向量的概念与性质

一．向量的概念与性质

一．知识点

1．与向量概念有关的问题

⑴向量不同于数量，数量是只有大小的量（称标量），而向量既有大小又有方向；数量可以比较大小，而向量不能比较大小，只有它的模才能比较大小.记号“a ＞b ”错了，而|a |＞|b |才有意义.

⑵有些向量与起点有关，有些向量与起点无关.由于一切向量有其共性（力和方向），故我们只研究与起点无关的向量（既自由向量）.当遇到与起点有关向量时，可平移向量.

⑶平行向量（既共线向量）不一定相等，但相等向量一定是平行向量，既向量平行是向量相等的必要条件.

⑷单位向量是模为1的向量，其坐标表示为（y x ,）,其中x 、y 满足 +2

x 2

y ＝1（可

用（cos θ,sin θ）（0≤θ≤2π）表示）.

⑸零向量0的长度为0，是有方向的，并且方向是任意的，实数0仅仅是一个无方向的实数.

⑹有向线段是向量的一种表示方法，并不是说向量就是有向线段. 2．与向量运算有关的问题

⑴向量与向量相加，其和仍是一个向量.(平行四边形法则：起点相同，三角形法则：首尾相连)

①当两个向量和不共线时，+的方向与、都不相同，且|+|＜||＋|b |；

②当两个向量和共线且同向时，+、、的方向都相同，且=+||||||b a +；

③当向量和反向时，若||＞||，+与 方向相同 ，且|+|=||-||； 若||＜||时,+与 方向相同，且|＋|=||-||.

⑵向量与向量相减，其差仍是一个向量.向量减法的实质是加法的逆运算.（三角形法则：起点相同，减向量重点指向被减向量的终点）

⑶围成一周首尾相接的向量（有向线段表示）的和为零向量.

如，++=,（在△ABC 中）

+++=.(□ABCD 中)

⑷判定两向量共线的注意事项

如果两个非零向量，，使=λb （λ∈R ），那么∥； 反之，如∥，且≠0，那么=λ.

这里在“反之”中，没有指出a 是非零向量，其原因为a =0时，与λb 的方向规定为平行.

（4）向量的数乘运算的定义：

数乘运算模的大小为：

α

λλ=∂

（6）数量积的8个重要性质（θcos b a b a ⋅=⋅

）

①两向量的夹角为0≤θ≤π.由于向量数量积的几何意义是一个向量的长度乘以另一向量在其上的射影值，其射影值可正、可负、可以为零，故向量的数量积是一个实数.

②设a 、b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是a 与b 的夹角，则

)1|.(cos ||==⋅=⋅e a θ

③⇔⊥0=⋅（∵θ=90°，)0cos =θ

④在实数运算中ab =0a ⇔=0或b=0.而在向量运算中⋅=⇔=或=是错误的，故=或=是⋅=0的充分而不必要条件.

⑤当与同向时⋅=||||b a ⋅(θ=0,cos θ=1);

当与反向时，⋅=-||||⋅(θ=π,cos θ=-1)，即∥的另一个充要条件是

||||b a ⋅=⋅.

特殊情况有2

=⋅=2

||a .

0, 0, 00.a a a a a λλλλλλ><==（5）

当与的方向相同；

当的方向与的方向相反；

当，

或||a =a a ⋅=2

a =

22y x +.

如果表示向量a 的有向线段的起点和终点的坐标分别为(1x ,1y ),(2x ,2y ),则

||a =221221)()(y y x x -+-

⑥||||||b a b a ⋅≤⋅。（因1cos ≤θ） ⑦数量积不适合乘法结合律.

如).()(c b a c b a ⋅⋅≠⋅⋅（因为c b a ⋅⋅)(与c 共线，而)(c b a ⋅⋅与a 共线） ⑧数量积的消去律不成立.

若a 、b 、c 是非零向量且c b c a ⋅=⋅并不能得到b a =这是因为向量不能作除数，即

c

1是无意义的.

二．课堂训练

1．下列各式计算正确的有

（ ） (1)(－7)6a =-42a (2)7(a +b )－8b =7a +15b (3)a －2b +a +2b =2a (4)若a =m +n ,b =4m +4n ,则a ∥b

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

2．化简)]24()82(2

1

[31b a b a --+的结果是

（ ）

A ．b a -2

B ．a b -2

C ．a b -

D ．b a -

3．下列各式叙述不正确的是 （ ）

A ．若a ≠λb ,则a 、b 不共线(λ∈R )

B ．b =3a (a 为非零向量),则a 、b 共线

C ．若m =3a +4b ,n =

2

3

a +2

b ,则m ∥n D ．若a +b +

c =0,则a +b =-c

4．对于菱形ABCD ，给出下列各式：

①BC AB =

②||||BC AB =

③||||+=- ④||4||||22=+ 2

其中正确的个数为 （ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 5．已知向量与反向，下列等式中成立的是

（ ）

A ．||||||b a b a -=-

B ．||||b a b a -=+

C ．||||||-=+

D ．||||||+=+

6．在△ABC 中,AB =AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则

（ ）