职高高一数学—幂函数

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• 易错辨析 幂函数的性质理解不透致误 • 【示例】 已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图 象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上函数值随x 的增大而减小，求满足
的a的取值范围．
[错解]∵函数在 (0，＋∞)上递减， ∴3m－9<0，解得m<3，又m∈N*，∴m＝1,2. 又函数图象关于y轴对称， ∴3m－9为偶数，故m＝1， 此时，原不等式为 1 1 (a＋1)－ <(3－2a)－ . 3 3 1 又y＝x－ 是减函数， 3 2 ∴a＋1>3－2a，∴a> . 3
函数的图象都不过第四象限，因为对y＝xα而言，当x>0时， 必有y>0. 探究点3 y＝1和y＝x0(x≠0)一样吗？它们都是幂函数吗？
• 提示 不一样，y＝1不是幂函数，y＝x0(x≠0)是幂函数．
• 类型一 幂函数概念的理解及应用
• 【例1】 函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且 当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
• 【课标要求】 • 1．了解幂函数的概念． • 2．结合函数y＝x, y＝x2，y=x3,y＝ , y＝x－1的图象，了解它们的变化情况． • 【核心扫描】 • 1．幂函数的概念和性质．(重点) • 2．五种幂函数的图象的特点．(难点) • 3．幂函数与指数函数的区别．(易混点)
• 新知导学 • 1．幂函数的概念 α y ＝ x • 函数 叫做幂函数，其中x是自 变量，α是常数．
为增函数，不合题意．
•
答案
2
5．已知幂函数f(x)＝xm2－4m的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上递减，求整数m 的值．
解: 由题意，得m2－4m<0， ∴0<m<4. 当m＝1或3时,f(x)＝x－3图象不关于y轴对称； 当 m ＝ 2 时， f(x) ＝ x － 4 的图象关于 y 轴对称， 且在(0，＋∞)上递减． 故整数m＝2.
2 3 0.5 (1)3 与50.5；(2)－3.143与－π3；
2 3 解 (1)∵y＝x 在[0，＋∞)上是增函数且 > ， 3 5
0.5
2 3 0.5 ∴3 >50.5.
(2)∵y＝x3是R上的增函数，且3.14<π， ∴3.143<π3，∴－3.143>－π3.
• 课堂达标 1．下列函数是幂函数的是( )． A．y＝5x B．y＝x5 C．y＝5x D．y＝(x＋1)3 解析: 函数y＝5x是指数函数，不是幂函数；函 数 y ＝ 5x 是正比例函数，不是幂函数；函数 y ＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数； 函数y＝x5是幂函数． • 答案 B
[防范措施]
1.在解题时要认真分析题目条件，选准解题的入
手点，最后要注意根据题目的要求用准确的数学语言回答． 2．本题综合性较强，解题的关键是准确把握幂函数的图象， 抓住了幂函数的图象就抓住了性质，也就有效地解决了应用 中的困难．事实上y＝ 是奇函数，一定注意a＋1与3－2a
是否在同一单调区间，必须进行分类处理．
的图象在y＝x3的图象
[规律方法] • 1. 幂函数 y ＝ xα 的图象恒过定点 (1,1) ， 且不过第四象限． • 2.解决幂函数图象，需把握两个原则： (1)幂指数α的正负决定函数图象在第一 象限的升降； (2) 依据图象确定幂指数 α 与 0,1 的大小 关系，在第一象限内，直线x ＝ 1 的右侧， 图象由上到下，相应的指数由大变小．
2 ，2)，
∴α＝2，∴f(x)＝x2，∴f(9)＝81. 答案 81
4．幂函数y＝(m2－m－1)x－m在x∈(0，＋∞)上为减 函数，则m的值为________． 解析 由m2－m－1＝1，得m＝2或m＝－1. 又当m＝2时，y＝x－2在x∈(0，＋∞)上 为减函数，合题意； 当m＝－1时，y＝x在x∈(0，＋∞)上
3 2
的图象，C4为y＝x
－1
类型三
比较幂的大小
【例 3】 比较下列各组数中两个数的大小：
2 － 3 － 1 (2)－3 与－5 1；
(3) [思路探索]
(4)0.20.6 与 0.30.4. 利用幂函数或指数函数的单调性进行大小比较，
并注意中间媒介值的应用．
解
[错因分析]
1 没有全面准确地把握y＝x－ (x≠0)的定义域及 3
单调性，缺失对底数(a＋1)及(3－2a)的讨论． [正解] 由上述错解，知m＝1，
又y＝
在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，
∴a＋1>3－2a>0或0>a＋1>3－2a或a＋1<0<3－2a. 2 3 解之得 <a< 或a<－1. 3 2
• [规律方法] • (1)本题在求解中常因不理解幂函数的概念 而找不出“m2－m－1＝1”这一等量关系， 导致解题受阻． • (2)幂函数y＝xα(α∈R)中，α为常数，系数 为1，底数为单一的x.这是判断一个函数是 否为幂函数的重要依据和唯一标准．幂函 数与指数函数的解析式形同而实异，解题 时一定要分清，以防出错．
• 2．幂函数的图象与性质
幂函数 y ＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1
图象
定义域 值域
R R
R [0，＋∞)
R R
[0，＋∞) [0，＋∞)
(－∞，0)∪(0，＋∞)
{y|y∈R且y≠0}
奇偶性
单调性 定点
奇
增
偶 x∈[0，＋∞)增 x∈(－∞，0]减
奇
增
非奇非偶
增
奇 x∈(0，＋∞)减 x∈(－∞，0)减
(1)∵y＝
1 1 是[0，＋∞)上的增函数，且 > ， 3 4
2 3 (2)∵y＝x 是(－∞，0)上的减函数，且－ <－ ， 3 5
－1
2－ 3－ ∴－3 1>－5 1.
1 1 ，6.25 ＝2.5 . 4 2
(4)由幂函数的单调性，知 0.20.6<0.30.6，又 y＝0.3x 是减函数， ∴0.3 >0.3 ，从而 0.2 <0.3 .
【活学活用2】 已知幂函数y＝xn在第一象 1 限的图象如图，且n取－1， ，2,3四个值， 2 则相应的曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为 ________． 解析 根据五种幂函数在同一坐标系中的位置可知，C1为y＝ x 的图象，C2为y＝x 的图象，C3为y＝ 的图象． 1 答案 3,2， ，－1 2
0.4 0.6 0.6 0.4
• [规律方法] • 1.比较幂值的大小，关键在于构造适当的函数： (1)若指数相同而底数不同，则构造幂函数 (2) 若指数不同而底数相同，则构造指数函数． • 2.若指数与底数都不同，需考虑是否能把指数 或底数化为相同，是否可以引入中间量．
【活学活用3】 比较下列各组数的大小：
1 2．设a∈{－1,1， ，3}，则使函数y＝xa的定义域为R且为奇 2 函数的所有a值为 ( A．1,3 C．－1,3
a
)．
B．－1,1 D．－1,1,3
1 解析 由y＝x 的定义域为R可知a≠－1， ，且a＝1,3时， 2 y＝x及y＝x3均为奇函数． 答案 A
3．(2013· 嘉兴高一检测)已知幂函数f(x)的图象过点( 则f(9)＝________. 解析 设f(x)＝xα，由题意知( 2)α＝2，
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新知探究 题型探究
感悟提升
新知探究
题型探究
感悟提升
• 【活学活用1】 • 若幂函数f(x)＝(m2－2m－2)xm2＋m－1的图象 与坐标轴没有交点，试求实数m的值． • 解: 由 f(x) ＝ (m2 － 2m － 2)xm2 ＋ m － 1 是幂函数， 则m2－2m－2＝1，解得m＝－1或m＝3. (1) 当 m ＝ 3 时， f(x) ＝ x11 过原点 (0,0) ，与坐 标轴相交，不合题意； (2)当m＝－1时，f(x)＝x－1的图象与坐标轴 无公共点．因此，实数m的值为－1.
类型二
幂函数的图象及应用 ：
【例 2】 已知函数 y＝x3 与 y＝ (1)画出它们的图象； (2)根据图象，说出 x 取何值时，x3<
[思路探索]
.
的图象如图：
先画出两函数在同一坐标系中的图象，再观察函数值的变化情况，得出结论．
解
(1)在同一坐标系中，画出y＝x3，y＝
(2)根据上图可知：当x∈(0,1)时，y＝ 上方，故x∈(0,1)时， >x3.
1 ． 幂 函数y ＝ xα 的底数是自变量，指数是常数，而 指数函数正好相反，底数是常数，指数是自变量． 2．幂函数在第一象限内指数变化规律 在第一象限内直线 x ＝ 1 的右侧，图象从上到下， 相应的指数由大变小；在直线 x＝1的左侧，图象从 下到上，相应的指数由大变小． 3．简单幂函数的性质 (1)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且当自变 量为1时，函数值为1，即f(1)＝1. (2) 如果 α>0 ，幂函数在 [0 ，＋ ∞) 上有意义，且是增 函数． (3) 如果 α<0 ，幂函数在 x ＝ 0 处无意义，在 (0 ，＋ ∞) 上是减函数．
(1,1)
• 互动探究
• 探究点1 幂函数y＝xα与指数函数y＝ax(a>0且a≠1)有何区别？
• 提示 幂函数 y ＝ xα 的底数是自变量，指数是常数，而指
数函数正好相反，在指数函数 y ＝ ax 中，底数是常数指数 是自变量． • 探究点2 “幂函数的图象都不过第二、四象限”对吗？
• 提示
不对，幂函数 y＝x2的图象过第二象限，所有的幂
• [思路探索] 首先根据幂函数的定义，幂的系数为1，其次根据 性质确定m的值，进而得解．
• • • •
解 根据幂函数定义得， m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1， 当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)上是增函数， 当 m ＝－ 1 时， f(x) ＝ x － 3 ，在 (0 ，＋∞) 上是减 函数，不合要求． • ∴f(x)的解析式为f(x)＝x3.