实验报告—数值分析

《数值分析》实验报告

姓名：________________

学号：__________

专业：_________

指导教师：刘建生教授

日期：2015 年12月25日

实验一Lagra nge/n ewt on 插值

一：对于给定的一元函数y f(x)的n+1个节点值y j f(X j),j 0,1,卅，n。试用Lagra nge

公式求其插值多项式或分段二次Lagrange插值多项式。

数据如下：

计算f (0.596) , f (0.99)的值(提示：结果为f (0.596) 0.625732

f (0.99) 1.05423 )

试构造Lagrange多项式L G(X)，计算的, 值。(提示：结果为

f (1.8) 0.164762 , f (6.15) 0.001266 )

二:实验程序及注释

MATLAB 程序：function f=lagrange(x0,y0,x )

n=len gth(xO);

m=le ngth(yO);

format long

s=;

for k=1: n

P=;

for j=1: n

if j~=k

p=p*(x-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

end

end

s=s+y0(k)*p;

End

f=s;

end

结果运行:

>> [O. 4 0- bts 0. eb 0* SO 0. 1. Ob ]:

yO= L0- 41075 0. 57filG 0. S067B 0. 90 1. 00 t. 253S2 J :

x=0» 596:

】^Er^nepCvt), y

ana ■

0. 6257323?7352S6a

» xQ= L0, 4 Q, 55 0, 65 Q, SO 0- 95 1,Q5 J ;

jrO= TO・41075 0・ 57815 0・ 69675 0. 90 L- 00 I.25332 1 :

)r=C. 99 :

lagr ari£e tarO, yO, vt)

an 5 —

I、 06422&77CS127TE

»xO=ri 2 3 4 5 S ；]：

»y(J= [0.363 C_ 135 0_ OSO 0. OLE 0.007 fl. 002 0.001 ]:

» x=l.S:

»Lagrangeyflj x)

ans =

0. 1S47«1894400000

>> lac r arse CxO^ yfl, 6^ 1 5)

ana =

0.001265S2550039L

结果与提示值完全吻合，说明Lagra nge插值多项式的精度是很高的；

f(x) (x x1)(x x2)(x X3)(X X4)(X x5)

(x0 x1)(x0 x2)(x0 x3)(x0 x4)(x0 x5) / (x x0)(x x1)(x x2)(x x3)(x x4)

(x5 x0)(x5 x1)(x5 x2)(x5 x3)(x5 x4)

同时，若采用三点插值和两点插值的方法，用三点插值的精度更高。若同时采用两点插值，选取的节点距离x越近，精度越高。

三：采用newton插值进行计算

算法程序如下：

format long ;

x0=[ ]；

yo=[ ];

x=；

n=max(size(xO));

y=yo(i);

%disp(y);

s=1; /

dx=yO;

for i=1: n-1

dxO=dx;

for j=1:n-i

dx(j)=(dx0a+1)-dx0(j))/(x0(i+j)-x0(j));

end

df=dx(1); s=s*(x-xO(i));

y=y+s*df;

%计算%%disp(y);

end

disp(y)

运行结果：

df=dx ；s=s *(x-xO Ci));

y=yH-£+df:

S%disp

%计算end

dispCy)

0.025732334079595

绘制出曲线图:

与结果相吻合。

所以newton法和Lagrange法的思想是一样的。Lagrange适合理论分析，但Lagrange法不女口newton法灵活。Lagrange女口果节点个数改变，算法需要重新编写，而Newton法克服这一缺点，所以应用更为灵活＜

一卜-Newton mterpoistion 0

AccLrate value

—*—Piecewise interpotatran

o o o O

k

o

an

書

A

启

实验二函数逼近与曲线拟合

一、问题提出

在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量与时间t的拟合曲线。

, X

t(分钟) 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 / 4、

y( 10 ) 门

y 0

/ \

/ 要求：

1、用最小二乘法进行曲线拟合；\

2 3

2、近似解析表达式为f(x)=a 11+ a2t + a3t ；

3、计算出拟合函数f(x)，并列出出f(x)与y(x)的误差；

4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；

5、绘制出曲线拟合图。

二、问题分析

三＞

从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大

量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。

三、实验程序及注释

\三次拟合程序(最小二乘法)：

t=[0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55]% 输入时间t 的数据

y=[0 ]%输入含碳量数据

[p,s]=polyfit(t,y,3)%调用MATLAB最小二乘法的程序进行三次拟合并给出误差分析

format Iong%14位精度小数

plot(t,y,'*r')%绘制被拟合数据点的离散图

hold on

plot(t,y1,'b')%绘制三次拟合函数图(其中y1是拟合之后的数据)

xlabel('时间t (分钟)')%注释x轴

ylabel('含碳量/10A-4') %注释y轴

title('三次拟合图')%注释图名

grid%坐标系网格化

四次拟合程序(最小二乘法)：

[p,s]=polyfit(t,y,4) %调用MATLAB最小二乘法的程序进行四次拟合并给出误差分析

format Iong%14位精度小数

plot(t,y,'*r')%绘制被拟合数据点的离散图