值、信号有效值及信号的平均功率。

2-1 求图示2.36所示锯齿波信号的傅里叶级数展开。

补充题2-1-2 求周期方波（见图1-4）的傅里叶级数（复指数函数形式），划出|c n|–ω和φn–ω

图，并与表1-1对比。

解答：在一个周期的表达式为

00 (0)2() (0)

2

T A t x t T A t ⎧

--≤<⎪⎪=⎨⎪≤<⎪⎩

积分区间取（-T/2，T/2）

0000000

220

2

00

2

111()d =

d +

d =(cos -1) (=0, 1, 2, 3, )

T T jn t

jn t

jn t T T n c x t e

t Ae

t Ae t

T T T A

j

n n n ωωωππ

-----=

-±±±⎰

⎰

⎰

所以复指数函数形式的傅里叶级数为

001

()(1cos )jn t

jn t n n n A

x t c e

j

n e n

∞

∞

=-∞

=-∞=

=--∑∑ωωππ，=0, 1, 2, 3, n ±±±。

(1cos ) (=0, 1, 2, 3, )0

nI

nR A c n n n c ⎧

=--⎪±±±⎨

⎪=⎩ππ

21,3,,(1cos )00,2,4,6,

n A

n A c n n n n ⎧=±±±⎪

==-=⎨⎪=±±±

⎩

πππ

1,3,5,2arctan

1,3,5,200,2,4,6,nI n nR

π

n c πφn c n ⎧-=+++⎪⎪⎪===---⎨⎪

=±±±⎪⎪

⎩

没有偶次谐波。其频谱图如下图所示。

图1-4 周期方波信号波形图

2-5 求指数函数()(0,0)at x t Ae a t -=>≥的频谱。 解：

(2)220

2

2

(2)

()()(2)

2(2)

a j f t

j f t

at j f t

e A A a j

f X f x t e

dt Ae e

dt A

a j f a j f a f -+∞

∞

---∞-∞

-====

=-+++⎰⎰πππππππ

()X f =

Im ()2()arctan

arctan

Re ()X f f f X f a

==-πϕ

2-6 求被截断的余弦函数0cos ωt (见图1-26)的傅里叶变换。

0cos ()0

ωt t T x t t T

⎧<⎪=⎨

≥⎪⎩

解：0()()cos(2)x t w t f t =π w (t )为矩形脉冲信号

()2sinc(2)

W f T Tf =π

()

002201cos(2)2

j f t

j f t f t e e πππ-=

+ 所以002211()()()22

j f t j f t x t w t e w t e -=+ππ

单边指数衰减信号频

A /

π/-π/2

幅频图

相频图

周期方波复指数函数形式频谱图

图1-26 被截断的余弦

t ) 0 1

-