3.4导数结合洛必达法则巧解高考压轴题讲解

2016年武昌元月调考：
第三部分：历届导数高考题
运用洛必达和导数解2010新课标理
设函数 f (x) ex 1 x ax2 .
（Ⅰ）若 a 0 ，求 f (x) 的单调区间； （Ⅱ）当 x 0 时， f (x) 0 ，求 a 的取值范围.
运用洛必达和导数解2010新课标理
运用洛必达和导数解2010新课标理
2011新课标理
已 知 函 数 f (x) a ln x b ， 曲 线 y f (x) 在 点 x 1 x
(1, f (1)) 处的切线方程为 x 2 y 3 0 .
（Ⅰ）求 a 、 b 的值； （ Ⅱ）如果当 x 0 ，且 x 1时， f (x) ln x k ，
x 1 x 求 k 的取值范围.
洛必达法则：设函数 f (x) 、 g(x) 满足：
（1） lim f (x) lim g(x) 0 ；
xa
xa
（2）在U o(a) 内，f (x) 和 g(x) 都存在，且 g(x) 0 ；
（3） lim f (x) A （ A 可为实数，也可以是 ）. xa g(x)
则 lim f (x) lim f (x) A . xa g(x) xa g(x)
(k
1)(x2 1) x2
2x
.
2011新课标理的常规解法
(i)当 k
0 时，由 h '(x)
k(x2
1) (x x2
运用法则时应注意： 1将上面公式中的x→a,换成x→∞,x→+∞，x→-∞， x ，a x a 洛必达法则也成立。
0
2洛必达法则可处理 0 ， ，0 （取倒数）， 0 ， 0 0 （取对数），（通分）型。
3若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极 限为止。
作业 P5(2)(2015·福建卷)“对任意 x∈0，π2 ，ksinxcosx＜x”
x 1 x （Ⅰ）略解得 a 1， b 1.
（Ⅱ）方法一：分类讨论、假设反证法
由（Ⅰ）知
f
(x)
ln x x 1
1 x
，所以
f
(x) ( ln x x 1
k) x
1 1 x2
(2 ln
x
(k
1)(x2 x
1))
.
考虑函数 h(x)
2 ln
x
(k
1)( x 2 x
1)
(x
0) ，则 h '(x)
时，h(x) 0 ；当 x (0,1) 时，g '(x) 0 ，当 x (1, ) 时，g '(x) 0 ，所以 g(x) 在 (0,1)
上单调递减，在 (1, ) 上单调递增.
运用洛必达和导数解2011年新课标理
由洛必达法则有
lim
x1
g(x)
lim(
x1
2x ln x 1 x2
1)
1
lim
x 1 x
2011新课标理的常规解法
已知函数 f (x) a ln x b ，曲线 y f (x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 x 2 y 3 0 . x 1 x
（Ⅰ）求 a 、 b 的值； （ Ⅱ）如果当 x 0 ，且 x 1时， f (x) ln x k ， 求 k 的取值范围.
x1
2x ln x 1 x2
1
lim
x1
2ln x 2x
2
0
，
即当 x 1时， g(x) 0 ，即当 x 0 ，且 x 1时， g(x) 0 .
因为 k g(x) 恒成立，所以 k 0 .综上所述，当 x 0 ，且 x 1时， f (x) ln x k 成立， k 的取值范围为 (，0] .
第一部分：新课标高考命题趋势及方法
1. 新课标高考命题趋势
近年来的高考数学试题逐步做到科学化、规范化， 坚持了稳中求改、稳中创新的原则，充分发挥数学 作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知 识的掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜 能。为此，高考数学试题常与大学数学知识有机接 轨，以高等数学为背景的命题形式成为了热点.
运用洛必达和导数解2011年新课标理
当 x 0 ，且 x 1时， f (x) ln x k ，即 ln x 1 ln x k ， x 1 x x 1 x x 1 x
也即 k
x ln x x 1
1 x
x ln x x 1
2x ln x 1 x2
1，记
g(x)
2x ln x 1 x2
1，
x
＝2x，则 sin 2x＜2x0＜x＜π2，所以 2sin xcosx＜2x，所以
π sin xcosx＜x.当 k＜1 时，ksinxcosx＜x，故必要性成立；当 x＝3时，ksin
π
2x＜2x 可化为 k＜
2×3 4 ＝
2π
3π 4 9 ，而
93π＞43，取
k＝43，不等式成立，
sin 3
但此时 k＞1，故充分性不成立.
是“k＜1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析 (2)令 f(t)＝sin t－t，则 f′(t)＝cost－1≤0 恒成立，所以 f(t)＝sin t
－t 在[0，π]上是减函数，f(t)≤f(0)＝0，所以 sin t＜t(0＜t＜π)，令 t
2.分类讨论和假设反证
许多省市的高考试卷的压轴题都是导数应用问 题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的 题型.这类题目容易让学生想到用分离参数的方 法，一部分题用这种方法很凑效，另一部分题在 高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决， 高中阶段解决它只有华山一条路——分类讨论 和假设反证的方法.
0 ，且
x
1
则
g
'( x)
2( x 2
1) ln x 2(1 (1 x2 )2
x2)
=
2(x2 1) (1 x2 )2
(ln
x
1 x2
x2
) 1
，Байду номын сангаас
记 h(x)
ln
x
1 x2
x2 1
，则
h
'(
x)
1 x
4x + (1+x2 )2
=
(1 x2 )2 x(1+x2 )2
0，
从而 h(x) 在 (0, ) 上单调递增，且 h(1) 0 ，因此当 x (0,1) 时，h(x) 0 ，当 x (1, )
3.洛必达法则
虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方 法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂， 学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数
的方法不能解决这部分问题的原因是出现了“ 0 ” 0
型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题， 解决这类问题的有效方法就是洛必达法则.
第二部分：洛必达法则及其解法