毛细管粘度计的工作原理

毛

设不可压缩的粘性流体在水平管中作稳态层流流动，并设所考察的部位远离管道进、出口，且流动为沿轴向(z 方向)的一维流动，如下图所示:

物理模型：

1. 稳态、层流、不可压缩牛顿型流体

2. 沿ｚ方向的一维流动，0==θu u r ，0≠z u

3. 远离进出口

柱坐标下的连续性方程：

0)()(1)(1'=∂∂

+∂∂+∂∂+∂∂z r u z

u r ru r r ρρθρθρθ （1） 式中，z r u u u z r 和、为方位角；为轴向坐标；为径向坐标；为时间；θθθ.' 分别是流速在柱坐标（r,θ,z ）方向上的分量。可简化为：

0=∂∂z

u z

（２） 柱坐标的奈维-斯托克斯方程： r 分量

()⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∂∂+∂∂-∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂-=∂∂+-∂∂+∂∂+∂∂22222

222111'z u u r u r ru r r r v r p z

u

u r u u r u r u u u r r

r d r z r r r r θθρθθθθθ（３）

θ分量

()⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∂∂+∂∂+∂∂+⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂∂∂+∂∂-=∂∂++∂∂+∂∂+∂∂22222

22111'z u u r u r ru r r r v r p r z

u

u r u u u r u r u u u r d z r r θθ

θθθθθθθθθρθθ（４）

z 分量

⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂-=∂∂+∂+∂∂+∂∂+∂∂2222111'z u u r r u r r r v z p z

u

u r u u u r u r u u u z z z d z z z z z r z θρθθθθ （５）

现在先考察z 方向的奈维-斯托克斯方程。对于一维稳态流动，式（5）中的

0,0'

==∂∂r z

u u θ，;0=θu 由于流动对于管轴对称，0=∂∂θ

z

u ，02

2=∂∂θz

u 。将以上条件及（2）得到

)](1[r

u r r r z p z

d ∂∂∂∂=∂∂μ （6） 同理，对θ、r 方向的奈维-斯托克斯方程化简，可得

0=∂∂θ

d

p （7） 0=∂∂r

p d

（8） 从式（6）、（7）、（8）可以看出，该式左侧的d p 仅是z 的函数；而右侧z u 仅是r 的函数。因此，式（6）可写成常微分方程，即

dz dp dr du r dr d r d

z μ1)(1= （9）

上式为右侧仅为z 的函数，左侧仅为r 的函数，而r 、z 又为独立变量，故两边应等于同一

常数才成立，即

常数

==dz

dp dr du r dr d r d z μ1)(1 （10） 边界条件：

BC1：i r r =时，0=z u BC2：0=r 时，0=dr

du z

对（10）式积分得

12

21C r dz

dp dr du r

d z +=μ （C 1 为常数）

（11） 由边界条件BC1得，01=C

r dz

dp dr du d

z μ21= 对此式积分得

22

41C r dz dp u d z +=

μ （C 2 为常数）

（12） 由边界条件BC2得，2

241i d r dz

dp C μ-=

把上式代入（12）得，

)(412

2i d z r r dz

dp u -=

μ （13）

2

max 41i d r dz

dp u μ-

= （14）

2

max )](1[(i

z r r u u -= （15） 再求平均流速b u 。 体积流率微元

rdr u dV z s π2= ⎰

⨯=i

r z s rdr u V 0

2π

把（15）式代入此式得， max 2

2

u r V i s π

=

2

2max

2max

2

u r u r A V u i

i s

b =

==

ππ

（16） 再求单位长度的压降

L

p f ∆

b i d u r dz

dp 2412

=-

μ

2

8i

b f r u L

p μ=

∆ （17）

L

u p r b f i 82

∆=

μ （18）

对于一支毛细管粘度计其流体流过的长度是确定的，直径是确定的，再测定其流过的压

降和体积流率，即可由式（18）求得粘度。值得注意的是流体在毛细管的流动应是层流。